Алгоритм вычисления коэффициента ранговой корреляции Кендалла

Понятия оценивания и статистического сравнения могут быть перенесе- ны и на случай многомерной генеральной совокупности (многомерной слу- чайной величины).

Пусть из p -мерной генеральной совокупности

(X 1, X 2,..., X p)

сделана

выборка объёмом n. Полученные данные представим в виде матрицы:

⎛ x 11

⎜

⎜ x 21

X = ⎜

x 12

x 22

...

...

x 1 n ⎞

⎟

x 2 n ⎟

⎟.

⎜ M M

O M ⎟

x

⎜

⎝ p 1

x p 2

...

⎟

x

T

pn ⎠

Точечной оценкой вектора

µ = (µ1, µ2

,..., µ p)

генеральных средних (ма-

тематического ожидания p -мерной генеральной совокупности) является

вектор выборочных средних

X = (x 1, x 2

T

,..., x p)

соответствующих компо-

1 n

нент, т.е.

xi = ∑ xij

n

j =1

(i =1, 2,..., p).

Точечной оценкой генеральной ковариационной матрицы S является

выборочная ковариационная матрица Sв

– квадратная матрица порядка p,

s

ij

элементами

2 которой являются выборочные ковариации пар соответст-

1 n 2

вующих компонент, т.е.

sij = n ∑(xik − xi)(x jk − x j). На практике

sij

удобно на-

k =1

n

2

ходить по формуле

sij = ∑ xik ⋅ x jk − xi ⋅ x j = xi ⋅ x j − xi ⋅ x j.

n

k =1

Часто при решении практических задач в качестве оценки ковариацион-

ной матрицы используют «исправленную» ковариационную матрицу

S ˆ в

= n ⋅

n −1

S в.

Замечание. На практике матрицы Sв

мулам:

и S ˆ в

удобно находить по фор-

1 T ˆ 1 T

Sв = n ⋅ U ⋅ U,

Sв = n −1⋅ U ⋅ U,

где U – матрица порядка

p × n

центрированных значений вариант:

uij

= xij

− xi.

Очень часто размерности исследуемых признаков различны. В таких случаях переходят к значениям так называемых нормированных признаков:

xij − xi

zij =. Это равносильно переходу от ковариационной матрицы

sij

Sв ис-

ходных признаков к их корреляционной матрице

Rв, элементы которой

rij

=

sii

sij

⋅ s jj

. При этом матрицу

Rв удобно находить по формуле:

где

Z = (zij).

R = 1 ⋅ Z ⋅ Z T,

в n

Определение 11.1. Доверительной областью некоторого парамет-

ра многомерной генеральной совокупности называется случайная область,

которая с вероятностью γ, называемой надёжностью, содержит неиз-

вестное значение этого параметра.

Доверительной областью с надёжностью γ для вектора µ генеральных

средних p -мерной генеральной совокупности, имеющей многомерное нор-

мальное распределение, при условии, что ковариационная матрица S извест-

на, является p -мерный эллипсоид, задаваемый неравенством

(X − µ) T S −1 (X − µ) ≤ 1 ⋅ χ 2 (1 − γ; p),

n

где значение

χ2 (1 − γ; p)

находится по таблице приложения 5.

Если же ковариационная матрица неизвестна, то оценкой будет эллипсо-

ид, задаваемый неравенством

(X − µ) T S ˆ−1 (X

− µ)≤

p (n −1) ⋅ F (1− γ; p; n − p),

n (n − p)

где значение

F (1− γ; p; n − p)

находится по таблице критических точек рас-

пределения Фишера16 (приложение 6), которое иногда также называют распределением Фишера-Снедекора17.

16 Рональд Эйлмер Фишер (1890 – 1962) – английский статистик, биолог и генетик.

17 Джоржд Уоддел Снедекор (1881 – 1974) – американский математик и статистик.

Пример 11.1. Имеются следующие данные о сменной добыче угля на

одного рабочего –

X 1 (т) и уровне механизации работ –

X 2 (%):

Найдите вектор выборочных средних, выборочные ковариационную и корре-

ляционную матрицы, а также доверительную область для вектора генераль-

ных средних с надёжностью γ

= 0,95.

Решение. Найдем средние по каждой переменной:

x 1 =

x 2 =

3+ 6 + 7 + 4 + 3 +1+ 2 + 3+ 4 + 5

2+ 5 + 5 + 2 + 4 + 3+ 3+1+ 2 + 4

=3,8;

=3,1.

Дисперсии и средние квадратические отклонения переменных

X 1 и

X 2:

2 2 2

s 11 = D (X 1) = x 1

− x 1

2

= 2,96,

s 11 =

D (X 1) =1,72;

s 22 = D (X 2) = x 2

− x 2

=1,69,

s 22 =

D (X 2) =1,3.

Ковариация переменных

X 1 и

X 2:

s 12 = x 1 x 2 − x 1 ⋅ x 2 =1,32.

Коэффициент корреляции

X 1 и

X 2:

s

2

12

1,32

0,59

r 12 =

s 11 ⋅ s 22

= =.

1,72⋅1,3

Итак, вектор выборочных средних, выборочные ковариационные (неис-

правленная и исправленная) и корреляционная матрицы имеют вид:

⎛3,8 ⎞

⎛2,96

1,32 ⎞

ˆ ⎛3,29

1,47 ⎞

⎛ 1 0,59 ⎞

X = ⎜ ⎟,

3,1

Sв = ⎜1,32

⎟,

1,69

Sв =⎜1,47

⎟,

1,88

Rв =⎜0,59 1 ⎟.

⎝ ⎠ ⎝

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Найдем теперь доверительную область для вектора генеральных средних

µ = (µ1; µ2

) T. Обратная матрица для

S ˆ в имеет вид:

ˆ 1 ⎛

1,88

−1,47⎞

⎛ 0,47

−0,37⎞

S −1 = ⋅ ⎜

⎟ = ⎜ ⎟.

Тогда

в 4,02

⎝−1,47

3,29 ⎠

⎝− 0,37

0,82 ⎠

⎛ 0,47

− 0,37 ⎞⎛3,8 − µ ⎞

(X − µ) T S ˆ −1 (X

− µ) = (3,8 − µ1

3,1 − µ2)⎜

⎟⎜ 1 ⎟ =

⎝− 0,37

2 2

0,82

⎠⎝3,1 − µ2 ⎠

= 0,47µ1

+ 0,82µ2

− 0,73µ1µ2 −1,29µ1 − 2,30µ2 + 6,00.

По таблице

F (0,05; 2; 8) = 4,46. Таким образом, вектор µ заключён в эллипсе

(рис. 11.1), который задаётся неравенством

2 2

x

(µ1 − 0,8µ2 −1,4)

1,42

+ (µ2 −3,1)

1,32

≤1.

Рис. 11.1

Определение 11.2. Две многомерные генеральные совокупности на- зываются однородными, если они имеют одинаковые законы распределения с одними и теми же параметрами.

Пусть из p -мерных генеральных совокупностей X и Y, имеющих нор-

мальные распределения, сделаны выборки объёмом nx

и n y

соответственно.