Определенный интеграл и его свойства

Многие задачи естествознания и техники получили решение благо­даря одному из основных понятий математического анализа - опреде­ленному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т. д., сводится к его вычислению. Рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

 

Задача о массе прямолинейного стержня. Дан тонкий стержень длины , его масса распределена неравномерно с плотностью . Най­ти массу всего стержня.

Решение. Разберем условие задачи. Под тонким стержнем мы бу­дем понимать отрезок прямой, ограниченный точками и числовой оси . Плотность вещества стержня в данной точке есть предел средней плотности , где - масса отрезка , при стремлении к нулю.

Требуется найти массу стержня.

Решение

Так как плотность распределена неравномерно, то для наиболее точного ее нахождения разобьем весь стержень точками на достаточно малых частей (см. рис.)

Обозначим длину отрезка через . В силу того, что длины отрезков малы, в границах каждого из них плотность стержня можно считать постоянной и равной , где - одна из точек k-го отрезка . Тогда масса этого отрезка стержня равна . Масса всего стержня приближенно равна:

.

При стремлении к нулю, эта сумма стано­вится равной , то есть

Задача о площади криволи­нейной трапеции. Дана плоская фи­гура, ограниченная графиком функ­ции и отрезками пря­мых . Функция определена, не прерывна и неотрицательна в промежутке [а, b]. Вычислить площадь S полученной фигуры (аАВb), называемой криволинейной трапецией.

Решение. Для того чтобы вычислить искомую площадь, разобьем промежуток [а, b] на nпроизвольных частей: , длины которых обозначим соответственно . Через каждую точку деления проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разделят данную фигуру на nполос. Заменим ка­ждую из этих полос прямоугольником, основание которого то же, что у полосы, а высота совпадает с одной из ординат точек графика функции в этой полосе.

Обобщим рассуждения, проведенные при решении двух предыду­щих задач о массе прямолинейного стержня и о площади криволиней­ной трапеции. Пусть некоторая функция задана на промежутке [а, b] и непрерывна. При разбиении промежутка [а, b] на n частей, та­ким образом, что максимальная длина отрезков разбиения стремится к нулю при ) обе задачи свелись к составлению суммы , где , число слагаемых которой неограниченно растет, а каждое слагаемое стремится к нулю. Эта сумма называется интегральной суммой.

Определение. Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке [ а, b ] и обозначают т. е.

(3.7)

Число называется нижним пределом интеграла, b - верхним.

Промежуток [ а, b ] называется промежутком интегрирования, х - переменной интегрирования.

 

Теорема. Определенный интеграл функции , непрерывной на промежутке [а, b], равен разности значений любой ее первообразной в точках b и а

(3.8)

: Правая часть формулы часто записывается как

Формула (3.8) получила название формулы Ньютона-Лейбница.

Чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно найти неоп­ределенный интеграл и в полученное выражение подставить вместо пе­ременной x; сначала верхний предел b, а затем нижний а и из первого результата вычесть второй.

 

Пример 3.10. Вычислить

Решение. Находим неопределенный интеграл:

Найдя значение сначала при , а затем при , вычислим разность:

 

Пример 3.11. Вычислить

Решение.

При формулировке свойств определенных интегралов использовали источник [5] и исходили из предположения, что функции заданы и дифференцируемы на промежутке [ a, b ]

1) , (3.9)

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

2) , (3.10)

где – константа; т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграл.

3) Пусть f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [ a, c ] и [ c, b ], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

(3.11),

4) Если f (x) - любая функция, то: , (3.12)

т.е. интеграл с совпадающими нижним и верхним пределами равен нулю.

5) , (3.13)

то есть перемена мест пределов интегрирования приводит к изменению знака интеграла на противоположный.

6) Если f (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [ a, b ], то существует такая точка , что (3.14)

7) Если f (x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

. (3.15)

9) Если a ≤ b, а f (x) и u · g (x) - две непрерывные функции, которые на [ a, b ] удовлетворяют условию f (x) ≤ g (x), то

(3. 16)