Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Решение. Функция есть первообразная для функции на промежутке , так как для всех .

Но функции также имеют производную, равную поэтому и все эти функции являются первообразными для функции на множестве R.

К выражению можно прибавить любую постоянную С. Поэтому решение задачи нахождения первообразной не единственно и, если решения существуют, то их бесконечно много.

Множество первообразных для данной функции называется не­определенным интегралом и обозначается , (3.2).

где - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - переменная интегрирования; С - константа.

Пример 3.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение

Интегрирование есть действие, обратное диф­ференцированию.

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для ре­шения табличные интегралы.

Пример 3.3. Найти

Решение. Воспользуемся свойством 2. интеграла: интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих же функций.

Пример 3.4. Найти

Решение. Приведем интеграл к табличному виду. Для этого раскроем скобки в числителе и разделим почленно числитель на знаменатель.

Затем воспользуемся указанным выше свойством интеграла суммы (разности) функций:

II. Метод подстановки.

Этот метод называют также методом замены переменной. Использование этого метода основано на свойстве 3 интеграла.

Пример 3.5. Найти

Решение. Введем новую переменную: .

Найдем интеграл:

Выразим результат через первоначальный аргумент:

Пример 3.6. Найти

Решение. Сделаем подстановку Надо определить, чему равен dx. Для этого продифференцируем выражение , в результате чего получим .

Подставим все это в первоначальный интеграл, в результате чего будем иметь:

Выразим результат через первоначальный аргумент:

Этот пример дает возможность сделать следующий общий вывод: .

III. Метод интегрирования по частям.