Участки выпуклости и вогнутости кривой. Общая схема исследование функции и построения ее графика

Л Построение графика

Непрерывная линия называется выпуклой или обра­щенной выпуклостью вверх на отрезке [а, b], если все точки этой линии ле­жат выше хорды, соединяющей любые две ее точки.

Вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) называет­ся линия, проходящая ниже своих хорд.

Замечание. В некоторых руководствах выпуклость и вогнутость иногда определяются противоположным образом.

Точки, отделяющие выпуклые участки линии от вогнутых (и наоборот), называются точками перегиба.

На рисунках проиллюстрирован гео­метрический смысл второй производной, позволяющий по ее знаку судить о том, в какую сторону изгибается линия графика, т. е. справедлива

Теорема. Если вторая произ­водная функции в данном промежутке значений х положи­тельна:

(2.10),

то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна:

(2.11),

то кривая в этом промежутке выпукла.

Точками перегиба являются те точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Линия является выпуклой (или вогнутой ) в точке, если значение ее второй производной в данной точке меньше (или больше) нуля.

 

Пример.2.9. Выяснить, выпуклая или вогнутая линия при .

Решение. Находим производные . В точке имеем: . Значит, в точке данная линия вогнута.

 

Нахождение точки перегиба. Чтобы исследовать функцию на вогнутость, необходимо опреде­лить знак второй производной. Если на данном промежутке f"(х) < 0 для всех х, то линия вогнута, если f"(х) > 0 для всех х, то линия выпукла. Выпуклую часть кривой от вогнутой отделяет точка перегиба.

Чтобы найти точку перегиба линии :

1. Найти вторую производную функции .

2. Приравняв ее к нулю, решить полученное уравнение.

3. Расположив корни второй производной . в порядке возрастания, подставить в выражение для второй производной сначала лю­бое число, меньшее , затем - любое число ; если получатся разные знаки, то при имеется точка перегиба; если же одинаковые, то точки перегиба нет; далее аналогично поступить с числами .

4. Найти ординаты точек пе­региба, т. е. найти значения функ­ции в соответствующих точках.

 

Пример 2.10. Найти точки перегиба линии .

Решение. Находим: .

Разобьем числовую прямую на интервалы: ; .

Определим знак второй производной в каждом из интервалов.

x
	-	+
	выпуклая	вогнутая

При переходе через вторая производная меняет знак на противоположный, следовательно, при линия имеет перегиб.

Ординату точки перегиба определим, подставив в уравнение линии: Следовательно, - точка перегиба.

 

Пример 2.11. Найти точки пере­гиба линии .

Решение.

То есть, вторую производную можно разложить на множители:

Разобьем числовую прямую на интервалы:

;

Определим знак второй производной в каждом из интервалов. В результате определим участки выпуклости-вогнутости функции.

x
	+	-	+
y	вогнутая	выпуклая	вогнутая

При и имеем - линия вогнута;

при имеем - линия выпукла.

Точки являются точками перегиба (см.рис.)

 

Рассмотрим последовательность выполнения операций при исследовании функции и построении ее графика на следующем примере.

 

Пример 2.12. Исследуйте функцию и постройте ее график

Решение.

1) Область определения

2) Функция не периодическая

3) Функция общего свойства, то есть не относится ни к четным, ни к нечетным.

3) Области возрастания-убывания.

- функция возрастает;

- функция убывает.

4) Точки экстремумов:

При имеем минимум. Для определения значения этого минимума подставим в уравнение кривой: Таким образом, у графика функции имеется точка минимума с координатами (16; -32).

5) Точки пересечения с осями координат.

Для определения ординаты точки пересечения с осью подставим в уравнение кривой . В результате получим: .

Таким образом, график функции пересекает ось при .

Для определения абсциссы точки пересечения с осью подставим в уравнение кривой . В результате получим:

Таким образом, график функции пересекает ось в двух точках: при и .

6) Области выпуклости-вогнутости.

Для определения участков вогнутости решаем неравенство: . Оно справедливо для любого из области определения. Следовательно, график функции всюду вогнут.

Для определения участков выпуклости решаем неравенство: . Оно не имеет решения. Следовательно, график функции не имеет участков выпуклости.

 

7) Точки перегиба:

Для определения точек перегиба решаем уравнение: . Оно не имеет решения. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.

 

8) Для построения графика функции начертим оси координат и отметим выявленные нами точки: минимума (16; -32) и пересечения с осями координат (0; 0) и (36; 0), а также области возрастания-убывания функции и ее вогнутости. В р езультате получим график, изображённый на рисунке.

 

Дифференциал функции.

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать

, (2.12)

где α→0 при ∆х→0.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых: и , являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

. (2.13)

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции ∆y. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

(2.14)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (2.1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

. (2.15)

Поэтому формулу (2.14) можно записать так:

, (2.16)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2.16) следует равенство

. (2.17)

Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 2.13

Найти дифференциал функции .

Решение:

По формуле находим

Пример 2.14. Найти дифференциал функции . Вычислить при .

Решение: .

Подставив и , получим .