Скорость мгновенная и средняя.

Линейная скорость является величиной, характеризующей быстроту изменения положения тела в пространстве.

Мгновенная скорость – скорость точкив данный момент времени есть первая производная радиус-вектора по времени

 

Из свойств производной следует, что при криволинейной траектории в любой момент времени мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Скорость может быть представлена через проекции вектора

 

 

Изменение проекций вектора скорости также можно вычислить:

 

 

Широко применяются понятия векторная средняя скорость и скалярная средняя путевая скорость <v>_пут.

 

 

есть вектор коллинеарный вектору Он показан как v_ср на рис.1.3.

 

,

 

где DS – длина всего пройденного за время Dt пути.

 

Ускорение.

Ускорение есть мера изменения скорости во времени:

 

Естественно эту величину, так же как скорость, можно представить в виде проекций скорости и радиус-вектора:

 

 

Величина мгновенной скорости при равнопеременном движении может быть найдена из известного соотношения

 

V_t=V₀±at.

В достаточно общем случае криволинейного движения на плоскости ускорение может иметь как проекцию в направлении движения – касательную а_t, – так и перпендикулярную ей нормальную или центростремительную а_n составляющую (рис.1.4).

Рисунок 1.4 Ускорения при криволинейном движении

Тангенциальное ускорение есть проекция вектора полного ускорения на касательную к траектории, на направление вектора скорости и характеризует быстроту изменения величины скорости (её модуля). По величине сонаправлено с , при равноускоренном движении направлено так же, как и v, при равнозамедленном направлено противоположно .

Нормальное ускорение есть проекция полного ускорения на направление, перпендикулярное , характеризует быстроту изменения положения вектора в пространстве и по величине равно где R – радиус кривизны траектории в данной её точке.

Очевидно, что

 

Особо интересен случай движение тела в поле силы тяжести. В этом случае полное ускорение постоянно равно g – ускорению свободного падения, независимо от формы траектории.

Так, например, если тело брошено горизонтально с какой-то башни (рис.1.5), то легко по рисунку понять, что есть тангенциальное и нормальное ускорения и как они связаны с соответствующими проекциями . Естественно, если сопротивление воздуха не учитывается, то сохраняется величина горизонтальной составляющей скорости V₀=V_x, а вертикальная составляющая растет по закону V_y =gt.

 

х

 

y

 

 

Рисунок 1.5. Движение тела, брошенного горизонтально

Величина пройденного телом пути является важнейшей практической характеристикой, вычисление которой зависит от вида движения: равномерное, равнопеременное, неравномерное. На рис. 1.6 а,б,в представлены графики зависимостей V=V(t) для этих видов движения.

V=const V=V_o+at V=V(t) V_i

V V V _{D Si}

at₁ Dt_i

S V_o S S

O t₁ t₂ t O t₁ t O t₁ t₂ t

a) б) в)

Рис.1.6 Графики V=V(t) при равномерном (а), равнопеременном (б) и неравномерном движениях (в)

Поскольку путь представляет собой графически площадь фигуры под графиком зависимости V=V(t), то при равномерном движении (рисунок 1.6 а) путь, пройденный в интервале времени (t₂ - t₁) просто численно равен площади прямоугольника

S = V×Dt = V(t₂ –t₁).

При равноускоренном движении (рисунок 1.6 б) аналогично путь равен площади трапеции, которую можно определить двумя способами:

1) как сумму площадей прямоугольника и треугольника:

 

S = S_ð + S_Ñ = V_ot₁+;

 

2) по средней линии трапеции (выделена на рис.1.6.б красным цветом)

S = <V>t₁ =

Следует заметить, что приведенный способ определения средней скорости применим лишь при равнопеременном движении.

Если скорость в зависимости от времени изменяется каким-то сложным образом, зачастую не описываемым простыми функциями, то путь вычисляется как сумма, складывающаяся из элементов V_i×Dt_i (см. рис.1.6,в, выделено светло-зеленым цветом), в пределах каждого из которых скорость можно полагать постоянной

где N – число разбиений в интервале времени t₁ – t₂.

Если вид функции V(t) достаточно прост и интегрируем, то

.