Постулаты Эйнштейна в специальной теории относительности

Решающий вклад в создание специальной, а затем и общей теории относительности был внесен Альбертом Эйнштейном. В 1905 году в журнале «Аннален фюр физик» 26-летний, никому неизвестный служащий швейцарского патентного бюро Альберт Эйнштейн опубликовал небольшую 3-страничную статью «К электродинамике движущихся сред». По утверждениям историков физики, о результатах опытов Майкельсона-Морли он не слышал.

Концепция Эйнштейна позволяет отказаться от существования эфира и построить теорию, называемую ныне специальной теорией относительности (СТО) и и подтверждаемая всеми известными сегодня опытами.

В основе СТО лежат два постулата.

1. «Принцип постоянства скорости света».

Скорость света не зависит от скорости движения источника света, одинакова во всех инерциальных системах координат, и равна в вакууме с=3×10⁸ м/с.

Позднее, в общей теории относительности (ОТО), опубликованной в 1916 году, утверждалось, что скорость света остается неизменной и в неинерциальных системах координат.

2. Специальный принцип относительности.

Законы природы одинаковы (инвариантны, ковариантны) во всех инерциальных системах координат.

Эйнштейн позднее писал:

«Во всех инерциальных системах координат законы природы находятся в согласии. Физической реальностью обладает не точка пространства и не момент времени, когда что-либо произошло, а только само событие. Нет абсолютного (независимого от пространства отсчета) соотношения в пространстве, и нет абсолютного соотношения во времени, но есть абсолютное (независимое от пространства отсчета) соотношение в пространстве и времени» ( подчеркнуто Эйнштейном).

Позднее Эйнштейн утверждал справедливость и этого постулата для всех, в том числе и неинерциальных, систем отсчета.

В математическом аппарате СТО используется четырехмерный xyzt пространственно-временной континуум (пространство Минковского) и преобразования координат Лоренца, как математическое отражение объективно существующих в материальном мире фактов.

Предположение об абсолютности скорости света приводит к целому ряду следствий, необычных и не наблюдаемых в условиях механики Ньютона. Одно из следствий постоянства скорости света состоит в отказе от абсолютного характера времени, который был привит в механике Ньютона. Нужно теперь допустить, что время течет по-разному в разных системах отсчета — события, одновременные в одной системе, окажутся неодновременными в другой.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K ', движущиеся относительно друг друга. Пусть в темной комнате, движущейся с системой K ', вспыхивает лампа. Поскольку скорость света в системе K ' равна (как и во всякой системе отсчета) c, то свет достигает обеих противоположных стен комнаты одновременно. Не то будет происходить с точки зрения наблюдателя в системе K. Скорость света в системе K также равна c, но так как стены комнаты движутся по отношению к системе K, то наблюдатель в системе K обнаружит, что свет коснется одной из стен раньше, чем другой, т.е. в системе K эти события являются неодновременными.

Таким образом, в механике Эйнштейна относительны не только свойства пространства, но и свойства времени.

 

Преобразование Лоренца

Пусть имеются инерциальные системы отсчета K и K', показанные на рис. На рисунке предполагается, что движется система K', в то время как система K неподвижна. С таким же правом можно считать, что неподвижна система K', а система K движется относительно нее со скоростью — V.

 

 

Предположим, что происходит какое-то событие. В системе K. оно характеризуется значениями координат и времени x, у, z, t; в системе K' — значениями координат и времени x', y', z', t'. Найдем формулы связывающие нештрихованные значения со штрихованными. Из однородности пространства и времени следует, что эти формулы должны быть линейными.

При показанном на рисунке направлении координатных осей плоскость y' = 0 совпадает с плоскостью y = 0, а плоскость z' = 0 совпадает с плоскостью z = 0. Отсюда вытекает, что, например, координаты y и y' должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Это возможно лишь при условии, что

 

y = α· y',

 

где вследствие линейности уравнения α ‑ постоянная величина. Ввиду равноправности систем K и K' обратное преобразование должно иметь вид

 

y' =α· y

 

с тем же значением а, что и при прямом преобразовании. Перемножив оба соотношения, найдем, что α² = 1, откуда α = ±1. Для одинаково направленных осей нужно взять α = +1. В результате находим, что

 

y = y ' или y' = y. (1.33)

 

Аналогичным образом получается формула

 

z = z' или z' = z. (1.34)

 

Из этих формул вытекает, что значения y и z не зависят от x' и t', от

куда следует, что значения x' и t' не могут зависеть от y и t; соответственно значения x и t не могут зависеть от y' и z'. Это означает, что x и t являются линейными функциями только x' и t'.

Из рисунка следует, что точка O имеет координату x = O в системе K и x' = — Vt' в системе K'. Следовательно, выражение x' + Vt' должно обращаться в нуль одновременно с координатой x (когда x' + Vt' равно нулю, x' = — Vt'). Для этого линейное преобразование должно иметь вид

 

x = γ(x' + Vt'), (1.35)

 

где γ — константа.

Точка O имеет координату x' = 0 в системе K' и x = V·t в системе K. Следовательно, выражение x — V·t должно обращаться в нуль одновременно с координатой x' (когда x — V·t = 0, то x = V·t). Для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение

 

x' = γ(x ‑ Vt). (1.36)

 

В силу равноправности систем K и K' коэффициент γ в обоих случаях должен быть один и тот же.

Теперь воспользуемся принципом постоянства скорости света. Начнем отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала координат O и O' совпадают. Предположим, что в момент t = t' = 0 в направлении осей x и x' посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране. Это событие (вспышка) характеризуется в системе K координатой x и временем t, а в системе K' — координатой x' и временем t', причем

 

x = ct, x ' = ct '.

 

(скорость c в обоих случаях одна и та же). Подставив эти значения x и x' в формулы, получим соотношения

 

ct = γ(ct' + Vt') = γ(c + V) t',

 

ct' = γ(ct ‑ Vt) = γ (c ‑ V) t.

 

Перемножив эти соотношения и сократив обе части получившегося равенства на tt', придем к уравнению

 

c² = γ²(c² ‑ V²).

 

Отсюда

, (1.37)

 

где β = V / c.

Подстановка найденного значения у в (1.35) и (1.36) приводит к формулам

 

, . (1.38)

 

Чтобы найти формулы преобразования времени, исключим из формул (1.38) координату x и разрешим получившееся уравнение относительно t. Затем исключим из формул (1.38) координату x' и разрешим получившееся уравнение относительно t'. В результате придем к формулам

 

, (1.39)

 

Напишем вместе формулы (1.33), (1.24), (1.38) и (1.39), подразделив их на две группы:

 

, y = y, z = z', , (1.40)

, y' = y, z' = z, . (1.41)

 

Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. По формулам (1.40) осуществляется переход от системы K' к системе K', по формулам (1.41)—переход от системы K к системе K' - Вследствие равноправности систем преобразования (1.40) и (1.41) отличаются лишь знаком перед V Это отличие обусловлено тем, что система K' движется относительно системы K со скоростью V, в то время как система K движется относительно системы K' со скоростью — V.

В преобразованиях Лоренца «перемешаны» координаты и время. Например, время t в системе K определяется не только временем t' в системе K', но также и координатой x'. В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени.

В пределе при c ‑» ∞ преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предель­ной скорости распространения взаимодействий. При скоростях много меньших скорости света (т. е. при β << 1) преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея. Следовательно, преобразования Галилея сохраняют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света.

При V > c выражения для x, t, x' и t' в формулах (1.40) и (1.41) становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с, невозможно. Невозможна даже система отсчета, движущаяся со скоростью с, потому что при V = c знаменатели формул для x и t обращаются в нуль.

Преобразованиям Лоренца можно придать симметричный вид, если написать их для x и ct, т. е. для величин одинаковой размерности. В этом случае формулы преобразований выглядят следующим образом:

 

, y = y, z = z', , (1.42)

, y' = y, z' = z, . (1.34)

 

Формулы для x и ct, а также для x' и ct' отличаются друг от друга только перестановкой соответствующих переменных.

 

Следствия из преобразований Лоренца

Из преобразований Лоренца можно получить следствия, казалось бы, противоречащие нашему повседневному опыту. Это противоречие обусловлено тем, что наш опыт относится к процессам, протекающим со скоростями, весьма малыми по сравнению со скоростью света, и поэтому явления, которые мы сейчас рассмотрим, нами не ощущаются. Однако они с несомненностью присущи миру элементарных частиц, в котором движение со скоростями, близкими к c, представляет собой заурядное явление.

Относительность понятия одновременности.

Рассмотрим инерциальные системы отсчета K_А и K_В.

 

 

а — Система K_В движется относительно системы K_А вправо; следовательно, K_А играет роль системы K, а K_В — роль системы K', б — Система Kв движется относительно системы K_А влево; это равнозначно тому, что K_А движется относительно K_В вправо; следовательно, K_А играет роль системы K', а K_В — роль системы K.

Предположим, что в системе K_А в точках с координатами x₁^А и x₂^А (x₂^А > x₁^А) происходят в момент времени t^A два одновременных события. Найдем разность моментов времени t₂^B и t₁^B, в которые будут зарегистрированы эти события в системе K_B.

Если система K_B движется относительно K_А вправо (рис. a), то, применяя преобразования Лоренца, K_A нужно считать системой K, а K_B —системой K' и пользоваться для вычисления моментов времени t₁^B и t₂^B формулами (1.21). В этом случае

,

Соответственно

.

 

Если же система K_B движется относительно К_A влево (рис.б), то K_А нужно считать системой K', а K_B —системой K и пользоваться другой формулой. В этом случае

; .

.

 

Таким образом, в любой системе, кроме K_A, события оказываются неодновременными, причем в одних системах второе событие будет происходить позже первого (t₂^B > t₁^B), а в других системах второе событие будет происходить раньше первого (t₂^B < t₁^B).

Нужно иметь в виду, что полученный нами результат относится лишь к событиям, причинно не связанным друг с другом (очевидно, что события, происходящие одновременно в разных точках пространства, не могут оказывать воздействия друг на друга). Иначе обстоит дело, если между событиями имеется причинная связь. В этом случае событие-причина во всех системах отсчета предшествует событию ‑ следствию. Рождение элементарной частицы во всех системах отсчета происходит раньше ее распада. Ни в одной из систем «сын не рождается раньше отца».