Момент силы, момент импульса

Предположим, что некоторая материальная точка массой m вращается по окружности радиуса r под действием постоянной силы F, ориентированной под некоторым углом a к вектору скорости частицы (иначе движение не будет ни вращательным, ни криволинейным). Разложим силу F на составляющие (рисунок 1.19):

F_n – нормальная составляющая, удерживающая точку m на криволинейной траектории,

F_t – тангенциальная составляющая силы, способная изменить величину скорости движения точки.

Из геометрических соображений

 

F_t = F×sin a.

 

С другой стороны, по второму закону Ньютона

 

F_t = m×a_t,

 

здесь а_t - линейное тангенциальное ускорение. Из кинематики вращательного движения известно, что а_t = e×r.

Итак, можно записать F×sina = m×e×r.

Домножим обе части полученного равенства на r

 

F×r×sina = mr²×e. (1.17)

 

Но r×sina = r_o – плечо силы F относительно центра вращения О, а произведение силы на её плечо

F×r_o = M(1.18)

– момент этой силы относительно оси вращения, в нашем случае проходящей через точку О перпендикулярно рисунку. В векторной форме Направление вектора момента силы определяется по известному уже правилу векторного произведения или правого винта.

Величину называю т моментом импульса тела, а величина является импульсом момента силы.

Общепризнанным является обозначение момента импульса в форме

 

.

 

Понятно, что момент импульса тела – величина векторная, причем направление вектора L точно совпадает с направлением w только если это относится к вращательному движению материальной точки (рис.1.18)

 

Рисунок 1.18 Определение направления вектора момента импульса – по правилу правого винта. Вы можете выбрать любой удобный для Вас способ определения направлений векторов .

 

 

Из рисунка 1.18 видно также:

1) линия действия вектора L совпадает с осью вращения;

2) момент импульса движущейся по окружности материальной точки можно представить как момент вектора р относительно центра вращения, то есть с плечом r

Полученную в (1.17) величину “mr²” обозначают “I” и называют «момент инерции тела массой m, движущейся по криволинейной траектории радиусом r».

F_n

r a F_t

О r_o F

 

Рис1.19. К выводу основного закона динамики вращательного движения

 

С учетом (1.17) и (1.18) получили, что

 

M = I×e,

 

которое называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Удобнее это уравнение представить в виде , при этом видно, что уравнение является аналогом уравнения второго закона Ньютона для поступательного движения , лишь вместо силы выступает механический момент силы, роль массы m выполняет момент инерции I.

Теперь рассмотрим вращение абсолютно твердого тела произвольной формы относительно произвольной оси, проходящей через любую точку тела (рис.1.20) Разобьем тело на множество элементарных масс. Тогда для каждой из них можно записать выражение, уже полученное нами

 

F_i×r_i×sina_i = Dm_ir_i²×e,

 

где e – угловое ускорение, одинаковое для всех точек тела.

 

O

Рисунок 1.20 Вращение тела произвольной формы

 

r_i m_i

a F_i

 

`

O

Для всего тела тогда можно записать

Суммирование по всему объему дает

 

 

– полный момент сил (относительно оси OO`), действующих на тело.

– момент инерции тела относительно оси OO`.

Итого получили – выражение, аналогичное полученному для материальной точки.

Рассмотрим основной закон динамики вращательного движения поподробнее.

Итак, , но, по определению углового ускорения e, его величина равна , следовательно,

Откуда получаем . Если I = const, то момент инерции можно внести под знак дифференциала и можно записать

 

 

Это выражение иногда называют основным законом динамики вращательного движения в импульсной формулировке, а величина является импульсом момента силы.

Общепризнанным является запись основного уравнения динамики вращения в форме

Момент инерции тела

Для тела произвольной формы и массы момент инерции может быть найден суммированием где Dm_i – элементарные массы, на которые следует разбить тело при определении его момента инерции, а r_i – расстояние i-того элемента до оси вращения. Для симметричных тел простой формы операция суммирования заменяется интегрированием.

Так как физические тела могут иметь весьма сложную форму и ось вращения может иметь бесконечное множество ориентаций, бессмысленно говорить о величине момента инерции любого тела, как о чем-то фиксированном и навечно застывшем.

При выборе положения оси вращения естественное преимущество отдают осям вращения, проходящим через центр инерции (ЦИ) тела. Пусть выбрана обычная прямоугольная система, с направлениями осей, совпадающими с направлениями геометрической симметрии тела. Для всех тел, кроме простейшего - однородного шара, момент инерции относительно каждой из осей оказывается различным. В общем случае момент инерции тела характеризуется тензором второго ранга (определитель 3´3).

, где

Момент инерции тела относительно оси, проходящей через его ЦИ, называется собственным моментом инерции.

В случае непрерывного распределения массы (без пустот, вырезок, инородных включений и т.п.) компоненты тензора относительно, например, оси y, приобретают интегральный вид

 

Рассмотрим частные случаи вычисления моментов инерции.

 

Момент инерции цилиндра

Момент инерции однородного цилиндра, диска, полого цилиндра и т. п. вычислим относительно его геометрической оси. Любое из этих тел мы можем мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R_o на концентрические слои толщиной dR (рис.1.21). Пусть радиус какого-то слоя R; тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

 

dm = 2pRhr×dR,

 

где h – высота цилиндра;

r – плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя (рис.1.21):

 

 

 

 

Рисунок 1.21

 

dI = dm×R² = 2prhR³×dR

 

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов или момент инерции всего цилиндра

 

(1.19)

 

Вспоминая, что масса цилиндра m = pR_o²hr, можно записать так:

 

(1.20)

Формула (1.20) выражает момент инерции сплошного однородного цилиндра.

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R₁, а внешний R₀ просто вычислить по формуле (1.19), нужно только в интеграле поставить другие пределы, а именно:

 

 

Замечая, что масса полого цилиндра равна , запишем момент инерции полого толстостенного цилиндра так:

 

(1.21)

 

Таким же простым путем можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно разбить на совокупность полых цилиндров, колец, дисков.

 

Момент инерции стержня

Рассмотрим еще пример определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, но не являющейся осью симметрии. До сих пор мы вычисляли момент инерции относительно оси симметрии; вычисление же момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс, представляет более сложную задачу. Поэтому рассмотрим сначала самый простой пример: определим момент инерции тонкой палочки длиной l и массы m относительно оси, составляющей с направлением палочки угол a и проходящей через ее центр масс (рис.1.22).

Рисунок 1.22 О моменте инерции стержня

 

 

Обозначим через х расстояние от середины палочки какой-то частицы длиной dx. Масса частицы равна и находится она на расстоянии f от оси, f = x×sina. Момент инерции равен

 

,

 

а момент инерции всей палочки

 

(1.22)

 

Очевидно, если палочка перпендикулярна к оси вращения , то

 

(1.23)

 

Здесь при вычислении момента инерции мы считали палочку очень тонкой, математически это значит, что диаметр сечения палочки имеет бесконечно малую величину, а при обычных приближенных вычислениях мы полагаем, что диаметр палочки ничтожно мал по сравнению с ее длиной.

 

Теорема Штейнера.

Выше было показано, что момент инерции тела зависит от массы тела и закона распределения этой массы в пространстве, т.е. формы тела. Зависит он также и от положения оси вращения в пространстве.

Если мы каким-либо способом определим момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс (собственный момент инерции, обозначаемый I_o), то очень просто определить момент инерции относительно любой параллельной ей оси.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через ЦИ, равен I_o, то момент инерции относительно оси, параллельной первичной и проходящей от неё на расстоянии «а», будет равен

 

I = I_o + ma²,

где I_o – собственный момент инерции,

m – масса тела,

а – расстояние между осями.

Это и есть теорема Гюйгенса-Штейнера, или просто теорема Штейнера.