Тема: Нахождение суммы ряда по определению. Исследование сходимости положительных рядов

Цель: Формирование навыков нахождения суммы ряда по определению и исследования сходимости положительных рядов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Числовым рядом называется сумма вида

, (22.1)

где числа , , , …, , …, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы , , , …, , составленные из первых членов рядя (22.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …, …. Если при бесконечном возрастании номера частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, то есть или . Эта запись равносильна записи .

Если частичная сумма ряда (22.1) при неограниченном возрастании не имеет конечного предела (в частности, стремится к или к ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение при достаточно большом значении является приближенным выражением суммы ряда .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, то есть , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Для знакоположительных числовых рядов имеет место признак сравнения, при помощи которого можно установить сходимость или расходимость.

Признак сравнения. Если члены положительного ряда

, (22.2)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда , (22.3)

то из сходимости ряда (22.3) следует сходимости ряда (22.2), а из расходимости ряда (22.2) следует расходимость ряда (22.3).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используются геометрическая прогрессия , которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.

Примеры

Задание 1: Найти сумму членов ряда:

1) ;

2) .

Решение: 1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ; ;

; ….

Запишем последовательность частичных сумм: , , , , …, , …. Общий член этой последовательности есть . Следовательно, . Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой , . Используя формулу , получим . Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Задание 2: С помощью признака сравнения исследовать на сходимость ряды:

1) ;

2) .

Решение: 1) Сравним данный ряд с рядом

.

Ряд сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . При это каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда . Поэтому, согласно признака сравнения, данный ряд сходится.

2) Сравним данный ряд с гармоническим рядом

.

Каждый член исследуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена ряда . Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Задания для практической работы

1. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

2. Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

3. Вычислите сумму членов ряда:

1) ;

2) ;

3) .

 

4. Пользуясь признаком сравнения, исследуйте на сходимость следующие ряды:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется числовым рядом, членами ряда, общим членом ряда?

2. Что называют частичными суммами ряда?

3. Какой ряд называется сходящимся, расходящимся?

4. Что называется остатком ряда?

5. Сформулируйте признак сравнения для знакоположительного числового ряда.

6. Какие известные ряды используются при исследовании рядов на сходимость и расходимость?

Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 405-430], 2.2 [с. 66-113].

Практическая работа №23