Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-09-28 | 807 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель: Формирование навыков выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей.
Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Произведение комплексных чисел и находится по формуле:
, (24.1)
то есть
, . (24.2)
Таким образом, при умножении двух комплексных числе, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Частное комплексных чисел и находится по формуле:
, (24.3)
то есть
, . (24.4)
Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.
При возведении комплексного числа в -ую степень используется формула
, (24.5)
которая называется формулой Муавра.
Для извлечения корня -ой степени из комплексного числа используется формула
, (24.6)
где - арифметический корень, .
Степень с комплексным показателем определяется равенством
. (24.7)
Можно доказать, что
, (24.8)
то есть . (24.9)
В частности, при получается соотношение
, (24.10)
которое называется формулой Эйлера.
Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.
|
Показательная функция имеет период, равный , то есть . В частности, при получается соотношение .
Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной формой: .
Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:
; (24.11)
; (24.12)
; (24.13)
, где . (24.14)
Примеры
Задание 1: Выполните действия:
1) ;
2) .
Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим
2) По формуле деления комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим
Задание 2: Возвести в степень .
Решение: По формуле Муавра получим
Задание 3: Найти: 1) ; 2) .
Решение: 1) По формуле Эйлера получим
;
2) По формуле (1) получим .
Задание 4: Найти: 1) ; 2) ; 3) , если ; .
Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел, заданных в показательной форме получим
.
2) По формуле деления комплексных чисел, заданных в показательной форме получим
.
3) По формуле возведения комплексных чисел, заданных в показательной форме, в степень получим
.
Задания для практической работы
1. Найдите произведение (ответ записать в тригонометрической форме):
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
2. Выполните деление в тригонометрической форме:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3. Найдите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
4. Дано ; .
Найдите: 1) ; 2) ; 3) .
5. Решите уравнения:
1) ;
2) ;
3) .
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение комплексного числа.
2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?
3. Какие комплексные числа называются равными?
4. Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.
5. Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?
6. Как возводится в степень комплексное число, заданное в тригонометрической форме?
7. По какой формуле извлекается корень -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?
|
8. Как записывается комплексное число в показательной форме?
9. Что называется тождеством Эйлера?
10. Какие действия выполняются над комплексными числами, заданными в показательной форме? Запишите формулы.
Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 229-239].
Практическая работа №25
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!