Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы общими уравнениями:

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0,

А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0.

Нормальные векторы этих прямых: = (А ₁; В ₁) и = (А ₂; В ₂).

а) Прямая l ₁ параллельна l ₂ тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, их одноименные координаты пропорциональны. Значит, условие

= ≠

является условием параллельности прямых.

б) Если выполняется условие

= = ,

то прямые l ₁ и l ₂ совпадают.

в) Если векторы и некомпланарны

≠ ,

то прямые l ₁ и l ₂ пересекаются. Точку пересечения прямых находим, решая систему уравнений

Угол φ между прямыми l ₁ и l ₂ определяется по формуле

cosφ = = .

д) Если прямые l ₁ и l ₂ взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы и также взаимно перпендикулярны и поэтому их скалярное произведение равно нулю:

А ₁ А ₂ + В ₁ В ₂ = 0.

Если прямые заданы каноническими уравнениями

, = (т ₁; п ₁);

, = (т ₂; п ₂),

то

а) = ↑↓ l ₁ || l ₂;

б) т ₁ т ₂ + п ₁ п ₂ = 0 l ₁ l ₂;

в) cosφ = = .

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

у = k ₁ х + b ₁,

у = k х + b ₂.

Тогда

а) k ₁ = k ₂ l ₁ || l ₂;

б) k ₁ = l ₁ l ₂;

в) tgφ = .

Расстояние d от точки М ₀(х ₀, у ₀) до прямой l, заданной общим уравнением Ах + Ву + С = 0, находится по формуле

d = .

 

Пример 1. Даны точки М (2; 3) и N (–1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно отрезку MN.

Решение

Найдем координаты вектора :

= (х_N – x_M; y_N – y_M) = (–1 – 2; 0 – 3) = (–3; –3).

По условию вектор является нормальным вектором искомой прямой.

Составим уравнение прямой, проходящей через заданную точку М (2; 3) с заданным нормальным вектором = (–3; –3):

–3(х – 2) –3(у –3) = 0

или

х + у – 5 = 0 – уравнение искомой прямой.

 

Пример 2. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси ординат прямой 2 х + 5 у – 10 = 0.

Решение

Разрешив уравнение 2 х + 5 у – 10 = 0 относительно у, получим:

у = – х + 2.

Сравнивая это уравнение с уравнением у = kх + b, находим k = ,. b = 2.

 

Пример 3. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямой

7 х + 2 у – 14 = 0.

Решение

Разделим обе части уравнения 7 х + 2 у – 14 = 0 на 14 и перенесем свободный член в правую часть:

,

.

Сравнивая полученные уравнения с уравнением в отрезках по осям , находим а = 2, b = 7.

 

Пример 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (–2, 3) параллельно биссектрисе второго координатного угла.

Решение

Искомая прямая, как и биссектриса второго координатного угла, образует с положительным направлением оси Ох угол φ = 135°, поэтому k = tg135° = – 1. Так как точка М дана, то x ₀ = – 2, y ₀ = 3. Тогда уравнение y – y ₀ = k (x – x ₀) примет вид

у – 3 = (– 1)∙(х – (– 2)), у – 3 = – х + 2

или

х + у – 1 = 0.

 

Пример 5. Точки А (3; 5), В (– 1; 3), С (1; – 3) являются вершинами треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины В.

Решение

Построим данный треугольник (рисунок 7). На высоте возьмем произвольную точку М (х; у) и рассмотрим вектор = (х + 1; у – 3), который является перпендикулярным вектору = (1 – 3; – 3 – 5) = (– 2; – 8). Значит, их скалярное произведение равно нулю: ∙ = 0. В координатной форме имеем

∙ = – 2∙(х + 1) – 8∙(у – 3) = 0,

или

(х + 1) + 4∙(у – 3) = 0,

Х + 4 у – 11 = 0 – уравнение высоты BМ.

 

Рисунок 7 – Треугольник АВС

 

Пример 6. Даны вершина С (– 1; 3) прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника и уравнение его гипотенузы 3 х – 4 у – 12 = 0. Составить уравнения катетов.

Решение

Из уравнения гипотенузы выразим у и найдем ее угловой коэффициент:

3 х – 4 у – 12 = 0,

– 4 у = – 3 х + 12,

у = х – 3.

Следовательно, k ₁ = .

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника наклонены к гипотенузе под углом 45°. По формуле tgφ = найдем угловые коэффициенты катетов:

tg45° = ,

±1 = .

Если 1 = , то k ₂ = 7.

Если – 1 = , то k ₂ = – .

Зная координаты точки С (– 1; 3), принадлежащей двум катетам, получим их уравнения:

у – 3 = 7(х + 1), 7 х – у + 10 = 0.

у – 3 = – (х + 1), х + 7 у – 20 = 0.

Пример 7. Найти уравнения прямых, которые параллельны прямой 12 х + 5 у – 7 = 0 и удалены от нее на расстояние равное трем.

Решение

Для любой точки прямой М (х; у) не лежащей на прямой 12 х + 5 у – 7 = 0, по формуле d = должно выполняться равенство

3 = ,

или

|12 х + 5 у – 7| = 3∙13,

|12 х + 5 у – 7| = 39.

Следовательно,

12 х + 5 у – 7 = 39 или 12 х + 5 у – 7 = – 39.

Таким образом, получим уравнения прямых

12 х + 5 у – 46 = 0 и 12 х + 5 у + 32 = 0.

Пример 8. Даны уравнения двух смежных сторон АВ и АD параллелограмма и точка N пересечения его диагоналей. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма, если N (3; 3), х + у – 1 = 0 (АВ), 3 х – у + 5 = 0 (АD).

Решение

Найдем координаты точки пересечения прямых АВ и АD, решив систему уравнений

Получили точку А (– 1; 2).

Найдем координаты точки С, применив формулы деления отрезка пополам (так как точка N – середина диагонали АС).

, .

Таким образом, имеем

, ,

откуда х_С = 7, у_С = 4, то есть С (7; 4).

Так как четырехугольник АВСD – параллелограмм, то АВ || СD и AD || CB и ↑↓ , ↑↓ . Значит, можно считать, что = = (1; 1), = = (3; – 1). Запишем уравнения сторон СD и СВ, используя уравнение (1.1). Имеем

3(х – 7) – (у – 4) = 0, 3 х – у – 17 = 0 (СВ),

(х – 7) + (у – 4) = 0, х + у – 11 = 0 (СD).

 

Вопросы для самопроверки

1 Записать общее уравнение прямой на плоскости.

2 Каков геометрический смысл коэффициентов при х и у в общем уравнении прямой?

3 Записать уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М ₀(х ₀; у ₀) перпендикулярно вектору = (А; В).

4 Записать каноническое уравнение прямой на плоскости и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

5 Записать параметрические уравнения прямой на плоскости.

6 Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

7 Записать уравнение прямой, проходящей через точку М ₀(х ₀; у ₀) и образующей с осью абсцисс угол, тангенс которого равен k.

8 Записать уравнение прямой, проходящей через точки М ₁(х ₁; у ₁) и М ₂(х ₂; у ₂).

9 Записать уравнение прямой в отрезках по осям и указать геометрический смысл входящих в него параметров.

10 Записать формулы, по которым можно найти угол φ между прямыми.

11 Записать условие параллельности и условие перпендикулярности двух прямых, заданных:

а) общими уравнениями;

б) каноническими уравнениями;

в) уравнениями с угловыми коэффициентами.

12 Чему равно расстояние от точки М ₀(х ₀; у ₀) до прямой Ах + Ву + С = 0?

 

Задачи для самостоятельного решения

1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (– 2; 2) параллельно вектору:

а) = (– 1; 1);

б) , если М ₁(2; – 5), М ₂(3; 1).

(Ответ: а) х + у = 0; б) 6 х – у + 14 = 0)

2 Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (1; 2) с нормальным вектором = (3; – 4). (Ответ: 3 х – 4 у + 5= 0)

3 При каком значении С точка М (3;– 2) принадлежит прямой 2 х + 5 у + С = 0. (Ответ: С = 4)

4 Задана прямая 2 х + 3 у + 4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; 1):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно данной прямой;

в) под углом 45° к данной прямой.

(Ответ: а) 2 х + 3 у – 7 = 0; б) 3 х – 2 у – 4 = 0; в) х – 5 у + 3 = 0, 5 х + у – 11 = 0)

5 Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (– 4; 10) и отсекающей отрезки равной длины на осях координат. (Ответ: х + у – 6 = 0)

6 Дан треугольник с вершинами Р (3; 1), Q (– 3; – 1), R (5; 12). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины R, и вычислить ее длину. (Ответ: 12 х + 5 у = 0, d = 13)

7 Даны две вершины А (– 2; 1) и В (3; – 4) треугольника и точка N (5; – 1) пересечения его высот. Найти уравнения всех сторон треугольника. (Ответ: х + у + 1 = 0, 7 х – 2 у – 29 = 0, 2 х + 3 у + 1 = 0)

8 Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (1; – 2) и точку пересечения прямых 2 х + 3 у – 4 = 0 и 3 х – 5 у + 13 = 0. (Ответ: 2 х + у = 0)

9 Найти проекцию точки А (– 8; 12) на прямую, проходящую через точки М ₁(2; – 3) и М ₂(– 5; 1). (Ответ: (– 12; 5))

10 Найти точку В, симметричную точке А (8; 12) относительно прямой х – 2 у + 6 = 0. (Ответ: В (12; 4))

11 Через точку А (2; 5) провести прямые, которые находятся на одинаковом расстоянии от точек М ₁(– 1; 2) и М ₂(5; 4). (Ответ: х – 2 = 0, х – 3 у + 13 = 0)

12 Найти угол между прямыми:

а) х + 5 у – 3 = 0, 2 х – 3 у + 4 = 0;

б) х + 2 у – 3 = 0, у = – – ;

в) у = х + 1, у = х – 3.

(Ответ: а) 45°; б) 0°; в) 45°)

13 Определить, при каком значении параметра α прямые

(α – 1) х – 2α у + 5 = 0 и α х + 4α у – 6 = 0:

а) параллельны;

б) совпадают;

в) взаимно перпендикулярны.

(Ответ: а) α = 2; б) ни при каком α; в) α = )

14 Две стороны квадрата лежат на прямых, заданных уравнениями 5 х – 12 у – 65 = 0 и 5 х – 12 у + 26 = 0. Найти площадь квадрата. (Ответ: 49)

15 Доказать, что прямые 3 х – 4 у + 10 = 0 и 6 х – 8 у + 15 = 0 и найти расстояние между ними. (Ответ: )

 

Линии второго порядка

Окружность

Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки, называемой центром окружности.

Если R – радиус окружности, а точка М (х ₀; у ₀) – центр окружности, то ее уравнение имеет вид

(х – х ₀)² + (у – у ₀)² = R ².

Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение записывается в виде

х ² + у ² = R ².

Эллипс

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а, и большая, чем расстояние между фокусами 2 с (2 а > 2 с).

 

Рисунок 8 – Эллипс

 

Каноническое уравнение эллипса:

= 1.

Начало координат О (0; 0) является центром симметрии эллипса, а оси координат – осями симметрии эллипса. Точки А (а; 0), С (– а; 0), В (0; b), D (0; – b) называются вершинами эллипса (рисунок 8).

b ² = а ² – с ², а = ОА – большая полуось, b = ОВ – малая полуось. Координаты фокусов F ₁(– c; 0), F ₂(c; 0).

Отношение

ε = < 1

называется эксцентриситетом эллипса.

Прямые х = ± называются директрисами эллипса.

Если а < b, то фокусы эллипса находятся на оси Оу, с ² = b ² – а ², ε = .

 

Гипербола

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а, и меньшая, чем расстояние между фокусами 2 с (2 а < 2 с).

 

 

Рисунок 9 – Гипербола

 

Каноническое уравнение гиперболы:

= 1.

Начало координат О (0; 0) является центром симметрии гиперболы, а оси координат – осями гиперболы. Точки А (а; 0), В (– а; 0) называются вершинами гиперболы (рисунок 9).

b ² = с ² – а ², а – действительная полуось, b – мнимая полуось. Координаты фокусов F ₁(– c; 0), F ₂(c; 0).

Отношение

ε = > 1

называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые у = ± х называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней.

Уравнение

= – 1

также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длиной 2 b.

 

Парабола

Параболой называют множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

 

Рисунок 10 – Парабола

 

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат, имеет вид

у ² = 2 рх,

где р – расстояние от фокуса параболы F (; 0) до ее директрисы х = – (рисунок 10).

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу с вершиной в начале координат, имеет вид

х ² = 2 ру.

В этом случае F (0; ) – фокус, у = – – уравнение директрисы.

 

Пример 1. Составить уравнение окружности, если точки М ₁(3; 2), М ₂(– 1; 6) – концы диаметра окружности.

Решение

Найдем координаты центра окружности по формулам деления отрезка пополам:

= = 1,

= = 4.

Вычислим радиус окружности:

ОМ ₁ = R = = = 2 .

 

Тогда уравнение окружности:

(х – 1)² + (у – 4)² = 8.

 

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что его большая полуось а = 12, а эксцентриситет ε = 0,5.

Решение

Известно, что ε = . Следовательно,

с = а ε = 12∙0,5 = 6.

Используя соотношение b ² = а ² – с ², получим

b ² = 144 – 36 = 108.

Таким образом, искомое уравнение эллипса имеет вид

= 1.

 

Пример 3. Составить уравнение гиперболы, если известно, что она проходит через точку М (9; 8), а асимптоты заданы уравнениями у = ± х. Найти эксцентриситет гиперболы.

Решение

Из уравнений асимптот гиперболы находим = , или b = а.

Подставив в каноническое уравнение гиперболы полученное выражение для b, имеем

= 1.

Точка М (9; 8) принадлежит гиперболе, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Значит

= 1,

81 – 72 = а ²,

а ² = 9, а = 3.

Тогда b = а = = . Искомое уравнение гиперболы имеет вид

= 1.

 

 

Найдем эксцентриситет гиперболы:

ε = = = = .

 

Пример 4. Составить уравнение параболы, если известно, что:

а) фокус параболы F (5; 0), а ее директрисой является ось ординат;

б) парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точки О (0; 0) и М (6; – 2).

Решение

а) По условию р = 5 и вершина параболы имеет координаты (2,5; 0), то, используя уравнение у ² = 2 р (х – х ₀), получим

у ² = 10(х – 2,5),

у ² = 10 х – 25.

 

б) Запишем уравнение параболы в общем виде: х ² = 2 ру.

Точка М (6; – 2) удовлетворяет уравнению параболы, то есть

36 = 2 р ∙(– 2),

– 4 р = 36,

р = – 9.

Тогда уравнение параболы имеет вид

х ² = – 18 у.

 

Вопросы для самопроверки

1 Какая линия называется эллипсом? Какие точки называются фокусами эллипса?

2 Записать каноническое уравнение эллипса.

3 Для эллипса, заданного каноническим уравнением = 1, указать оси симметрии и вершины.

4 Какая ось эллипса называется большой осью и какая – малой?

5 Пусть 2 а и 2 b – соответственно большая и малая оси эллипса, а 2 с – расстояние между его фокусами. Какова зависимость между а, b и с?

6 Какая линия называется гиперболой? Какие точки называются фокусами гиперболы?

7 Записать каноническое уравнение гиперболы.

8 Для гиперболы, заданной каноническим уравнением = 1, указать оси симметрии и вершины.

9 Указать вершины гиперболы, заданной каноническим уравнением = 1.

10 Что является действительной осью гиперболы = 1?

11 Что является мнимой осью гиперболы = 1?

12 Пусть 2 а и 2 b – соответственно действительная и мнимая оси гиперболы, а 2 с – расстояние между ее фокусами. Какова зависимость между а, b и с?

13 Записать уравнения асимптот гиперболы = 1.

14 Какая линия называется параболой? Какая точка называется фокусом параболы и какая прямая – директрисой, заданной уравнением у ² = 2 рх?

15 Записать каноническое уравнение параболы.

16 Какая точка называется вершиной параболы?

17 Что называется эксцентриситетом эллипса?

18 Чему равен эксцентриситет ε эллипса, заданного уравнением = 1, где а > b?

19 Что называется эксцентриситетом гиперболы?

20 Чему равен эксцентриситет ε гиперболы, заданной уравнением = 1?

 

Задачи для самостоятельного решения

1 Составить уравнение окружности, которая имеет центр в точке М (2; 3) и касается прямой х – 2 у + 1 = 0. (Ответ: (х – 2)² + (у – 3)² = )

2 Составить уравнение окружности, которая проходит через точки А (5; 0) и В (1; 4), если ее центр лежит на прямой х + у – 3 = 0.

(Ответ: (х – 2)² + (у – 1)² = 10)

3 Составить уравнение хорды окружности х ² + у ² = 49, которая делится точкой А (1; 2) пополам. (Ответ: х + 2 у – 5 = 0)

4 Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М (; ) и N (–2; ). (Ответ: = 1)

5 Составить уравнение геометрического множества точек плоскости, расстояние от которых до точки А (0; 1) в два раза меньше расстояния до прямой у – 4 = 0. (Ответ: = 1)

6 Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что малая полуось равна 6, а расстояние между фокусами равно 16. (Ответ: = 1)

7 Эллипс касается оси абсцисс в вершине А (4; 0) и оси ординат в вершине В (0; – 3).Составить уравнение эллипса. (Ответ: = 1)

8 Найти эксцентриситет эллипса, если известно, что:

а) большая ось втрое больше малой;

б) оси относятся как 5:3.

(Ответ: а) ; б) 0,8)

9 Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

а) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 0,8;

б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен ;

в) сумма полуосей равна 10, расстояние между фокусами равно 4 .

(Ответ: а) = 1; б) = 1; в) = 1)

10 Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 48, а эксцентриситет равен . (Ответ: = 1)

11 Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М (24; 5), если ее асимптоты заданы уравнениями у = ± х. (Ответ: = 1)

12 Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса = 1. (Ответ: = 1)

13 Найти уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола проходит через точку пересечения прямой х + у = 0 и окружности х ² + у ² – 4 х = 0 и симметрична относительно оси Оу. (Ответ: х ² = – 2 у; у = )

14 Составить уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4 х – 3 у – 4 = 0 с осью Ох. (Ответ: у ² = 4 х)

15 Привести уравнения линий второго порядка к каноническому виду, определить их тип и расположение на плоскости:

а) 4 х ² + 9 у ² – 40 х + 36 у + 100 = 0;

б) 16 х ² – 9 у ² – 64 х – 18 у + 199 = 0;

в) 5 х ² + 9 у ² – 30 х + 18 у + 9 = 0;

г) 3 х ² – 4 у ² – 12 х + 24 = 0;

д) у ² + 2 у + 4 х – 11 = 0.

(Ответ: а) = 1 – эллипс; б) = 1 – гипербола; в) = 1 – эллипс; г) = 1 – гипербола; д) (у + 1)² = – (х – 3) – парабола)