История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-09-28 | 334 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Отсюда следует условие параллельности прямых:
.
Вопросы для самопроверки
1 Записать канонические уравнения прямой в пространстве и указать геометрический смысл входящих в них параметров.
2 Записать параметрические уравнения прямой.
3 Записать уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
4 Записать общие уравнения прямой.
5 Записать формулу, по которой находится угол φ между прямыми.
6 Записать условия параллельности двух прямых.
7 Записать условие перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Найти канонические уравнения прямой
Решение
Определим координаты точки прямой. Считая, например, z = 0, получим систему уравнений
Решим данную систему уравнений.
Таким образом, М (2;1; 0) точка принадлежащая прямой.
Найдем направляющий вектор прямой. По условию = (2; 3; 3), = (1; 2; 2). Тогда
= = – + .
Запишем канонические уравнения исходной прямой
.
Пример 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (1; –2; 3) параллельно вектору . Найти точку Р прямой, которой соответствует значение t = 2.
Решение
Воспользуемся формулами
Так как в данном случае , то параметрические уравнения прямой имеют вид:
При t = 2 получим
Таким образом, Р (5; 6; –7).
Задачи для самостоятельного решения
1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; 0; – 3) параллельно:
а) вектору = (2; – 3; 5);
б) прямой .
(Ответ: а) ; б) )
2 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
а) М 1(1; – 2; 1), М 2(3; 1; – 1);
б) М 1(1; 3; – 4), М 2(– 1; 2; – 4).
|
(Ответ: а) ; б) )
3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (1; – 1; – 3) параллельно прямой (Ответ: )
4 Составить канонические уравнения прямых:
а)
б)
(Ответ: а) ; б) )
5 Дан треугольник с вершинами в точках А (0; – 2; 5), В (3; 4; 1), С (1; 0; – 5). Составить уравнение медианы АD. (Ответ: )
6 Доказать параллельность прямых:
а) и
б) и
7 Доказать перпендикулярность прямых:
а) и
б) и
8 Найти угол между прямыми:
а) и
б) и ;
в) и
(Ответ: а) cosφ = ; б) cosφ = ; в) φ = 135°.
9 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3; – 1; 2) перпендикулярно к прямым и .
(Ответ: )
10 Выяснить, пересекаются ли данные прямые, и в случае положительного ответа найти точку их пересечения:
а) и ;
б) и
(Ответ: а) пересекаются, (; – ; ); б) не пересекаются)
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Угол между прямой и плоскостью
Углом φ между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями
и Ах + Ву + Сz + D = 0.
Для нахождения угла φ определим угол θ между направляющим вектором прямой = (т, п, р) и нормальным вектором плоскости = (А, В, С) (рисунок 15). Известно, что
cosθ = .
Рисунок 15 – Угол между прямой и плоскостью
Если направляющий вектор прямой выбрать так, чтобы cosθ > 0, и взять 0 ≤ θ ≤ , то угол φ между прямой и плоскостью дополняет угол θ до . Следовательно, cosθ = cos( – φ) = sinφ. Поэтому
sinφ = .
Числитель взят по абсолютной величине потому, что sinφ ≥ 0.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!