Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-09-28 | 528 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
3.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Положение плоскости в пространстве вполне определяется точкой М 0(x 0; y 0; z 0) и вектором = (А; В; С) (А 2 + В 2 + С 2 ≠ 0) перпендикулярным этой плоскости. Ненулевой вектор = (А, В, С) перпендикулярный плоскости называется нормальным вектором плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (x; y; z) и составим вектор = (х – х 0; у – у 0; z – z 0) (рисунок 11).
При любом положении точки М на плоскости векторы и взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть ∙ = 0. Это уравнение является векторным уравнением искомой плоскости. Записав его в координатной форме, получим равенство
А (х – х 0) + В (у – у 0) + С(z – z 0) = 0, (3.1)
которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рисунок 11 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.1)
3.2 Общее уравнение плоскости
Раскрыв в уравнении (3.1) скобки
Ах + Ву + Сz + (– Ах 0 – Ву 0 – Сz 0) = 0
и обозначив величину – Ах 0 – Ву 0 – Сz 0 через D, получим уравнение
Ах + Ву + Сz + D = 0, (3.2)
которое называется общим уравнением плоскости.
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости.
1) Если D = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Ах + Ву + Сz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.
2) Если С = 0, то имеем уравнение Ах + Ву + D = 0. Нормальный вектор = (А, В, 0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно, плоскость параллельна оси ОZ. Аналогично: если В = 0 – параллельна оси Оy, А = 0 – параллельна оси Ох.
3) Если С = D = 0, то плоскость проходит через О (0; 0; 0) и ее нормальный вектор перпендикулярен оси Оz. Значит, плоскость Ах + Ву + = 0 содержит ось ОZ. Аналогично: уравнениям Ах + Сz = 0 и Ву + Сz = 0 соответствуют плоскости, содержащие соответственно оси Оу и Ох.
|
4) Если А = В = 0, то уравнение (3.2) принимает вид Сz + D = 0, то есть z = – . Плоскость параллельна плоскости Оxy. Аналогично: уравнениям Ах + D = 0 и Ву + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оyz и Оxz.
5) Если А = В = D = 0, то уравнение (3.2) примет вид Сz = 0, то есть z = 0. Это уравнение плоскости Оxy. Аналогично: х = 0 – уравнение плоскости Оyz; у = 0 – уравнение плоскости Оxz.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость общего положения (рисунок 12), то есть плоскость не проходит через начало координат, не параллельна ни одной из осей координат (А, В, С, D ≠ 0). Уравнение этой плоскости можно записать в виде
Ах + Ву + Сz + D = 0. (3.3)
Рисунок 12 – Геометрическая иллюстрация к выводу уравнения (3.4)
Так как точка М (а; 0; 0) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.3) Аа + D = 0, откуда А = – .
Аналогично: координаты точек N (0; b; 0) и Р (0; 0; с) должны удовлетворять уравнению (3.3), значит, Вb + D = 0 и Сс + D = 0, откуда В = – , С = – .
Подставив найденные значения А, В, С в уравнение плоскости (3.3), получим
– х – у – z + D = 0.
Сократив это равенство на – D (D ≠ 0) и перенеся свободный член вправо, получим
+ + = 1. (3.4)
Уравнение (3.4) называется уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!