Сравнение выбранной схемы с оптимальным приёмником

В обычных условиях на вход приёмника приходит смесь из передаваемого сигнала и помех: х(t) = S(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ Т. Как правило полезный передаваемый сигнал S(t) – это сложное колебание, изменяющееся не только во времени, но и по амплитуде, частоте и фазе, т. е. S(t)=U_mcos(ωt+φ). Для передачи информации используется один или несколько указанных параметров, и для приемника задача состоит в определении значений этих параметров в условиях мешающего действия помех. Если поставленная задача решается наилучшим образом по сравнению с другими приемниками, то такой приемник можно назвать приемником, обеспечивающим потенциальную помехоустойчивость (оптимальный приемник).

 

 

 

 

Рисунок 7. Схема реализации оптимального приёмного устройства (приёмник Котельникова).

 

 

Данный приёмник содержит генераторы опорных сигналов Г₁ и Г₂, которые вырабатывают сигналы аналогичные передаваемым источником. Также он содержит пару вычитающих устройств ВУ, квадратирующих устройств КУ и интеграторов И, а так же схему сравнения и выбора ССВ (в моменты кратные Т) сигналов обоих ветвей с целью выбора ветви с минимальным сигналом или номером кодового символа, регистрируемого в запоминающем устройстве ЗУ. По совокупности дискретных символов декодер ДК выносит решение в пользу того или иного сообщения.

Определим алгоритм работы оптимального (по критерию максимального правдоподобия) приёмника на рис.7, сделав анализ принимаемого сигнала на интервале времени Т. По заданию в канале действует флуктационная помеха «белый шум с Гауссовским законом распределения» с энергетическим спектром G_ш. В этом случае плотность вероятности отрезка такой помехи U_т длительностью Т определяется соотношением

 

 

, где (4.1)

 

К – определяется условием нормирования

 

Если сигнал в месте приёма S(t) известен точно, а Z(t)=S(t)+U(t) (при 0≤t≤T), то условная плотность ω(z/b) определяется, что очевидно, предыдущим выражением, если положить u(t)=Z(t)-S(t). Таким образом,

 

(4.2)

 

В соответствии с выражением и предыдущей формулой получаем алгоритм оптимального приёма в виде:

 

(4.3)

 

или после логарифмирования:

 

(4.5)

 

Это распространённый алгоритм приёмника В. А. Котельникова.

 

Физический смысл алгоритма работы данного приемника имеет очень простую интерпретацию: оптимальный приёмник должен регистрировать тот из сигналов S(t) к которому «ближе» находится принятое колебание Z(t).

 

Как правило способ передачи информации (кодирование и модуляция) задан и задача сводится к поиску оптимальной помехоустойчивости, которую обеспечивают различные способы приема.

Под помехоустойчивостьюсистемы связи подразумевается способность системы восстанавливать сигналы с заданной достоверностью. Предельно допустимая помехоустойчивость называется потенциальной. Сравнение потенциальной и реальной помехоустойчивости позволяет дать оценку качества приема данного устройства и найти еще не использованные ресурсы. Сведения о потенциальной помехоустойчивости приемника при различных способах передачи позволяют сравнить эти способы между собой и найти наиболее совершенные.

 

Рассмотрим и сравним различные виды модуляций:

 

Дискретная амплитудная модуляция.

Сигнал, поступающий на вход приемника ДАМ имеет следующий вид:

(4.6)

Вероятность ошибки зависит не от отношения мощности сигнала к мощности ошибки, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи.

(E_э – равна энергии первого сигнала) (4.7)

тогда аргумент функции Крампа Ф(x) равна , подставляя это выражение в формулу вероятности ошибки получим:

- вероятность ошибки для ДАМ. (4.8)

 

S₁

 

S₂

Рисунок 8. ДАМ

 

На рис.8 представлена векторная диаграмма для ДАМ, из нее видно, что расстояние между векторами S₁ и S₂ равно длине вектора S₁.

 

Дискретная частотная модуляция.

Сигнал, поступающий на вход приемника, при данном виде модуляции имеет вид:

(4.9)

 

При частотной модуляции сигналы S₁(t) и S₂(t) являются взаимоортогональными, в связи с этим функция взаимной корреляции равна нулю. И так как амплитуды сигналов S₁(t) и S₂(t) равны, то Е₁=Е₂. В результате чего Е_э=2Е₁, а аргумент функции Крампа будет равен: h₀.

Поэтому подставляя эту величину в формулу вероятности получим:

- вероятность ошибки, при ДЧМ. (4.10)

S₁

 

0 S₂

Рисунок 9.ДЧМ

 

На рис.9 представлена векторная диаграмма ДЧМ, на которой можно заметить, что расстояние между векторами (взаимоортогональные сигналы) равно . Заметим, что по сравнению с ДАМ, мы получаем двойной выигрыш по мощности.

 

Дискретная фазовая модуляция.

При ДФМ сигнал, поступающий на вход приемника имеет следующий вид:

 

(4.11)

 

В данном случае аргумент функции Крампа будет равен:

Поэтому подставляя эту величину в формулу вероятности ошибки получим:

 

(4.12)

 

S₁

0

 

S₂

 

Рисунок 10.ДФМ

 

Из приведенной векторной диаграммы на рис.10 видно, что расстояние между векторами сигналов равно 2S₁. Энергия пропорциональна квадрату разности сигналов.

Заметим, что по сравнению с ДАМ мы получим четырехкратный выигрыш по мощности.

Следует уточнить, что приведенные данные о энергии сигналов ДАМ, ДЧМ и ДФМ относятся к пиковым мощностям этих сигналов. В этом смысле при переходе от ДЧМ к ДАМ мы имеем двукратный выигрыш в пиковой мощности, однако при ДАМ сигналы имеют пассивную паузу, т.е. мощность сигналов в паузе равна нулю, поэтому по потребляемой передатчиком мощности, кроме проигрыша по мощности, имеется еще и двукратный выигрыш. С учетом этого, при переходе от ДЧМ к ДАМ проигрыш по мощности компенсируется двукратным выигрышем за счет пассивной паузы ДАМ, в результате чего по потребляемой мощности эти сигналы оказываются равноценными, однако при ДАМ трудно установить необходимый порог в сравнивающем устройстве, а при приеме сигналов ДЧМ регулировка порога не требуется, в связи с этим свойством ДЧМ применяется чаще, чем ДАМ.

Вероятность ошибки зависит от вероятности некорректного приема сигналов S₁ и S₂, но при применении приемника Котельникова предполагается что канал связи – симметричный, т.е. совместные вероятности передачи и приема сигналов S₁ и S₂ равны. Исходя из этого запишем формулу вероятности ошибки:

 

(4.13)

 

Возьмем формулу 4.13 за основу для определении вероятности ошибки в приемнике Котельникова.

Предположим, что нам известно, что на вход приемника поступает сигнал S₁(t). в этом случае используя правило приемника Котельникова, в котором должно выполняться следующее неравенство:

(4.14)

 

При сильной помехе знак неравенства может измениться на противоположный, в результате чего вместо сигнала S₁(t) на вход может поступить сигнал S₂(t), т.е. произойдет ошибка. Поэтому вероятность ошибки можно рассматривать, как вероятность изменения знака неравенства (4.14). Подставляя вместо x(t)=S₁(t)+n(t). Преобразовывая получаем:

(4.15)

 

Вероятность ошибки в приемнике Котельникова, выраженная, через эквивалентную энергию Е_э, которая представляет собой разность сигналов S₁(t) и S₂(t) и будет определяться формулой:

(4.17)

Формулы вероятности ошибки для ДАМ, ДЧМ и ДФМ приведены соответственно: 4.8,4.10 и 4.12.

 

Преобразование приёмника Котельникова применительно к амплитудной модуляции.

Приемник Котельникова, являющийся идеальным и обеспечивающий оптимальную помехоустойчивость использует для приема и распознавания информации, передаваемой по каналу связи, все параметры передаваемого сигнала (фаза, частота, амплитуда), кроме того в приемнике Котельникова, в отличии от реального приемника отсутствуют фильтры на входе, обеспечивающие фильтрацию помех. Схема приемника Котельникова приведена на рис. 7. В качестве опорных генераторов применим гетеродин, вырабатывающий для первого канала косинусоидальное, а для второго - синусоидальное гармоническое колебание. Такая схема приёмника необходима для распознавания сигналов со случайной начальной фазой(некогерентный приём). Схема преобразованного приемника приведена на рис.11.

 

 

Рисунок 11. Приёмник амплитудно-модулированных сигналов со случайной начальной фазой (некогерентный приём).

 

Принятый амплитудно-модулированный сигнал поступает на два параллельных канала, в каждом из которых осуществляется операции умножения, интегрирования и возведения в квадрат. В качестве опорных напряжений используются сдвинутые по фазе на 180⁰ относительно друг друга сигналы, амплитуды которых равны амплитуде принимаемого сигнала. Такая обработка называется корреляционной с квадратурными каналами. Подобная обработка позволяет исключить возможность пропуска полезного сигнала из-за незнания его начальной фазы.

Вычислим отношение энергии сигнала к спектральной плотности мощности помехи:

 

(4.18)

 

Вычислим вероятность ошибки приёмника Котельникова применительно к заданному способу приёма, согласно условию некогерентного оптимального приёмника формула 1 примет вид:

 

(4.19)

 

Анализ схемы идеального приёмника и вероятности ошибки на его выходе позволяет судить об практически двукратном выигрыше по экономии энергии сигнала при использовании потенциальной помехоустойчивости. Из сравнения потенциальной помехоустойчивости приемника Котельникова с потенциальной помехоустойчивостью некогерентного приемника с амплитудной модуляцией, можно сделать вывод, что помехоустойчивость приемника, использующего в качестве информационного параметра амплитуду, практически в два раза меньше вероятности ошибки приемника Котельникова.

Оптимальная фильтрация.

Отметим, что оптимальный приемник является корреляционным, сигнал на его выходе представляет собой функцию корреляции принимаемого и ожидаемого сигналов, благодаря чему обеспечивается максимально возможное отношение сигнал/шум.

Так как определение функции корреляции является линейной, то её можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого являются такими, что отношение сигнал/шум на его выходе получается максимальным. Задача оптимальной фильтрации непрерывного сигнала ставится так, чтобы обработав принятый сигнал, получить на выходе приемника сигнал, наименее отличающийся от переданного сигнала. Решение этой задачи основывается на трех основных предположениях:

1. Сигнал S(t) и помеха w(t) представляют собой стационарные случайные процессы;

2. Операция фильтрации предполагается линейной;

3. Критерием оптимальности считается минимум среднеквадратичной ошибки.

 

Рассмотрим задачу синтеза фильтров, которые используются в схемах обнаружения и различения дискретных сигналов. Как правило эти фильтры ставятся перед решающим устройством, задача которого – вынести решение в пользу того или иного сигнала. Нужно отметить важное обстоятельство, что при приеме дискретных сигналов нет необходимости заботиться о сохранении формы сигнала. Основная задача – обеспечить минимум ошибочных решений при приеме сигналов.

Очевидно, что вероятность ошибочного приема будет уменьшаться. Поэтому при синтезе фильтров для дискретных сигналов используется критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Фильтры, удовлетворяющие данному критерию могут называться оптимальными фильтрами, или фильтрами, увеличивающими отношение сигнал/шум.

На вход фильтра с передаточной функцией K(jw) подается смесь сигнала S(t) и помехи n(t). Полагаем сигнал полностью известным, неизвестным считается лишь факт его присутствия. Известны также статистические характеристики шума (помехи). Требуется синтезировать такой фильтр (т.е. К_опт(jw)), который обеспечивал бы на выходе в заданный момент времени (момент принятия решения) t₀ наибольшее отношение пикового значения сигнала y(t₀) к среднеквадратичному шуму s_n:

 

Рассмотрим случай, когда шум на входе фильтра имеет равномерный энергетический спектр G(w)=n₀² (белый шум). Сигнал может быть задан своей временной функцией S(t) или комплексным спектром.

 

комплексный коэффициент передачи фильтра представим в форме:

тогда для сигнала и дисперсии шума на выходе фильтра можно записать:

 

Примем t₀ – как некоторый фиксированный момент времени, при котором амплитуда на выходе фильтра достигает своего максимального значения. Для этого значения времени получим:

отношение квадрата пикового значения сигнала к дисперсии шума в момент времени t₀ будет равно:

Дальше задача сводиться к отысканию коэффициента передачи K_опт(jw), обеспечивающего максимум значения h². Для этого можно воспользоваться неравенством Шварца-Буняковского для комплексных функций.

 

данное неравенство превращается в равенство только при условии:

, где а – некоторая постоянная.

 

Подставляя предыдущее неравенство в это выражение, замечаем, что максимум величины h² обеспечивается при выполнении условия:

 

из последнего выражения получим:

K(w)=aS(w), j_K(w)+j_S(w)+wt₀=0

 

Откуда находим:

j_K(w)+j_S(w)+wt₀=0

j_K(w)=-j_S(w)-wt₀.

Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением:

, (4.20)

 

где * обозначает комплексно-сопряженную величину. Тогда отношение сигнал/шум в момент времени t₀ будет равно:

, (4.21)

 

где E – энергия сигнала на входе фильтра. Величина h_m² определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.

 

Пояснения к полученным результатам.

АЧХ оптимального фильтра отличается постоянным множителем от амплитудного спектра сигнала, поэтому оптимальный фильтр пропускает различные частотные составляющие сигнала неравномерно с тем большим ослаблением, чем меньше интенсивность этих составляющих, в результате полная мощность шума на выходе фильтра получается меньшей, чем при равномерной АЧХ.

Заметим, что член выражения wt₀ для фазовой характеристики означает сдвиг во времени на величину t₀ всех частотных составляющих сигнала. Приведенные равенства означают, что в момент времени t₀ все спектральные составляющие сигнала фильтра имеют одну и ту же начальную фазу. Оптимальный фильтр обеспечивает компенсацию начальных фаз составляющих сигнала. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t₀ пиковый выброс выходного сигнала. На составляющие шума, имеющие случайные начальные фазы, оптимальный фильтр таково влияния не оказывает.

Вследствие этих двух причин оптимальный фильтр обеспечивает максимум пикового напряжения сигнала к среднеквадратичному значению шума.

Так как частотные характеристики оптимального фильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, полностью определяются спектром (т.е. формой) сигнала, то говорят, что они согласованы с сигналом, а такой фильтр называют согласованным для данного сигнала. Следует отметить, что оптимальный фильтр для сигнала S(t) будет являться оптимальным и для всех сигналов той же формы, но отличающихся от него амплитудой, временным положением и начальной фазой заполнения (для радиоимпульсов).

Полученные выше результаты относятся к случаю приема сигналов с белым шумом.

Рассматривая более общий случай, когда шум имеет неравномерную спектральную плотность G_n(w), можно показать, что передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением:

(4.22)

Оптимальный фильтр в этом случае можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров. Первый из них имеет амплитудно-частотную характеристику , его назначение – “обелить” шум, который поступает на вход фильтра. Второй фильтр с передаточной характеристикой K₂(jw) является оптимальным для искаженного сигнала (после первого фильтра), но уже при белом шуме.

Здесь интересно отметить следующее обстоятельство. Если квадрат амплитудно-частотного спектра сигнала совпадает по форме со спектральной плотностью шума, т.е. , то АЧХ оптимального фильтра должна быть равномерной (K(w)=K=const).

Определим импульсную переходную функцию согласованного фильтра. Импульсной переходной функцией называется отклик цепи на короткий импульс (дельта-функция). Она связана с передаточной характеристикой преобразование Фурье:

(4.23)

Так как для согласованного фильтра , то для g(t) получим

(4.24)

Таким образом, импульсная переходная функция согласованного фильтра для сигнала S(t) отличается от временной функции, описывающей этот сигнал, только постоянным множителем, смещением во времени на величину t₀ и знаком аргумента t. Другими словами, импульсная переходная функция согласованного фильтра является зеркальным отражением временной функции сигнала, сдвинутым на величину t₀.

 

S(t) S(t) S(t)

 

 

t t

Рисунок 12. Импульсная переходная функция фильтра

 

Величина t₀ выбирается из условия физической реализуемости фильтра, согласно которому отклик цепи не может опережать воздействие. Если на вход фильтра подается дельта-функция в момент времени t=0, то отклик (импульсная реакция) фильтра может появиться лишь при t>0. Только при выполнении этого условия может быть использована вся энергия сигнала для создания пикового выброса в момент времени t=t₀. Обычно выбирают t₀=T. Можно сделать вывод, что согласование сигналов возможно лишь для сигналов конечной длительности, т.е. импульсных сигналов.