Основные задачи, решаемые способом вращения вокруг проецирующей прямой.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

Решение. Если прямая параллельна плоскости проекций π₁ или π₁, то одна из ее проекций должна быть параллельна оси 0 Х. Для того чтобы прямую общего положения l (l ₁, l ₂) преобразовать, например, во фронталь (рис. 85), ее необходимо вращать вокруг оси i ⊥π₁.

Рис.85

Для этого:

1. Выбираются две точки А (А ₁ А ₂) и В (В ₁ В ₂), принадлежащие прямой l.

2. Проводится ось вращения i (i ₁, i ₂) перпендикулярно π₁ через точку В (В ₁ В ₂) прямой l (l ₁, l ₂).

3. Вращается прямая l вокруг оси i до параллельности ее плоскости π₂ (l ∥π₂ =˃ l ₁¹∥0 Х). При этом точка В прямой останется неподвижной (В ₁≡ В и В ₂≡ В ), так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше (А ₁ →А и А ₂→ А . Таким образом отрезок [ АВ ], принадлежащий прямой l, в новом положении является частью фронтали, а, следовательно, отрезок [ АВ ] и угол его наклона к плоскости π₁ проецируется на плоскость π₂ в истинную величину ([ А В ] = [ АB ]; угол α – угол наклона отрезка [ АB ] к плоскости π₁).

Задача 2. Преобразовать прямую общего положения проецирующую прямую.

Решение. 1. Преобразование проводится двумя вращеньями. При первом вращении прямая общего положения переводится в положение прямой уровня, т.е. решается задача 1. При втором вращении прямая уровня переводится в проецирующее положение.

Рассмотрим решение на примере рис. 86.

При первом вращении прямая l стала прямой уровня, т.е. фронталью. Значит, при втором вращении, ее можно преобразовать вращением вокруг оси j перпендикулярной π ₂ в горизонтально-проецирующую прямую. При вращении фронтали вокруг оси j она сохраняет параллельность плоскости π ₂ и может быть повернута в положение, перпендикулярное π ₁. На эпюре (рис. 86) это показано следующим образом.

Рис. 86

1. Проводится ось вращения j (j ₁, j ₂) перпендикулярно π₂ через точку
A (A A ) прямой l (l , l ).

2. Вращается прямая l вокруг оси j до перпендикулярности ее с плоскости π ₁ (l ⊥ π ₁ =˃ l ⊥0 Х). При этом точка А прямой останется неподвижной
(А ≡ А ₁² и А ≡ А ), так как принадлежит оси j, а точка В будет вращаться по правилам, рассмотренным выше (В → В и В → В ). Кроме того, следует отметить, что на плоскости π ₁ проекция прямой l (A ≡ B ) вырождается в точку, а это характерный признак горизонтально-проецирующей прямой.

3 адача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую.

Решение.Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости λ(∆ АВС), преобразовать в проецирующую, то плоскость λ(∆ АВС) тоже станет проецирующей (рис. 87).

Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2). Если плоскость λ(∆ АВС) вращать вокруг оси i ⊥π₁, то горизонталь h (А 1), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости π₂ (см. задачу 2), при этом плоскость λ (∆ АВС) становится фронтально-проецирующей. Для упрощения построений на эпюре горизонталь h (А ₁1₁, А ₂1₂) и ось вращения i (i ₁, i 2) проведены через вершину А треугольника АВС.

Для построения новой горизонтальной проекции А В С треугольника АВС можно воспользоваться одним из следующих соображений:

1) так как угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости π ₁ при вращении вокруг оси i ⊥π₁ не изменяется, то ∆ А В С =∆ А ₁ В ₁ С ₁;

 

Рис. 87

2) величина угла поворота точек В ₁ и С ₁ равна величине угла поворота горизонтальной проекции горизонтали h ₁ →h . Точка А ₁ неподвижна, так как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из эпюра (рис. 77).

Треугольник А В С перпендикулярен π₂ и поэтому его фронтальная проекция А В С вырождается в прямую линию. Учитывая то, что плоскость λвращалась вокруг оси i ⊥π₁, следовательно, угол α между вырожденной проекцией плоскости λ₂(А В С ) и осью 0 Х есть угол наклона самой плоскости λ к плоскости проекций π₁.

Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i ⊥π₂, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь. Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2). Если плоскостьλ(∆ АВС) вращать вокруг оси i ⊥π₁, то горизонталь h (А 1), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости π₂ (см. задачу 2), при этом плоскость λ(∆ АВС) становится фронтально-проецирующей. Для упрощения построений на эпюре горизонталь h (А ₁1₁, А ₂1₂) и ось вращения i (i ₁, i ₂) проведены через вершину А треугольника АВС.

3 адача 4. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в проецирующую плоскость (решить задачу 3), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Рассмотрим преобразование фронтально-проецирующей плоскости в горизонтальную плоскость уровня (рис. 88).

Для этого фронтально-проецирующую плоскость (∆ А В С , ∆ А В С ) вращая вокруг оси j, перпендикулярной плоскости π₂, проведенной через вершину B ¹ треугольника А ¹ В ¹ С ¹. И когда плоскость λ¹ расположится параллельно плоскости π ₁ ее фронтальная проекция (А В С ) займет положение (А В С ), параллельное оси 0 Х. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из эпюра (рис. 88).

Следует отметить, что проекция треугольника ∆ А В С является натуральной величиной треугольника ∆ АВС, так как плоскость λ² параллельна плоскости проекций π₁: λ²∥π₁=˃ ∆ А В С =∆ АВС.

 

Рис. 88