Используемые обозначения и символы

А, В, С, … и (или) 1,2,3, …– точки в пространстве.

a, b, c, … – прямые и линии в пространстве.

a, b, g, … – плоскости или поверхности пространства.

Ф – общее обозначение любой фигуры (прямой, плоской фигуры, поверхности).

∩ – пересечение. Например, [ АВ ] ∩ a – отрезок [ АВ ] пересекается с плоскостью a.

(х) – условия задания. Например, λ(А, В, С) – плоскость λ задана точками А, В и С.

= – результат решения. Например, [ АВ ] ∩ a = М – отрезок [ АВ ] пе­ре­секается с плоскостью a в точке М.

ǁ (∦) – параллельность (не параллельность). Например, [ AB ] ǁ [ CD ] – отрезок [ AB ] параллелен отрезку [ CD ].

∸ – скрещивание. Например, m ∸ n – прямая т скрещивается с прямой п.

^ (±) – перпендикулярность (не перпендикулярность). Например, l ^ a – прямая l перпендикулярна плоскости a.

Ì (Ë) – принадлежность. (не принадлежность). Например, Т Ì b– точка Т принадлежит плоскости b.

É (⊅) – проходит (не проходит) через. Например, a É А – плоскость a проходит через точку А.

≡ – тождество. Например, А ₁≡ В ₁ – горизонтальная проекция точки А тождественно совпадает с горизонтальной проекцией точки В.

∧ – логическое «И». Например, А ⊂β ∧ В ⊂β – точка А принадлежит плоскости β и точка В принадлежит плоскости β.

˅ – логическое «ИЛИ». Например, … А ˅ В … – … точка А или точка В …

=˃ – логическое следствие «Если …, то …». Например, А Ì l =˃ А ₁Ì l ₁ – если точка А принадлежит прямой l, то горизонтальная проекция точки А ₁ принадлежит горизонтальной проекции прямой l ₁.

˂=˃ – обоюдное логическое следствие. Например, А Ì l ˂=˃ А ₁Ì l ₁ ∧ А ₂Ì l ₂ – если точка А принадлежит прямой l, то ее проекции А ₁ и А ₂ принадлежат проекциям прямой l ₁ и l ₂, а следовательно если проекции А ₁ и А ₂ принадлежат проекциям прямой l ₁ и l ₂, то точка А принадлежит прямой l.

∆ – треугольник. Например, ∆ АВС – треугольник АВС.

R – радиус окружности (дуги). Например, R 10 – радиус дуги 10 мм.

& – диаметр окружности. Например, &10 – диаметр окружности 10 мм.

□ – квадрат. Например, □ 10 мм.

 

Понятие о проецировании

Мост между стереометрией и планиметрией осуществляется с помощью метода проекций, составляющего теоретическую основу начертательной геометрии. Метод обоснован французским учёным Гаспаром Монжем в 1795 г. в г. Париже.

Для реализации метода необходим аппарат проецирования и объекты проецирования. Введём следующие обозначения (рис. 2):

1) аппарат проецирования – это плоскость проекций p и центр проецирования S или направление проецирования s;

2) объект проецирования – точки А, В, С,... какой-либо фигуры;

3) результат проецирования – проекции А ^p, В ^p, С ^p, …

Каждую точку пространства проецируем из центра S на плоскость p, т.е. проводим проецирующий луч, например SA (рис. 2а). Пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций p даёт проекцию точки, например А ^p. В данном случае имеем центральное проецирование.

а – центральное

б – параллельное

в – ортогональное проецирование

рис. 2. Способы проецирования

Если центр S удалить на бесконечно большое расстояние от p и проводить через S _¥ проецирующие лучи, то они будут параллельны между собой и будут иметь общее направление s. В этом случае получаем параллельное проецирование. А ^p – п­роекция точки A на плоскости p (рис. 2б).

Если направление при параллельном проецировании окажется перпен­дикулярным к плоскости проекций p, то получаем прямоугольное, или как ещё говорят, ортогональное проецирование (рис. 2в).

Выше было указано, что метод проекций должен устанавливать взаимно-однозначное соответствие между фигурами Ф пространства и их двумерными изображениями. Это значит, что например точке А пространства должна быть сопоставлена одна и только одна проекция А ^p на плоскости p и наоборот, для проекции А ^p должна быть сопоставлена единственная точка А пространства. Как видим (рис. 3) с одним аппаратом проецирования, обратное утверждение не имеет смысла, т.е. по одной проекции нельзя судить ни о положении точки в пространстве, ни о форме или размерах какого-либо объекта.

Установить указанное выше взаимно однозначное соответствие оказалось возможным при использовании двух аппаратов проецирования (рис. 4). При этом проецирование центральное либо параллельное может быть осуществлено на одну или на две плоскости проекций. В этом случае каждая точка или фигура пространства изображается в виде двух проекций (изображений), по которым можно определить положение точки или фигуры в пространстве, а значит, и форму и размеры любой фигуры, заданной определённым множеством точек. Этот метод получил название метода двух изображений.

Рис. 3 Рис. 4

Наиболее удобным в инженерной машиностроительной практике оказался так называемый метод двух ортогональных проекций. В этом методе использованы два аппарата ортогонального проецирования: первый – плоскость проекций π₁ и проецирующие лучи, перпендикулярные к π₁ и второй – плоскость проекций π₂ и проецирующие лучи, перпендикулярные к π₂. При этом плоскости π₁ и π₂ взаимно перпендикулярны.

Положительные качества этого метода – простота построения изобра­жений и возможность определять размеры объекта по чертежу. Недостаток – отсутствие наглядности.

Для обеспечения хорошей наглядности и достаточной простоты построения изображений в начертательной геометрии используется метод аксонометрического проецирования. В этом методе осуществляется параллельное проецирование пространственных объектов вместе с системой координат, к которой они отнесены, на специально выбранную плоскость проекций p(рис 5). Так как одна параллельная проекция не определяет положения объекта в пространстве и не позволяет установить его форму, то следует строить не только аксонометрическую проекцию объекта, например А ₀, но и одну из ортогональных проекций объекта, например А ₀ '.

Введём обозначения:

p – плоскость аксонометрических проекций,

s – направление проецирования;

x ₀, y ₀, z ₀ – аксонометрические оси, полученные в результате проецирования осей х, у и z на плоскостьp;

0₀ – начало аксонометрических координат.

Так как в общем случае оси х, у и z не параллельны плоскости p, то они проецируются на p с искажением (уменьшением). Поэтому при построении аксонометрических проекций необходимо учитывать коэффициенты искажения по аксонометрическим осям, т.е. k_Xo, k_Yo и k_Zo.

В зависимости от положения плоскости p относительно системы координат и от направления проецирования s возможны различные виды аксонометрических проекций.

Выберем плоскость аксонометрических проекций pпараллельно фронтальной плоскости x 0 z декартовой системы координат – рис. 5. В этом случае оси х и z проецируются на p без искажения, т.е. k_Xo:k_Zo= 1: 1. Если при этом направление s проецирования выберем таким, что на плоскости p угол между осями х ₀ и у ₀ станет равен 45° и коэффициент k_Yo искажения по оси у будет равен ½, то получим аксонометрическую проекцию под названием фронтальная диметрия.

Произвольная аксонометрия Диметрия

Рис. 5

На рис. 5 изображена графическая модель четвертей пространства, выпол­ненная во фронтальной диметрии. По этому наглядному изображе­нию удобно изложить суть построения ортогональных проекций точки.

Более подробное изложение материала по аксонометрическим изобра­жениям приводится в разделе «Проекционное черчение» при изучении инженерной графике.

 

1.4. Инвариантные свойства проецирования

Существуют основные, т.е. неопределяемые понятия начертательной геометрии. К ним относятся точка, прямая, плоскость, множество, расстояние, принадлежность, параллельность и непрерывность.

Прежде чем переходить к изучению изображений прямой, плоскости, поверхности или их сочетаний, рационально выделить инвариантные свойства геометрических фигур, т.е. те свойства, которые сохраняются после проецировании на любую из плоскостей проекций. Этих основных свойств всего восемь, причем инварианты 1, 2, 3 и 4 характерны для любого способа проецирования, а инварианты 5, 6, 7 и 8 только для параллельного проецирования.

1-й инвариант.

Проекция точки есть точка (рис. 6), т.е. точка проецируется в точку (А → А _π). Это инвариантное свойство вытекает из самого определения понятия проекции, как точки пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

2-й инвариант.

Проекция линии (прямой) есть линия (прямая). Это инвариантное свойство вытекает из 1-го инварианта. Так как линия – это последо­вательность точек, то последовательность проекций этих точек даст проек­цию линии. На рис. 7 приведен пример проецирования отрезка [ AB ] на плос­кость проекций π ([ AB ]→[ A _π B _π]).

Рис. 6 Рис. 7

3-й инвариант.

Инвариант принадлежности. Если фигура Ф1 принадлежит фигуре Ф2, то проекция фигуры Ф1 будет принадлежать проекции фигуры Ф2. Например, если точка принадлежит прямой (рис. 8), то и проекция этой точки будет принадлежать проекции этой прямой (C [ AB ] Þ C _πÌ[ A _π B _π]).

Рис. 8 Рис. 9

4-й инвариант.

Точка пересечения двух линий проецируется как точка пересечения про­екций этих линий. Например (рис. 9), К = [ АВ ] ∩ [ CD ] Þ K _π =[ A _π B _π] ∩ [ C _π D _π]. Этот инвариант является следствием инвариантов 2 и 3.

5-й инвариант.

Деления отрезка в заданном соотношении (теорема Фалеса). Если отрезок делится в каком-либо соотношении, то и его проекция будет делится точно в том же соотношении. Например (рис. 10), [ AВ ]:[ CB ] = [ A _π C _π]: [ C _π B _π]. Этот инвариант вытекает из того, что проецирующие лучи парал­лельны между собой.

Рис. 10 Рис. 11

6-й инвариант.

Если прямые параллельны между собой, то и их проекции тоже будут па­раллельны. Например (рис. 11), [ AВ ] ǁ [ CD ] Þ [ A _π B _π] ǁ [ C _π D _π]. Данный инва­риант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.

7 -й инвариант.

Параллельность переноса объекта. Если объект перемещается параллельно самому себе, то его проекция не меняет своей формы и размеров, а меняет только свое местоположение на картине. Например (рис. 12), ∆ АВС ǁ ∆ А ¹ В ¹ С ¹^ ∆ АВС = ∆ А ¹ В ¹ С ¹ ⇒ ∆ А _π В _π С _π = ∆ А В С . Данный инвариант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.

8-й инвариант.

Если плоская фигура параллельна картинной плоскости, то ее проекция является натуральной величиной этой фигуры. Например (рис. 13), ∆ АВС ‖ π⇒ ∆ А _π В _π С _π = ∆ АВС. Данный инвариант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.

 

Рис. 12 Рис. 13

1.5. Контрольные вопросы

1. Что изучает начертательная геометрия?

2. Какие задачи решает начертательная геометрия?

3. Что называется чертежом?

4. Какие специальные символы существуют для обозначения параллельности, перпендикулярности, пересечения, скрещивания? Какие обозначения вы знаете, кроме этих?

5. Основные элементы аппарата проецирования.

6. Виды проецирования.

7. В чем сущность центрального проецирования?

8. В чем сущность параллельного проецирования?

9. Чем отличается ортогональное проецирование от косоугольного?

10. Как проецируются точка и линия?

11. В чем заключается сущность инвариантов «Точка пересечения двух линий», «Принадлежность» и «Параллельность переноса объекта»?