Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена.

В моделях рыночного равновесия спрос и предложение обычно представлены непрерывными функциями. Предполагается, что всякому малому изменению цены соответствует определенное изменение объемов спроса и предложения. Такое предположение не всегда реалистично. Непрерывное изменение цены не обязательно сопровождается непрерывным же изменением объемов спроса и предложения, которые могут изменяться скачкообразно, оставаясь нечувствительными к малым изменениям цены. В этом случае функции спроса и предложения имеют ступенчатый характер.

Используя некоторые элементы теории множеств, можно предложить достаточно общую модель равновесной цены, справедливую как для непрерывных, так и для дискретных функций спроса и предложения. При этом оказывается, что равновесная цена может быть представлена как медиана упорядоченного множества цен спроса и предложения.

Пусть максимально возможный объем предложения некоторого товара составляет . Пусть, далее, все возможные цены предложения этого товара представлены множеством

а все возможные цены спроса – множеством

Очевидно, что эти множества могут оказаться количественно эквивалентными или равномощными () лишь случайно. Скорее всего, мощность множества будет больше мощности множества () хотя возможно и обратное (). Чтобы сделать их равномощными, мы можем дополнить меньшее по мощности множество "недостающими" элементами.

Конкретно, если , дополним множество ценами предложения . Если же дополним множество ценами спроса . Здесь бесконечно высокие цены предложения означают невозможность увеличить объем предложения ни при каком разумном уровне затрат. Нулевые цены спроса свидетельствуют об ограниченной в силу каких-то причин емкости рынка.

Теперь мы имеем два количественно эквивалентных множества:

Очевидно, что при любом уровне рыночной цены (р) алгебраическая сумма отклонений от нее всех цен спроса и предложения будет равна суммарному излишку покупателей и продавцов:

При этом взаимовыгодным обмен будет лишь для тех покупателей и продавцов, у которых величина излишка будет неотрицательной, а невзаимовыгодным для тех, у кого она окажется неположительной. Следовательно, равновесная рыночная цена () должна в отличие от любой другой обеспечивать равенство суммы модулей отклонений от нее цен спроса и предложения разности неотрицательных и () неположительных сумм общественной выгоды по всем Q единицам товара ( - равновесный объем рынка при цене ): (**)

А поскольку сумма абсолютных значений двух величин не может быть меньше их алгебраической суммы, то

и, следовательно,

Тогда можем переписать (**) так:

Последнее означает, что сумма модулей отклонений всех цен спроса и предложения от равновесной цены меньше, чем от любой другой величины. Но таким свойством обладает лишь медиана (Me) всей совокупности цен спроса и предложения. В этом легко убедиться.

Объединим множества и в единое упорядоченное множество:

Тогда

Или, принимая, что

Развернуто

Дифференцируя и приравнивая нулю, найдем

=>

Следовательно