Научная новизна некоторых тепло- и массообменных процессов

В этом разделе приведены примеры развития тепло- и массообменных процессов, связанных с интенсификацией переноса телоты и массы в капиллярно-пористых телах, повышение эффективности которых обусловлено изменением физического состояния распределяемого компонента, что сопровождается затратой и высвобождением значительного количества теплоты фазового перехода.

Представлены примеры развития тепло- и массообменных процессов при термообработке шоколадной глазури в поле ТВЧ, при варке пивного сусла в комбинированном аппарате циклического действия, при сушке послеспиртовой зерновой барды в аппарате с закрученным потоком теплоносителя, при криогенном вымораживании растительного масла, при разработке способа и установки для получения ароматных спиртов из эфиромасличного сырья. Техническая новизна этих аппаратов приведена в разделе 13.2.

 

Рис. 10.16. К построению математической модели ТВЧ-нагрева в периодическом режиме (штриховка - фидерные пластины)

Процесс термообработки шоколадной глазури в поле ТВЧ, модельные представления которого сформулированы Ряжских Э.В.

Разработанны математические модели кинетики нагрева в поле ТВЧ. В соответствии с расчетной схемой (рис. 10.16) сделаны допущения об осесиметричности температурного поля и отсутствия теплообмена с окружающей средой через фидерные пластины. Удельный источник энергии за счет электромагнитного нагрева материала в зависимости от его электрофизических свойств рассчитывается из соотношения:

, Вт/м³. (10.93)

Уравнение переноса теплоты молекулярной теплопроводностью при наличии постоянного теплового источника, записанное в безразмерном виде, таково:

; (10.94)

 

с начальным условием

; (10.95)

с граничными условиями отсутствия теплообмена через плоскости симметрии

; (10.96)

, (10.97)

 

где ; ; ; ; ;

; ; ; ;

; - температура среды и начальная материала; - коэффициент теплоотдачи от материала к воздуху, Вт/(м²·К).

Условия (10.97) означают независимость температуры от Z, а в силу изотропности материала, одинаковой гидродинамической обстановки вблизи боковых граней допустимо понизить координатную размерность задачи (10.94)–(10.97), проводя процедуру интегрального осреднения, например по оси ОX, тогда:

, (10.98)

, , , (10.99)

где .

Методом интегрального преобразования Лапласа по переменной Fo получено аналитическое решение системы (10.98)–(10.99):

(10.100)

где корни уравнения .

Показан способ вычисления коэффициента теплоотдачи в предположении свободноконвективного теплообмена с окружающим воздухом.

Анализ неравномерности температурных полей показан на рис. 10.17. Рис. 10.17.(а) соответствует ситуации, когда начальная температура шоколадной глазури выше температуры окружающей среды, рис. 10.17.(б) – противоположной ситуации. Сделан вывод о том, что для осуществления процесса с целью уменьшения перепада температур в рабочей камере, необходимо перед обработкой глазури ее охладить. С помощью вычислительных экспериментов проведен анализ неоднородности температур на основе предложенного критерия неоднородности и оценена неоднородность прогрева в зависимости от параметров процесса и величины тепловой нагрузки.

, (10.101)

Путем применения к (10.100)–(10.102) процедуры интегрального осреднения по координате Y предложена инженерная зависимость для расчетов

. (10.102)

При допущениях осесимметричности, «снарядного» режима движения среды в рабочей зоне, а также в силу того, что расстояние между вертикальными фидерными пластинами h₂ намного меньше ширины h₁ и высоты h₃ камеры ТВЧ и теплообменом через нефидерные поверхности можно пренебречь, математическая модель непрерывного режима представлена в виде:

; (10.103)

; ; (10.104)

; ; (10.105)

где ; ; ; ; - средняя по сечению скорость среды, м/с.

На основе аналитического анализа (10.101)–(10.105) получена зависимость для инженерных расчетов

. (10.106)

 

* * *

Таким образом, синтезированы математические модели ТВЧ-нагрева для периодического и непрерывного режима, учитывающие теплообмен с внешней средой, которые позволяют анализировать неравномерность прогрева среды в рабочей камере и определять величину локального перегрева с помощью предложенного критерия неоднородности. Предложены способ и конструкция ТВЧ-камеры для диэлектрической обработки сырья, которые обеспечивают уменьшение неравномерности нагрева сырья.

 

Процесс варки пивного сусла в комбинированном аппарате циклического действия, модельные представления которого сформулированы Клепиковым В.М.

Проведено моделирование варки пивного сусла в комбинированном аппарате циклического действия, представляющей собой сложный энергоемкий тепло и массообменный процесс, состоящий из трех взаимосвязанных технологических операций: затирание или экстрагирование солода, фильтрование сусла и кипячение с хмелем.

Рис. 10.18. Схема неподвижного слоя: 1 – раствор; 2 – твердые частицы

При рассмотрении процесса экстрагирования в неподвижном слое растительной ткани считали, что структурная характеристика слоя такова: слой состоит из пористых частиц, раствор заполняет свободные объемы слоя и пористых частиц (рис. 10.18). С целью представления кинетики экстрагирования в неподвижном слое был рассмотрен синтез математической модели процесса экстрагирования для неподвижного слоя (рис. 10.19, а) и был выделен элементарный объем dV со структурой (рис. 10.19, б).

а) б) Рис. 10.19. Схема рабочего участка аппарата

Перед формулировкой дифференциального уравнения математической модели было принято ряд допущений. Во-первых, при экстрагировании извлекается композиционное вещество, и поэтому, в общем случае, описывать процесс необходимо для каждого компонента композиции отдельно и что дольная суперпозиция этих компонентов в процессе экстрагирования сохраняется постоянной. Такое допущение приводит к тому, что концентрация извлекаемых компонентов может быть охарактеризована скалярным полем концентраций с (z, r, t), Во-вторых, уплотнение неподвижного слоя в процессе мало, по сравнению с рабочим участком экстрактора. Это позволяет считать, что порозность неподвижного слоя в процессе неизменна. В-третьих, параметры гидродинамической структуры слоя определены заранее (поле скоростей, давлений и т.д.).

Анализ процесса экстрагирования основывался на том, что изменение потока массы извлекаемого вещества в экстрагенте характеризуется векторным полем

, (10.107)

На основании определения концентрации извлекаемых компонентов , проекции на оси z и r можно представить в виде систем дифференциальных уравнений в частных производных:

. (10.108)

, (10.109)

где k ₁, k ₂ – коэффициенты массоотдачи; С_s – предельная растворимость композиционного вещества в растворе; l, l_m – текущий и максимальный размеры частиц неподвижного слоя; k_v – коэффициент формы частиц; f ₀ (l) – счетная функция распределения частиц в слое.

Граничные условия представленных зависимостей:

начальные условия

; (10.110)

отсутствие потока вещества через стенку экстрактора

;

условие осесимметричности задачи

;

условие на входе в рабочую зону экстрактора

.

,

где h – высота рабочего участка аппарата.

Масса экстрагируемого вещества рассчитывается в виде зависимости:

. (10.111)

Моделирование процесса фильтрации было основано на следующих представлениях. Фильтрацию затора производят через слой дробины, который образуется на поверхности сит фильтрующего устройства. Скорости фильтрации сусла зависит от многих факторов, в том числе от качества затора, живого сечения сит, высоты слоя дробины.

Для определения гидродинамической структуры экстрагента в плотном слое была решена задача стационарной фильтрации в щелевом канале (рис. 10.20), которая сформулирована в виде уравнения Лапласа для поля давлений с соответствующими граничными условиями:

; (10.112)

Рис. 10.20. Схема щелевого канала

Т.к. стенки канала непроницаемы, то составляющая скорости жидкости по нормали к границе равна нулю, тогда из закона Дарси следует:

, (10.113)

на входе в слой поддерживается постоянное давление:

; (10.114)

причем без скачка по производной

. (10.115)

Решение системы (10.112) – (10.115), полученное методом интегрального преобразования Лапласа, с учетом связи между полем скоростей и потенциалом течения, в относительных величинах имеет вид:

, (10.116)

. (10.117)

Рис. 10.21. Результаты расчетов профиля скоростей в пористом канале

Анализ результатов расчетов, приведенных на рис. 10.21, показывает, что профиль скорости при фильтрации однокомпонентной несжимаемой жидкости практически постоянен по сечению канала.

С учетом этого, и принимая во внимание, что конвективный перенос вдоль рабочей зоны экстрактора существенно интенсивней, чем обратное перемешивание, система (10.108)-(10.109) приводится к виду:

; (10.118)

; (10.119)

; (10.120)

. (10.121)

Решение системы (10.118)-(10.121) в относительных переменных имев вид

(10.122)

. (10.123)

В частности, когда массопередача в аппарате определяется скоростью массопереноса от межфазной границы в экстрагент, получена зависимость времени «отработки» слоя от параметров процесса:

. (10.124)

 

* * *

Осуществлено моделирование процессов экстрагирования в неподвижном слое растительной ткани и фильтрации затора через слой дробины процесса Сопоставление экспериментальных данных и результатов численных экспериментов по предложенной математической модели позволило сделать вывод об адекватности модели (средняя относительная ошибка и среднее квадратичное отклонение составили не более 10 %). Установлено, что процесс экстрагирования протекает по смешанной кинетике.

Процесс сушки послеспиртовой зерновой барды в аппарате с закрученным потоком теплоносителя, модельные представления которого сформулированы Журавлевым А.В.

Предложено математическое описание процесса сушки послеспиртовой зерновой барды при следующих допущениях: частицы дисперсной фазы, имеют цилиндрическую форму, у которой диаметр намного меньше длины; гидродинамические, тепло- и массообменные поля имеют однородную структуру. В связи с этим кинетика процесса сушки рассматривается на микроуровне, т.е. в рамках одной частицы.

В основу модели положены уравнения линейной термодинамики для капиллярно пористых тел А.В. Лыкова. Для наших условий эта модель записана в следующем виде:

, (10.125)

. (10.126)

В начальный момент времени температура и влагосодержание равномерны по координатам:

; . (10.127)

На оси симметрии предполагается отсутствие переноса тепла и влаги:

. (10.128)

На внешней границе сформулированы сопряженные условия тепло-массообмена в виде:

, (10.129)

. (10.130)

С целью приведения теоретического и расчетного анализа, а также выяснения структуры критериального множества, от которого зависят искомые потенциалы процесса, приведем математическую модель к безразмерному виду:

, (10.131)

, (10.132)

; , (10.133)

, (10.134)

, (10.135)

. (10.136)

 

* * *

Даная математическая модель представлена в безразмерном виде, ее решение получено численно, с применением конечно-разностных технологий. Это решение позволяет производить инженерные расчеты по прогнозированию кинетики сушки послеспиртовой барды в аппаратах с закрученными потоками теплоносителя.

Сравнительный анализ расчетных и экспериментальных данных показал хорошую сходимость: отклонение расчетных от экспериментальных данных не превышало 13,8 %.

Процесс криогенного вымораживания растительных масел, модельные представления которого сформулированы Ященко С.М.

При рассмотрении физических аспектов такого процесса, схематическая картина процесса выглядит следующим образом.

За счёт холода, содержащегося в газовых пузырьках при барботировании, происходит понижение температуры растительного масла. Вследствие этого снижается концентрация насыщения и избыточная примесь восков кристаллизуется. На интервале [0,t _К ] концентрация насыщения снижается за счёт понижения температуры. Когда c_s = c ₀, наступает процесс зародышеобразования и рост кристаллов.

С целью представления кинетики барбатажного криогенного вымораживания была рассмотрена комбинированная математическая модель тепломассообменного процесса охлаждения (рис. 10.22) и кристаллизации слоя продукта (рис. 10.23) был выделен элементарный объем dх.

Рис. 10.22. Расчетная схема тепловой задачи: 1 - слой растительного масла; 2 – распределительное устройство для барботирования газа, показанного стрелками	Рис. 10.23. Расчетная схема к выводу уравнений модели кристаллизации

Перед формулировкой дифференциального уравнения математической модели был принят ряд допущений. Во-первых, под коэффициентом температуропроводности понималось некоторое его эффективное значение, т.е. . Такое допущение означает, что в понятие коэффициента конвекции e положена зависимость от гидродинамической обстановки и геометрических параметров. Во-вторых, предполагалось, что в распределительном устройстве поддерживается постоянная температура t_х, а на свободной поверхности растительного масла отсутствует градиент температуры. Математическая формулировка тепловой задачи имеет следующий вид:

; (10.137)

; (10.138)

; (10.139)

. (10.140)

Введены безразмерные параметры:

X = x/h; Q =ta_эф/h²; T(X,Q)=t(x,t)/t₀; T_x=t_x/t₀. (10.141)

Система (10.137)-(10.140) с учётом (10.141) в безразмерном виде запишется как

; (10.142)

; (10.143)

; (10.144)

. (10.145)

В результате применения преобразования Лапласа к (10.142)-(10.145) определено температурное поле по высоте слоя продукта:

(10.146)

и среднеинтегральное распределение температуры

(10.147)

Синтез кинетического уравнения кристаллизации получен из следующих соображений. Рассмотрен элементарный объём (рис. 10.23), где штучную концентрацию кристаллов размера для выделенного объёма охарактеризована соотношением

. (10.148)

Изменение числа кристаллов размера в объёме ∂V составляет

, (10.149)

или - (10.150)

. (10.151)

Введена локальная функция распределения числа кристаллов по размерам:

, (10.152)

тогда из (10.152)-(10.155) следует:

. (10.153)

первое слагаемое в правой части есть

,

в итоге получено

. (10.154)

В общем случае и u=u(x), поэтому уравнение (10.154) в обобщённом виде представляет кинетическое уравнение процесса кристаллизации для нижней части слоя, ниже границы равновесной температуры:

. (10.155)

Аналогично получено кинетическое уравнение растворения в верхней части слоя:

. (10.156)

Предполагая, что взвесь восков перед началом процесса отсутствует, т.е.

. (10.157)

Выражение (10.157) является начальными условиями.

При x=0 кристаллы отсутствуют .

Концентрация зародышей, образующихся за время ¶t в элементарном объёме, есть

.

Разделив его на и, учитывая, что , получим:

. (10.158)

Очевидно, что на границе раздела частей выполняется условие:

. (10.159)

Условие (10.159), является одним из граничных условий для функции . Кроме всего, зародыши в верхней части слоя должны отсутствовать, т.е.

. (10.160)

* * *

Система уравнений (10.157)-(10.160) описывает кинетику рассматриваемого процесса в пространстве размеров образующихся кристаллов восков и их растворения, что может быть использовано при определении оптимальных режимов охлаждения пищевых жидкостей путем барботирования паров азота с возможностью учета физико-химических особенностей охлаждаемого продукта

Процесс получения ароматных спиртов из эфиромасличного сырья, модельные представления которого сформулированы Барниковым В.А.

Предложено математическое описание процесса получения ароматного спирта и обобщение основных факторов, влияющих на его протекание.

Сущностью математического моделирования является определение связи между процессом экстракции и процессом перегонки. Рассмотрим отдельно математическое описание процесса перегонки (при режиме постепенной дистилляции и периодической ректификации) и процесса экстракции.

Целью математического моделирования процесса перегонки является расчет изменения концентрации водноспиртовой жидкости в кубе, изменения содержания в ней эфирного масла и изменения содержания эфирного масла в сырье. Данное моделирование написано при следующих допущениях:

1) мольные теплоты испарения компонентов одинаковы и не зависят от состава разделяемых смесей;

2) коэффициент испарения лимонена определяется только мольной долей этилового спирта в смесях и не зависит от состава разделяемых смесей;

3) концентрация эфирного масла во фракции ароматного спирта равна концентрации эфирного масла в ароматном спирте на момент отбора половины данной фракции.

В основе модели лежат законы простой перегонки, составленные нами уравнения материального баланса этилового спирта и лимонена для конденсатора и тарелок ректификационной колонны и составленный нами материальный баланс эфирного масла в эфиромасличном сырье. С помощью указанных уравнений (и с учетом допущений) мы рассчитывали концентрацию эфирного масла в кубовой жидкости и эфиромасличном сырье.

Законы простой перегонки:

L_Нх_Н - L_Кх_К = Пх_д, (10.161)

, (10.162)

. (10.163)

Уравнения материального баланса этилового спирта или лимонена для конденсатора колонны:

G y_n = (G - F) x _F + F y _F. (10.164)

Учитывая отсутствие укрепляющего эффекта в конденсаторе:

x _F= у _F = у_п.

Для тарелок колонны:

G y_n-1 = L x_n + F y _F; (10.165)

G y_n-2 = L x_n-1 + F y _F;

………………………..

G y₀ = L x₁ + F y _F.

Для лимонена система (10.168) дополняется еще уравнением:

x _i = y _i /К _i. (10.166)

Материальный баланс эфирного масла в сырье:

М _а х ⁰_аэ = М _а х _аэ1 + L _кжм1 х _эм1 + L _асм1 у _эм1; (10.167)

М _а х ⁰_аэ = М _а х _аэ2 + L _кжм2 х _эм2 + L _асм2 у _эм2 + М _э1;

………………………………………………

М _а х ⁰_аэ = М _а х _аэi + L _кжмi х _эмi + L _асмi у _эмi + .

Рис. 10.24. Физическая модель частички эфиромасличного сырья

Математическая модель процесса экстракции написана при следующих положениях и допущениях.

В качестве модели частицы использована сферическая форма (рис. 10.24).

Дифференциальное уравнение переноса, описывающее поле концентраций в пористой сферической частице:

. (10.168)

Ввиду трудности экспериментальной проверки уравнения из-за малого размера частиц, контактирующих с экстрагентом в реальных условиях, воспользуемся в дальнейшем решением в виде зависимости средней по объему частицы концентрации целевого компонента , полученной при условии постоянства концентрации в экстрагенте :

. (10.169)

Начальное условие:

С_тв (r, 0) = С⁰_тв. (10.170)

Граничное условие 3-го рода:

= β (С_{тв. пов.} – С_ж). (10.171)

Так как значение β велико, (10.171) переходит в граничное условие
1-го рода:

С_{тв. пов.} = С_ж. (10.172)

В течение промежутка времени между отборами проб концентрация жидкой фазы постоянна, и равна среднему значению между концентрациями в начале и конце интервала:

. (10.173)

Тогда математическая модель процесса экстрагирования включает дифференциальное уравнение диффузии в сферической частице, начальное и граничное условия:

, (10.174)

С_тв (r, 0) = С⁰_тв,

С_тв (r = R, τ) = .

Решение рассмотренной задачи имеет следующий вид:

. (10.175)

При больших значениях диффузионного критерия Био (Bi ) и числа Фурье уравнение (10.178) упрощается, принимая вид:

. (10.176)

Уравнение (10.176) использовалось при обработке экспериментального материала. Логарифмированием оно легко приводится к линейной форме:

. (10.177)

 

* * *

Предложена математическая модель процесса получения ароматного спирта, включающая в себя взаимосвязанные математические описания процессов перегонки и экстракции.