Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра

Определение.

Пусть - это предельная точка множества .Функция называется равномерно сходящейся к функции при по переменной , если выполняются следующие условия:

1. для при существует конечная предельная функция ;

2.. (1)

Замечание 1.

В цепочки (1) зависит только от и не зависит от , а неравенство выполняется при любых одновременно.

Замечание 2.

Если , то в цепочке (1) неравенство следует заменить на ().

Теорема 1 (признак сходимости). Если функция определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

Докажем теорема так.

Необходимость. Пусть функция равномерно сходится. Если заменим в определении на и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и из так, чтобы выполнялись условия и . В результате получим и откуда следует последнее неравенство в цепочке .

Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .

Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция при любом фиксированном непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .

Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.

Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция непрерывна при постоянном значении на и сходится равномерно по переменной к предельной функции при , то тогда имеет место равенство

(2)

Доказательство.

Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости к выполняется . Тогда при тех же и имеем:

откуда следует, что доказывает формулу (2).

Замечание 3.

Равенство (2) можно записать и в другом виде

. (2`)

Следствие 1.

Если функция при постоянном непрерывна по и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).

В предположении, что область представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .

Пример (№3713 (в)). Найти .

1. функция непрерывная функция на . Функции и также непрерывны на.

2. непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит

3. .

Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .

Доказательство.

Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое и зафиксируем . Тогда нашему значению будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим

. Это означает, что функция равномерно стремится к. В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .

Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .

Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике , то .

 

26 Задачи приводящие к понятиям кратного интеграла, криволинейного и поверхностного интеграла 1-го рода.

 

Пусть – брус (промежуток) в , – разбиение промежутка I. На каждом из промежутков разбиения отметим точку .

Получим разбиение с отмеченными точками для .

Величина называется интегральной суммой Римана для функции f (x) на промежутке I по разбиению с отмеченными точками .

 

Def: = = .

 

Обозначая – множество функций интегрируемых на брусе I запишем:

Def: ε > 0 δ > 0 < .

 

Если для функции f (x) на I и разбиения – обозначить через – наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на I_k то величины = и = называются нижней и верхней суммами Дарбу.

Т⁰. Чтобы функция была интегрируема на брусе (т.е. ) необходимо и достаточно, чтобы . Δ▲.

 

Определено интегрирование функции по брусу в евклидовом пространстве. А как функцию проинтегрировать по произвольному ограниченному множеству из евклидового пространства?

 

Определим интеграл от функции f по множеству .

Def: Пусть и – ограничено, т.е. . Функцию назовём характеристической функцией множества M.

Тогда: ≡ .

Определение интеграла по множеству не зависит от того, какой брус, содержащий М выбран, т.е. .

Это обозначает, что определение интеграла по множеству корректно.

 

Необходимое условие интегрируемости. Чтобы функция f (x) на М была интегрируемой необходимо, чтобы f (x) была ограниченной на М. Δ▲.