Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: . Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит разрыв второго рода:

1) в точке , 2) или в точке ,

3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования.

Определение 2. Пусть определена на , причем неограниченна в окрестности особой точки , но она ограничена и интегрируема на любом отрезке . Тогда если существует предел , то он называется несобственным интегралом и обозначается .

Если предела нет или он равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл от функции, неограниченной на верхнем пределе интегрирования: . Наконец, если неограниченна в окрестности особой точки , то

.

Свойства несобственных интегралов.

Если сходятся интегралы и , где и могут принимать значения , то

1. , где .

1. .

Несобственные интегралы в левых частях сходятся, и их значения равны выражениям в правых частях.

Рассмотрим . Пусть непрерывна на любом отрезке вида , где . Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное утверждение можно сформулировать и для несобственных интегралов от неограниченных функций и конечного отрезка интегрирования.

 

23. необходимые условия сходимости несобственных интегралов. Критерий Коши. Абсолютно и не абсолютно сходящейся несобственные интегралы. Главное значение расходящегося несобственного интеграла.

 

Формулировки приводятся для интегралов вида , но легко распространяются и на несобственные интегралы других типов.

Определение 3. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Определение 4. Если интеграл сходится, а интеграл – расходится, то интеграл называется условно сходящимся.

 

Теорема. Если сходится абсолютно, то он сходится.

Признак Дирихле. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:

1) функция дифференцируема и монотонно стремится к нулю с ростом ;

2) функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную.

 

Примеры функций с ограниченной первообразной: , , .

 

Признак Абеля. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:

1) функция непрерывна на и сходится;

2) функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на .

 

Утверждение. Если сходится интеграл , то абсолютно сходятся интегралы и .

Пример 7. Интеграл Френеля сходится, так как

.

Пример 8. Интеграл Дирихле сходится условно.

– расходится, так как . Первый интеграл суммы сходится. Рассмотрим второй интеграл:

,

.

Интеграл – сходится по признаку Дирихле:

.