Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа

Предварительные сведения из алгебры многочленов

а) Если a вещественный корень многочлена, то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x – a)^a P₁(x), a³1, P₁(a)¹0.

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P¢(a)=…= P^(a-1)(a)=0, P^(a)(a)¹0.

б) Если w = u + i v, v¹0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения: , , для действительного числа x справедливо равенство . Поэтому, если w корень многочлена P(x) = a₀+…+a_kx^k+…+ a_nxⁿ, то = = = P().

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x²+px+q)^b P₁(x), b³1, P₁(w)¹0,

(x - w)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)²+v²=x²-2ux+u²+v²= x²+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где A – старший коэффициент многочлена, a₁,a₂,…, a_r -действительные корни кратностей a₁,a₂,…, a_r, а w₁,w₂,…, w_s комплексные корни кратностей b₁,b₂,…, b_s. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x²+p_kx+q_k=(x - w_k)(x - _k).

Определение. Рациональная функция (отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

R(x) – называется целой частью, а дробь P₁/Q₁ – остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример:

Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения коэффициентов разложения (*) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.

Пример.

1 = A(x²+4x+4)+B(x²+x-2)+C(x-1)

A+B=0

4A+B+C=0

4A-2B-C=1,

A=-B, 3A+C=0,6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.

Интегрирование выражений

Пусть k – наименьший общий знаменатель дробей m/n, …,r/s. Осуществляя замену

мы сведём интеграл от этого иррационального выражения к интегралу от

 

рационального выражения по t.

Пример. Вычислить интеграл

Положим

 

 

 

– интеграл от

–

– рациональной. функции.

 

 

Разлагаем подинтегральную функцию на простейшие рациональные дроби по методу неопределённых коэффициентов:

Затем проинтегрируем их и перейдём в результате к первоначальному аргументу x.

 

14. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, необходимые условия его существования.

 

Задача о пройденном пути.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = б до t = в. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

 

t₀ = б < t₁< t₂ < … < t_i-1 < t_i < … t_n-1 < t_n = в,

 

где t_i – t_i-1 = Дt_i. На произвольном участке [t_i-1, t_i] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(ф_i), t_i-1 ≤ ф_i ≤ t_i. Тогда за время Дt_i пройденный путь приближенно равен s_i = v(ф_i)Дt_i. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:

 

 

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим л = Дt_i, тогда

 

Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.

Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t₀ до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:

 

 

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = F_S.

Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x₀<x₁<…<x_n = b на n частичных отрезков и положим: Дx_i = x_i – x_i-1, i = 1, 2,..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через л = maxДx_i. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(ф_i)), что дает приближенное выражение для работы

 

,

 

где ф_i – одна из точек сегмента [x_i-1, x_i]. Отсюда:

 

Задачи о площади криволинейной трапеции.

Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

 

Рис. 1.

 

1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x₀=a<x₁<x₂<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b на n частей. Положим Дx_i = x_i – x_i-1, то есть Дx_i есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим л, (л=max Дx_i).

2). На каждом отрезке [x_i-1, x_i] возьмем по произвольной точке c_i,

x_i-1<c_i< x_i и вычислим f(c_i). Построим прямоугольник с основанием [x_i-1, x_i] и высотой f(c_i). Его площадь равна S_i=f(c_i)(x_i – x_i-1). Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.

3). Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме

 

 

Площадь S криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

 

 

Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию.

4). За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n→∞). Таким образом,

 

 

15. Критерий интегрируемости функции (без доказательств). Достаточные условия существования определенного интеграла

Условия интегрируемости функции на отрезке – это условия существования определенного интеграла . При определении его как предела интегральной суммы предполагалось, что функция ограничена на отрезке .

Необходимое условие интегрируемости функции

Покажем, что условие ограниченности функций на отрезке является необходимым условием интегрируемости функций, т.е. справедлива следующая теорема.

Т. Если существует, то функция ограничена на отрезке .

Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , Существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

Достаточные условия интегрируемости функции

Т. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует

Т. Если функция ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Т. Если функция монотонна и ограничена на отрезке [a, b], то она интегрируема на [a, b].

Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю: .

2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

3.

 

4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция , где k – постоянная, также интегрируема на [a, b], причем ,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то также интегрируема на [a, b], причем

.

6. Аддитивность определенного интеграла. Если существуют интегралы и , то существует также интеграл (и обратно) и для любых чисел a, b, c .

7. Если функция f(x) не меняет знак на , то определенный интеграл сохраняет ее знак, т.е. если , то , , .

8. Монотонность определенного интеграла. Если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то , .

9. Оценка интеграла. Если f(x) интегрируема на и , то , .

10. (о среднем значении для непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что ,

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования и длины b–a этого отрезка.

Число , определяемое по формуле , называется интегральным средним значением функции f(x) на отрезке .

 

16. Основные свойства определенного интеграла

Доопределим понятие определенного интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

 

 

 

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

1). Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на

любом отрезке [x₁; x₂] [a; b].

2). Для любых a, b и c

 

 

3). Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A

 

 

4). Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема на этом отрезке.

5). Если f(x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

 

 

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

1). Если f(x) ≥ g(x), то

 

 

2). В частности, если f(x) ≥ 0, то

 

 

3). Если f(x) ≥ 0 для любого х [a; b] и существует х₀ [a; b] такое, что f(x₀)>0, причем f(x) непрерывна в х₀ то

 

 

4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем

 

 

5). Если на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то

 

 

17. Теорема о среднем и ее геометрический смысл

Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то

откуда и следует формула которую можно записать в виде

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .

Необходимое условие интегрируемости.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Необходимое и дост. усл. интегрируемости.

Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0

 

20. Понятие площади плоской фигуры, объем тела. Вычисление объема площади плоских фигур и объемов тел вращения

 

площадь S криволинейной трапеции abAB, ограниченной кривой y=f(x), f(x) 0

y

осью Ox и двумя прямыми x=ax=b, вычисляется по формуле

x

b

а

y=f(x)

B

A

 

y

Если плоская фигура ABCD ограничена прямыми x=a, x=b(a<b) и кривыми y=f(x) y=φ(x), причем φ(x)≤ f(x), a≤x≤b,то ее площадь вычисляется по формуле

x

A

B

y=φ(x)

C

y=f(x)

D

 

Объем тела, образованного вращением кривой y = f(x), ограниченной прямыми х = а, x = b при a<x<b вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямымиy = c, y = d при c<y<d вокруг оси Oy, вычисляется по формуле:

Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Длина дуги

p=2π r n\360=π r n\180

Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.

Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.

Теорема 2. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , осью и отрезками прямых и вращается вокруг оси . Тогда объём получающегося тела вращения можно вычислить по формуле

 

(2)

Доказательство. Для такого тела сечение с абсциссой – это круг радиуса , значит и формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций и , и отрезками прямых и , причём и , то при вращении вокруг оси абсцисс получим тело, объём которого

Определение 1. Поверхность вращения – это поверхность, которая получается при вращении плоской линии вокруг оси, лежащей в её плоскости и не пересекающей её.

Ось вращения может и пересекать линию, если это ось симметрии линии. В этом случае рассматривают лишь «половину» линии.

Впишем в кривую произвольную ломанную и обозначим длину наибольшего её звена. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность , составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим площадь этой поверхности .

Определение 2. Конечный предел называют площадью поверхности вращения.

Можно показать, что если линия имеет длину, то поверхность, полученная её вращением, имеет площадь.

 

II Общая формула

Линия , вращением которой вокруг оси абсцисс получена поверхность, может быть задана одним из следующих способов:

 

1) 2) 3)

Теорема. Если функции, определяющие линию, непрерывны вместе со своими производными, то площадь поверхности вращения (вокруг оси ) определяется формулой:

(1)

где – подынтегральное выражение, фигурирующее в соответствующей формуле для длины дуги.

Идея доказательства. Пусть концы -го звена ломанной имеют координаты и . Это звено при вращении вокруг оси опишет боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований и и образующей (длина -го звена). Для площади такой поверхности известна формула

 

Вся ломанная даст поверхность с площадью

Если, например, имеющаяся кривая – это график функции , тогда (см. §3, II). Также, заменяя на получим

 

В этой сумме нетрудно увидеть интегральную сумму, которая в пределе даст интеграл из (1).

 

21. Спрямляемые дуги. Достаточное условие справляемости дуг, вывод формулы для исчисления ее длины

 

. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.

В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.

Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая Г¹:

(1)

a t в.

Напомним, что функции и непрерывны на отрезке. Разобьём отрезок [ а;в ] на части числами

t₀, t₁,…, t_n: a = t₀ < t₁ < … < t_n = в.

Каждому числу t соответствует точка М_к (, ) кривой Г. Проводя отрезки М₀М₁, …, M_n-1M_n, получим ломаную линию ɣ, вписанную в кривую Г. Обозначим её длину через l (ɣ).

Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество длин вписанных в эту кривую ломаных γ ограничено сверху. Точная верхняя граница множества называется длиной кривой Γ и обозначается :

. (2)

Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.

Пусть жорданова кривая Γ разбита на кривые и . Если эти кривые спрямляемы, то кривая Γ спрямляема, причем .

В самом деле, пусть γ – любая ломаная, вписанная в кривую Γ, и пусть М – точка, разбивающая Γ на и . Добавляя эту точку к вершинам ломаной γ, получим ломаную , длина которой не меньше длины ломаной γ, . Но ломаная состоит из двух частей и , вписанных соответственно в кривые и , причем и .

Поэтому

.

Это неравенство показывает, что число является одной из верхних границ для множества длин ломаных, вписанных в кривую Γ. Но для любого найдутся ломаные и , вписанные в и , такие, что

и .

Объединяя и , получаем ломаную γ, вписанную в Γ и такую, что

.

А это и значит, что - точная верхняя граница множества , т.е.

.

А) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Первая теорема сравнения. Пусть и определены на , интегрируемы на любом отрезке , где и , причем . Тогда:

1. если сходится , то сходится и ;

2. если расходится , то расходится и .

 

Вторая теорема сравнения. Пусть функции и определены на , и пусть существует . Тогда

1) Если , то и сходятся или расходятся одновременно.

2) Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

3) Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

 

Б) Несобственные интегралы от неограниченных функций.

 

Первая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции и разрывны в точке , и для каждого выполняется неравенство . Тогда если сходится , то сходится и ; если расходится , то расходится и .

 

Вторая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции и разрывны в точке , и пусть существует . Тогда:

1) Если , то и сходятся или расходятся одновременно.

2) Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

3) Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

 

25. Собственные интегралы зависящие от параметра, их непрерывности и дифференцируемости.

 

Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция будет определена на некотором множестве, где и , то есть в результате получится множество . Если функция непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл , где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.

На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.

Определение.

Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке при любом фиксированным , где.

Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .

Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.

Пример. Найти интеграл от функции ,

Функция непрерывна на отрезке при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда

.

Масса тела.

Масса тела при заданной объемной плотности μ вычисляется с помощью тройного интеграла .

Статические моменты.

Моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz вычисляются по формулам

.

Центр тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам

.

 

32 Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов 1-го рода

 

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δ s_i длиной Δ s_i и выберем на каждой из частей точку M_i. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M_i:

(24)

Если кривую