Обрабатываем результаты эксперимента.

1. Группируем результаты по значениям каждого фактора (табл.2.3).

При n = 3 каждому значению любого фактора будет соответствовать три значения выхода. При заполнении таблиц следует обращать внимание только на уровни тех факторов, которые есть в таблицах.

Таблица 2.3

b	а	средн.		d	c	средн.
	у1	у8	у6				у3	у4	у8
	у7	у5	у3				у1	у5	у9
	у4	у2	у9				у2	у6	у7
сред.						сред.

Группировка выхода по факторам

2. Строим графики эмпирических зависимостей: ордината – средние выходы по фактору; абсцисса – уровни фактора (рис.5.10).

 

Рис.2.10. Координаты графиков выхода

 

3. Аппроксимируем полученные зависимости методом наименьших квадратов. Полу-чаем частные эмпирические модели:

4. Строим общую многофакторную модель, перемножая частные модели после их представления в безразмерном виде.

Лекции 2-3

ПЛАНИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Многофакторным считаем эксперимент, когда планируемое возмущающее воздействие направлено одновременно на несколько переменных факторов. Причем, регрессионная модель исследуемого объекта может включать не только все переменные, но и эффекты их взаимодействий.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней выбранных факторов, называется полным факторным экспериментом.

Возникновение и развитие статистических методов планирования многофакторных экспериментов связано с именем Р. Фишера, издавшего в 1935 году монографию, посвященную планированию эксперимента и давшую название всему направлению. Фишеру принадлежит и термин “дисперсия”. Ф. Йетс предложил для полнофакторного эксперимента простую расчетную схему.

В 1945 году Д. Финни ввел дробные реплики, что позволило резко сократить число экспериментов.

Построение современной теории планирования эксперимента завершилось в 1947 году после создания Н. Винером кибернетики и формулирования им понятия “черный ящик”.

В России значительные разработки в области теории и практики планирования многофакторного эксперимента выполнены под руководством В.В. Налимова в МГУ.

В настоящее время можно с уверенностью утверждать, что разработаны все основные положения новой дисциплины “Математическая теория эксперимента”.

Основные термины и понятия

Цель любого экспериментального исследования – это раскрытие некоторых закономерностей функционирования рассматриваемых систем, т.е. нахождение функциональной связи, аппроксимирующей реальную зависимость между выходом и независимыми факторами. Эксперимент, в котором используется закономерное варьирование различных двух или более независимых факторов, называется многофакторным. Количество факторов обозначается буквой “k”.

Выход – это результат, численная характеристика цели исследования. Эквивалентными терминами являются: выходной параметр, критерий оптимизации, отклик, значение целевой функции и т.д. Обозначается буквой “y”.

Геометрическая интерпретация выхода представляет собой поверхность отклика (при двух факторах) или гиперповерхность отклика (более двух факторов).

Алгебраическая интерпретация выхода представляет собой функцию отклика или математическую модель процесса (уравнение регрессии, регрессионную модель).

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая определенные значения и воздействующая на рассматриваемую систему, т.е. на объект исследований. Обозначается буквой “x”.

Подавляющее число изучаемых объектов относится к классу сложных систем. В общем случае любой объект исследований можно представить в виде некоторого множества точек в факторном пространстве, которое может быть условно разбито на два подмножества: “черное” и “светлое”.

Первое, называемое “черным ящиком”, представляет собой кибернетическое понятие системы с неполным знанием механизма ее функционирования. В этом случае структура математической модели процесса неизвестна и модель может быть представлена в виде некоторой аппроксимирующей функции. “ Светлый ящик” – подмножество с известным механизмом процесса, традиционными экспериментальными задачами и известной структурой модели, например, в виде различных физических законов.

На процесс исследований всегда накладываются ограничения, определяемые возможностями измерительной аппаратуры, стремлением к снижению временных затрат на постановку опытов и материальных – на материалы и приборы. Эти ограничения приводят к тому, что исследователь всегда располагает относительно небольшим объемом экспериментальных данных, на основании которых он должен делать выводы о свойствах и поведении объекта изучения. На результаты опытов, кроме того, влияет большое число случайных неуправляемых факторов. Последнее обстоятельство требует включения в рассмотрение не только оценки результатов, но и оценки их точности. Следовательно, необходима статистическая обработка данных.

Традиционными методами можно получить такие же результаты, как и многофакторными экспериментами. Однако там нет такой четкости и логически упорядоченной стратегии, так как исследователь ведет поиск, руководствуясь только своей интуицией. Это приводит, как правило, к постановке многих лишних опытов при снижении точностных характеристик выхода.

Кроме того, при планировании и реализации многофакторных экспериментов оценка параметров и установление доверительных границ для них производится по стандартной методике, что обеспечивает сопоставимость результатов данных исследователей на разном оборудовании, в разных странах.

Таким образом, математическое планирование экспериментов – это процедура выбора числа и условий постановки опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью, методов обработки результатов и принятия решений.

Критерии оптимальности факторных планов

Рассматривая планирование экспериментов как аналог раздела прикладной математики, можно сформулировать ряд положений, играющих роль аксиом. Этими положениями являются критерии оптимальности эксперимента. Все их можно условно разделить на две группы: статические и динамические.

Первые образуют мозаику взаимно несовместимых положений, из которых можно выделить лишь иерархически более важные.

Вторые – определяют оптимальную стратегию в последовательности проведения опытов.

Другая классификация выделяет критерии, связанные с точностью оценки коэффициентов регрессии, и критерии, определяющие ошибку в оценке поверхности отклика. На сформулированных на математическом языке критериях оптимальности строится вся теория математического планирования многофакторного эксперимента.