Последовательный отсеивающий эксперимент

Последовательный отсеивающий эксперимент – это чисто экспериментальная процедура, проводимая с целью выявления из априорного множества факторов тех, которые оказывают наибольшее влияние на выходной параметр объекта.

Использование этого метода наиболее эффективно, когда параметр выхода зависит от большого числа факторов и, в особенности, если последние носят дискретный качественный характер.

Суть метода заключается в последовательном экспериментальном переборе всех переменных факторов в одних и тех же условиях для выявления наиболее влияющих на результат. При этом применяются форсированные режимы (максимально сокращающие время эксперимента) при сохранении неизменности физических процессов по сравнению с номинальными условиями проведения опытов.

Например, требуется повысить ресурс (время работы) втулок из подшипникового сплава. Анализ априорной информации свидетельствует, что для этого может быть использовано 10 легирующих элементов. Добавляя по очереди по одному легирующему элементу и испытывая сплав, можно найти легирующие элементы, повышающие износостойкость, понижающие ее, и нейтральные. Это требует перебора всех вариантов в одних и тех же условиях.

Гораздо более эффективен метод отсеивающего эксперимента, когда можно сократить время отдельного испытания в результате ужесточения режимов. В нашем примере можно увеличить нагрузку и скорость скольжения в подшипнике, сохранив при этом физическую картину изнашивания.

Таким образом, описанная методика отсеивающего эксперимента предусматривает последовательное испытание каждого элемента из имеющегося априорного информационного множества при более жестких, но строго идентичных условиях и постоянном критерии оценки выходных параметров. Реализация метода вызывает необходимость в решении ряда смежных вопросов.

В связи с тем, что используемые в экспериментальных исследованиях приборы и измерительные каналы имеют погрешность (класс точности), стенды, испытательные машины и установки задают режимы нагружения с некоторыми колебаниями, и, наконец, объекты исследований имеют значительный разброс характеристик, результаты экспериментальных исследований (их выход) являются случайными величинами, колеблющимися в определенных пределах и дающими лишь приближенную оценку параметров. Отсюда следует, что для повышения достоверности и надежности результатов экспериментальных исследований необходимо привлечение статистических методов и оперирование не единичным выходом, а выборкой (набором результатов). То есть при планировании отсеивающих экспериментов необходимо рассчитать требуемое количество повторений параллельных опытов (объем выборки).

Это выполняется на основе следующих данных:

- требований к точности результатов;

- необходимой достоверности их оценки (для технических параметров обычно 95 %);

- знания типа дифференциальной кривой распределения определяемых величин.

Следует отметить, что при выборках объемом более 30 считают распределение параметров выхода близким нормальному. При меньшем объеме выборки оперируют квантилями распределения Стьюдента.

Поскольку отсеивающие эксперименты очень редко требуют высокой точности, гораздо чаще возникает обратная задача: рассчитать доверительный интервал полученной величины, т.е. определить с выбранной вероятностью ее минимальное и максимальное значения.

Следует иметь в виду, что минимальное количество параллельных опытов равно трем. Объясняется это простой логикой: если у вас двое часов, то неизвестно, какие из них показывают неверное время. Иными словами, при 2-х параллельных опытах грубая ошибка (артефакт) может быть принята за верный результат.

Из-за относительно низкой точности отсеивающих экспериментов величины выходов (даже при нескольких параллельных опытах) при различных значениях переменных факторов могут быть трудно различимы простым сравнением. В этом случае необходимо статистически достоверно установить показатель существенной разницы средних результатов этих выходов, используя квантиль Стьюдента.

Метод экспертных оценок

Само название метода свидетельствует о том, что к оценке априорной информации привлечен ряд экспертов. Это могут быть реальные люди (специалисты в данной области) или различные литературные источники (отчеты, статьи, монографии и т.п.), в которых опубликованы результаты подобных или аналогичных исследований.

Один из методов экспертных оценок, используемых для упорядочения исходной информации, называется априорным ранжированием. Он используется при низкой достоверности априорной информации, наглядно описанной логистической кривой (рис.2). При этом экспертная оценка является вероятностной, основанной на способности личности давать полезную информацию в условиях неопределенности. Неизвестная количественная характеристика исследуемого явления рассматривается как случайная величина, отражением точечной оценки которой является индивидуальное мнение специалиста, о значимости того или иного события, процесса, параметра.

Суть ранжирования или распределения по рангам заключается в присвоение отдельным факторам, которые, согласно априорной информации, могут влиять на объект исследования, определенного ранга – порядкового места. Вклад каждого фактора оценивается по величине ранга (порядковому номеру места), который отведен специалистом данному фактору при ранжировании (распределении по местам) всех факторов информационного множества.

Рисунок 2. Зависимость достоверности информации от ее типа

Ранжирование выполняется с учетом предполагаемого (зачастую количественно неизвестного) влияния каждого фактора на итоговый параметр (выход, результат). Таким образом, экспертами используется определенная шкала порядка, на которой заданный показатель определяет расположение объектов во всей их совокупности в соответствии с принятым масштабом шкалы. То есть каждому объекту соответствует некоторая количественная характеристика или мера. «Когда описание открывает путь для измерения, дискуссии заменяются вычислениями» (американский психолог С. Стивенс), т. е. оценка становится объективной.

Итак, ранжирование – процедура установления относительной значимости (предпочтительности) исследуемых объектов на основе их упорядочения.

Ранг – показатель, характеризующий порядковое место объекта в группе других объектов, обладающих существенными для оценки свойствами.

Точность и надежность процедуры ранжирования в значительной степени зависят от количества ранжируемых объектов. В принципе, чем меньше таких объектов, тем выше их различимость с точки зрения экспертов, а следовательно, тем более надежно можно установить их ранг. Количество ранжируемых объектов, как правило, не должно превышать 20, а наиболее надежные результаты относятся к 10 объектам.

Численность группы экспертов также имеет важное значение. При малом их числе теряется смысл коллективной оценки, так как резко возрастает влияние каждого эксперта. При большом – индивидуальная оценка практически не влияет на групповую и, кроме того, снижает уровень достоверности вследствие привлечения малоквалифицированных специалистов. В общем случае численность экспертов должна превышать число оцениваемых факторов, но быть меньше общего, потенциально возможного числа специалистов.

Практический выход априорного ранжирования состоит в следующем:

построение априорных диаграмм рангов, что при использовании литературных источников является, по существу, кратким наглядным обзором по теме исследований;

отбор наиболее значимых для исследования факторов, что сокращает объем и повышает эффективность исследований.

Таким образом, априорное ранжирование, являясь субъективным мнением экспертов в данной области, дает, тем не менее, объективную информацию, так как мнение специалистов объективно отражает реальное положение вещей в рассматриваемой области знаний.

Алгоритмизированная методика априорного ранжирования может быть представлена в виде нижеследующих основных этапов. В методике имеется реальный численный пример.

1. Постановка задачи исследований.

2. Выбор параметров выхода или отклика.

3. Составление перечней факторов, влияющих на изучаемый процесс.

4. Операционное определение факторов. Это определение вводится для однозначного понимания специалистами каждого фактора.

5. Установление интервалов варьирования отдельных факторов. Это связано с тем, что влияние отдельных факторов может быть различным в разных областях факторного пространства.

6. Ранжирование факторов в порядке убывания их воздействия на параметр выхода.

Каждому фактору из общего перечня присваивается ранг (цифра натурального ряда), соответствующий месту, отведенному исследователем данному фактору в ранжируемом ряду (наиболее важный фактор – 1, менее важный – 2, еще менее важный – 3 и т.д.).

7. Формальная проверка ранжирования.

Сумма рангов в каждом столбце

, (1)

где n – число рассматриваемых факторов.

8. Определение суммы рангов по факторам.

, (2)

где – ранг каждого i-го фактора у j-го специалиста (или по j-му источнику литературы); m – количество опрошенных экспертов (или рассмотренных литературных источников).

9. Определение средней суммы рангов.

. (3)

10. Определение абсолютной величины разности между каждой суммой рангов по факторам и средней суммой рангов.

. (4)

11. Определение квадрата разностей.

. (5)

12. Определение суммы квадратов разностей.

. (6)

13. Определение показателей групп связанных рангов.

, (7)

где t – количество одинаковых связанных рангов в j-м ранжировании; k – индекс величины одинаковых связанных рангов в j-м ранжировании.

 

14. Определение суммарного показателя связанных рангов по ранжированию.

, (8)

где p – число групп одинаковых связанных рангов в j-м ранжировании.

15. Определение суммы суммарных показателей связанных рангов.

. (9)

16. Определение коэффициента конкордации.

. (10)

Коэффициент конкордации W меняется от 0 до 1, причем равенство единице означает, что все эксперты дали одинаковые оценки по данному признаку, а равенство нулю означает, что связь между оценками, полученными от разных экспертов, не существует.

17. Предварительная оценка коэффициента конкордации.

18. Определение значимости коэффициента конкордации.

При числе факторов меньше или равном семи можно пользоваться специальной таблицей (расчетное должно быть больше критического, табличного). При большем числе факторов достаточно, чтобы значение расчетного критерия было больше значения табличного критерия для соответствующей степени свободы () и доверительной вероятности (p), обычно принимаемой 0,95 или 0,99.

, (11)

. (12)

Примечание: при отсутствии связанных рангов величина обращается в нуль.

19. Построение априорных диаграмм рангов.

Получение значимого коэффициента конкордации (т.е. подтверждение согласованности мнений специалистов) дает возможность построить среднюю априорную диаграмму рангов в координатах: ордината – сумма рангов; абсцисса – ранжируемые объекты (факторы). Чем меньше сумма рангов данного фактора, тем выше его место на диаграмме (рис.3).

Рисунок 3. Диаграмма рангов

 

20. Принятие решений по стратегии последующего эксперимента:

Диаграмма рангов может иметь следующий вид:

20.1. Распределение (различие в рангах) факторов и их убывание равномерное. В этом случае уровень априорной информации весьма низок, и поэтому все факторы должны включаться в эксперимент.

20.2. Распределение равномерное, а убывание неравномерное. В этом случае, если возможно, лучше включить в физический эксперимент все факторы, но возможен и априорный отсев их.

20.3. Распределение неравномерное, а убывание равномерное. Возможен априорный отсев факторов с низким рангом.

20.4. Распределение и убывание неравномерное (например, экспоненциальное). Это наиболее благоприятная ситуация, так как нужно отсеить ряд факторов, отнесенных к шумовому полю.

 

Лекция2. Планирование однофакторных и многофакторных экспери-ментов

Однофакторным считается экспериментальные исследования, когда планируемое возмущающее воздействие направлено только на один фактор

Классический эксперимент

Классическим называют наиболее старый метод планирования и реализации экспериментов. Он предусматривает фиксирование на определённых уровнях всех переменных факторов, кроме одного, который принимает некоторые дискретные значения (уровни) в исследуемой части области своего существования. В результате находим зависимость исследуемой величины (параметра выхода) только от одного фактора. Математическая модель этой зависимости может быть получена в результате ряда геометрических построений или, чаще всего и с гораздо меньшей погрешностью, методом наименьших квадратов.

Поскольку этот метод не определяет структуру получаемой однофакторной модели и требует наличия перенасыщенной системы уравнений (число уравнений превышает число неизвестных) для вычисления параметров, на количество уровней переменного фактора налагаются определённые ограничения.

Если выход изменяется по закону, близкому к линейному, то для нахождения параметров линейной модели достаточно трёх точек на линии отклика. То есть достаточно варьировать переменный фактор на трёх дискретных уровнях. Однако вид линии отклика экспериментатору зачастую неизвестен. В этом случае естественное стремление сократить объём экспериментов вступает в противоречие с последующей возможностью функциональной или графической интерпретации их результатов. Последние могут подчиняться более сложному закону, (например, квадратичному) с большим числом параметров. Это обстоятельство заставляет планировать однофакторный эксперимент как минимум на четырёх уровнях переменного фактора. А при имеющейся опасности срыва одного из опытов необходимо предусмотреть пятую резервную точку.

Следует отметить, что если нелинейную экспериментальную зависимость линеаризовать логарифмированием (отложив на графике в логарифмическом масштабе), то можно для аппроксимации экспериментальных результатов использовать степенную или показательную функции.

Например,

(2.1)

имеем lg y=lg a + x×lg b, что эквивалентно линейной зависимости Y=A+xB при оперировании не самим результатом эксперимента, а его логарифмом.

Вычисления по определению параметров модели методом наименьших квадратов удобно выполнять в виде таблицы (табл.5.1).

Таблица 2.1