Указания к выполнению контрольной задачи К3

Рекомендуемая учебная литература: [ 1 ], часть 1: гл. XIV, §111–116, с.275–302; [ 2 ]: гл. XIII, § 64–67, с.155–169.

Задача К3 – на определение абсолютной скорости и абсолютного уско­рения точки, совершающей сложное движение.

Рассмотрим движение точки М относительно двух систем координат Oxyz и O ₁ x ₁ y ₁ z ₁, движущихся друг относительно друга (рис. 22). В механике системы координат предполагаются жестко скрепленными с телами, по от­ношению к которым рассматривается движение точки. Тела на рисунках не показываются.

Пусть задано движе­ние системы координат Oxyz относительно системы ко­ординат O ₁ x ₁ y ₁ z ₁. Движение точки М относительно сис­темы координат O ₁ x ₁ y ₁ z ₁ называют сложным, если задано ее движение относи­тельно системы координат Oxyz. Систему координат O ₁ x ₁ y ₁ z ₁ принимают при этом за неподвижную или основную, а систему коор­динат Oxyz – за подвижную. Движение точки М относительно подвижной системы координат называют отно­сительным. Соответственно траектория (рис. 22), ско­рость и ускорение точки в ее движении относительно подвижной системы координат называ­ются относительными. Положение точки М по отношению к системе коор­динат Oxyz определяет радиус-вектор .

Для определения относительной скорости и относительного ускорения точки следует мысленно остановить движение подвижной системы коорди­нат и вычислить их по правилам кинематики точки.

Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называют переносным движением.

Переносной скоростью (ускорением ) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости (ускорению ) той точки т подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент дви­жущаяся точка М. Для определения переносной скорости и переносного ускорения в данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точку т тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М, и вычислить скорость и ускорение точки т тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.

Движение точки М относительно неподвижной системы координат называют абсолютным. Соответственно, траекторию (рис. 22), скорость и ускорение относительно неподвижной системы координат называют аб­солютными.

Абсолютная скорость точки определяется по теореме о сложении скоростей, согласно которой абсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме переносной и относитель­ной скоростей:

= + . (2.19)

Абсолютное ускорение точки определяется по теореме Кориолиса, согласно которой абсолютное ускорение точки, совершающей сложное дви­жение, равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений:

= + + . (2.20)

Кориолисово ускорение вычисляется по формуле:

, (2.21)

где – вектор угловой скорости переносного движения, – вектор относи­тельной скорости точки. Направление вектора кориолисова ускорения опре­деляется по правилу векторного произведения: кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рис. 23), в ту сторону, откуда кратчайший поворот от вектора к вектору видится происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль кориолисово ускорения равен .

При переносном поступательном движении кориолисово ускорение в формуле (2.20) обращается в нуль:

= + .

 

Согласно вышеизложенному, задачу КЗ рекомендуется решать в сле­дующей последовательности:

1) рассмотреть движение точки как сложное, разложив его на пере­носное и относительное движения;

2) выбрать подвижную и непод­вижную системы координат;

3) определить угловую скорость и угловое ускорение переносного движения подвижной системы коор­динат;

4) мысленно остановив движе­ние точки М в ее относительном дви­жении в заданный момент времени, определить точку т подвижной сис­темы координат, где окажется оста­новленная точка;

5) определить переносные скорость и ускорение , вычислив ско­рость и ускорение точки т подвижной системы координат относительно не­подвижной системы координат;

6) мысленно остановив переносное движение подвижной системы ко­ординат, определить относительные скорость и ускорение , точки в за­данный момент времени;

7) определить кориолисово ускорение точки в заданный момент времени;

8) по теореме сложения скоростей определить абсолютную скорость точки;

9) методом проекций по теореме сложения ускорений определить аб­солютное ускорение точки.

 

Пример выполнения задания

Но ободу диска радиуса R (рис. 24), вращающегося вокруг своего диа­метра по закону j = j (t), движется точка M по закону s = s(t). Положительное направление отсчета угла j показано на рис. 24 дуговой стрелкой. За поло­жительное направление отсчета дуги принять направление отсчета от точки О к точке М. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение a_a точки М в момент времени t ₁.

Дано: R = 30 см; j = – рад; s = см; t ₁ = 1 c.

Решение. Абсолютное движение точки М складывается из относитель­ного движения точки по ободу диска (заданного естественным способом по закону и пере­носного вращательного движения самого диска (заданного законом вращательного движения ).

 

 

 

Рис. 24 Рис. 25

 

Неподвижную систему ко­ординат O ₁ x ₁ y ₁ z ₁ свяжем с опорой О ₁ (рис. 25), направив ось z ₁ по диаметру, вокруг которого враща­ется диск, а подвижную систему координат – с диском (на рисунке не показана). Считаем, что плос­кость диска в данный момент времени совпадает с плоскостью O ₁ x ₁ y ₁ z ₁.

Вычислим угловую скорость и угловое ускорение диска:

.

В заданный момент времени t ₁ = 1 с и, следовательно, диск вращается равноускоренно с угловой скоростью рад/с и угловым ускорением рад/с² в сторону, противоположную положительному направлению отсчета угла поворота (рис. 25).

Определим положение точки М в момент времени t ₁ = 1 с:

.

Центральный угол, включающий дугу s ₁, вычислим по формуле

.

Для определения переносной скорости и переносного ускорения мысленно остановим относительное движение точки в момент времени t ₁ = 1 с и определим скорость и ускорение той точки т диска (рис. 25), где в данный момент находится движущаяся точка М.

, (2.22)

где h = MK – расстояние от точки М до оси вращения. Из прямоугольного треугольника СМК MK = R sin 60° = и, следовательно, по (2.22)

= см/с.

Вектор направлен параллельно оси О ₁ х ₁ в сторону вращения диска, то есть в сторону отрицательного направления оси.

Переносное ускорение раскладываем на касательную и нормальную составляющие

,

где см/с², см/с².

Вектор нормального переносного ускорения направим по прямой МК к оси вращении. Направим вектор касательного ускорения в сторону дуговой стрелки углового ускорения. Его направление совпадает с направле­нием переносной скорости .

Перейдем к вычислению относительной скорости и относительного ускорения точки М. Мысленно остановим вращательное движение диска. Относительное движение точки М задано естественным способом. Выберем естественные оси ее траектории. Направим единичный вектор касательной в сторону положительного отсчета дуги, а единичный вектор нормали – к центру окружности (рис. 25).

Определим проекцию относительно скорости на касательную :

.

Для момента времени t ₁ = 1 с

.

Так как проекция относительной скорости на касательную положи­тельна, следовательно, направление вектора , модуль которого см/с, совпадает с направлением единичного вектора .

Относительное ускорение при криволинейном движении точки рас­кладывается на касательную и нормальную составляющие:

,

где

Поскольку , направление вектора совладает с направлением единичного вектора .

Кориолисово ускорение определим по формуле (2.21):

.

Модуль кориолисова ускорения в момент времени t ₁ = 1 с равен:

.

Вектор кориолисова ускорения направлен параллельно оси О ₁ х ₁ в сто­рону положительного направления.

Абсолютную скорость точки М вычислим по теореме сложения скоро­стей (2.19):

.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль абсо­лютной скорости точки М

.

Абсолютное ускорение точки М вычислим по теореме Кориолиса (2.20):

. (2.23)

Проектируя (2.23) на оси координат О ₁ х ₁ у ₁ z ₁, находим

м/с²,

м/с²,

м/с².

Модуль абсолютного ускорения точки М

= 1219,62 см/с² = 12,2 м/с²

Раздел 3. ДИНАМИКА