Указания к выполнению контрольной задачи Д1

Рекомендуемая учебная литература: [ 1 ], часть 2: гл. II, § 3–10, с.343-355; [ 2 ]: гл. XV, § 73–76, с.180–186; гл. XVI, § 77–82, с.186–201.

Задача Д1 относится ко второй основной задаче динамики точки, которая состоит в определении закона движения точки по заданным си­лам. Для се решения необходимо воспользоваться основным законом ди­намики:

, (3.1)

где – ускорение материальной точки массы m, движущейся под дей­ствием сил .

Материальной точкой в механике называют простейшую модель физического тела любой формы, размерами которого и вращением мож­но пренебречь в рассматриваемой задаче и которое можно принять за геометрическую точку, наделенную массой.

На основании основного закона динамики точки (3.1) составляются и интегрируются дифференциальные уравнения движения точки.

В проекциях на оси неподвижных декартовых координат, в общем случае криволинейного движения точки в пространстве, дифференциаль­ные уравнения имеют вид:

, (3.2)

где – проекции ускорения точки ; , , - проекции силы на соответствующие оси координат, которые мо­гут быть функциями времени, положения точки х, у, z и проекций скорости .

При заданной траектории точки ее дифференциальные уравнения движения в проекциях на естественные оси криволинейной траектории записываются в виде:

,

где s – дуговая координата, определяющая положение точки на траек­тории; r – радиус кривизны траектории в данной точке; – проекции силы на естественные оси траектории: касательную , глав­ную нормаль , бинормаль .

Если систему уравнений (3.2) удастся один раз проинтегрировать, то полученные новые зависимости будут включать время, координаты, их первые производные и три константы интегрирования C _l, C ₂, С ₃:

(3.3)

Систему (3.3) называют системой первых интегралов уравнений ди­намики точки.

Если систему (3.3) удастся проинтегрировать еще раз, то полученное решение будет зависеть еще от трех констант интегрирования C4, C5, С6:

(3.4)

Для определения констант интегрирования используют начальные условия, которые задают начальное положение точки М ₀(х ₀, y ₀, z ₀) и ее начальную скорость в момент времени t = t ₀:

(3.5)

Таким образом, задачу Д1 следует решать в следующей последо­вательности:

1) принять реальное тело, движение которого рассматривается в за­даче, за материальную точку, наделенную массой m;

2) выбрать систему координат;

3) изобразить материальную точку в этой системе координат, опре­деляя ее положение текущими координатами;

4) приложить к точке активные силы (то есть силы, не зависящие от связей); если рассматривается движение несвободного тела, то в соот­ветствии с принципом освобождаемости от связей статики приложить к материальной точке также реакции связей;

5) записать основной закон динамики точки для данной задачи;

6) проектируя векторное выражение основного закона динамики точки на выбранные оси координат, составить дифференциальные урав­нения движения точки;

7) задать начальные условия движения точки;

8) проинтегрировать полученную в п.6 систему дифференциальных уравнений;

9) используя начальные условия п.7, определить константы инте­грирования;

10) используя полученные в п.8 уравнения движения точки, опре­делить искомые величины.

Пример выполнения задания

В изогнутой трубе, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 26), получив в точке А начальную скорость v ₀, движется груз D мас­сой т. На участке трубы АВ на груз действуют постоянная сила , направление которой указано на рис. 26, и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза и направленная против движения. Рас­стояние AD равно l. В точке В груз, не изменяя своей скорости, перехо­дит на участок ВС трубы, где на него действуют сила тяжести и перемен­ная сила , проекция которой на ось х задана.

Дано: m = 1,5 кг, Q = 7 Н, l = 2 м, V ₀ = 17 м/с, R = 0,3 V ², F_x = –10 sin 3 t.

Найти закон движения груза х = х (t) на участке ВС.

Решение. Разделим задачу на две части. Сначала определим ско­рость груза в точке В, рассмотрев движение груза на участке АВ. Затем, приняв скорость груза в точке В за начальную, определим уравнение движения груза на участке ВС.

 

Рис. 26 Рис. 27

 

1) Определим скорость груза в точке В, рассмотрев движение груза на участке АВ. Задачу будем решать в последовательности, указанной выше. Примем груз D за материальную точку, совершающую прямоли­нейное движение внутри участка трубы АВ (рис. 27).

Направим ось z вдоль этого участка трубы, совместив начало оси О с начальным положением груза в точке А. Положение материальной точ­ки D будет определяться при прямолинейном движении координатой z.

На точку D будут действовать следующие силы: сила тяжести , постоянная сила , сила сопротивления движению точки , направ­ленная в сторону, противоположную движению, и зависящая от скорости точки V, нормальная реакция стенки трубы .

Составим основное уравнение динамики точки D:

. (3.6)

Проецируя (3.6) на ось z и учитывая, что , получим диф­ференциальное уравнение движения точки D:

. (3.7)

Запишем начальные условия:

при t = 0 z = 0, = V ₀. (3.8)

Принимая во внимание, что по условиям задачи для определения скорости груза в точке В дано не время движения груза на участке АВ, а длина этого участка l, перейдем от независимой переменной t к переменной z:

. (3.9)

Подставляя (3.9) в уравнение (3.7), получим линейное уравнение первого порядка относительно квадрата скорости точки D:

. (3.10)

Обозначим

. (3.11)

и разделим в уравнении (3.10) переменные:

. (3.12)

Взяв в (3.12) от обеих частей интегралы, имеем:

. (3.13)

Определим константу интегрирования С, учитывая начальные условия (3.8):

.

Следовательно, или

. (3.14)

Из уравнения (3.14) находим

. (3.15)

Подставляя в (3.15) длину участка z = 2 м и значения а и b из (3.11), получим скорость груза в точке В: = 65,77 + (17² – 65,77) е ^–0,8 = 166,074 и, следовательно, = 12,88 м/с.

2) Рассмотрим движение груза на участке ВС. Начало оси х совместим с точкой В (рис. 28). Скорость точки будет начальной для этого участка трубы. Положение точки D будет определяться координатой х. На точку D действуют силы: сила тяжести , переменная сила , проекция которой на ось х равна: F_x = –10 sin 3 t. Следовательно, при поло­жительном значении функции синуса сила направлена в сторону, проти­воположную положительному направ­лению оси х. На точку D действует также нормальная реакция связи .

Основное уравнение динамики точки D на этом участке будет иметь вид

. (3.16)

Проектируя (3.16) на ось x и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение движения точки

,

или, разделив обе части уравнения на m = 1,5 кг, при g = 9,8 м/с² получим

= 6,92 – 6,67 sin 3 t. (3.17)

Зададим начальные условия:

при t= 0 x ₀ = 0, . (3.18)

Учитывая, что , и разделяя переменные в уравнении (3.17), имеем = (6,92 – 6,67 sin 3 t) dt.

После интегрирования находим

= 6,92 t + 2,22 cos 3 t + C ₁. (3.19)

Разделяя еще раз переменные и интегрируя уравнение (3.19), получим

x = 3,46 t ² + 0,74 sin 3 t + С ₁ t +C ₂. (3.20)

Для определения констант интегрирования С ₁ и С ₂ , подставим начальные условия (3.18) в уравнения (3.19) и (3.20): V_B = 2,22 + С ₁, 0 = С ₂, откуда C ₁ = V_B – 2,22 = 12,88 – 2,22 = 10,66.

Следовательно, искомый закон движения груза D имеет вид:

x = 3,46 t ² + 0,74 sin 3 t + 10,66 t.