Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...

Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...

Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...

Интересное:

Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...

Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...

Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспунденкция

Указания к выполнению контрольной задачи К1

2017-06-02

408

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Рекомендуемая учебная литература: [ 1 ], часть 1: гл..VII- IX, § 63-76, с.143–176; [ 2 ]: гл. IX, § 36–46, с.95–116.

Задача К1 – на определение скорости и ускорения точки no заданным в координатной форме уравнениям ее движения.

По определению скорость точки в данный момент времени – это вектор, равный производной от радиуса-вектора движущейся точки по времени и направленный по касательной к траектории точки в сторону движения

. (2.1)

В декартовой системе координат Охуz, принимаемой за неподвижную, радиус-вектор движущейся точки (рис. 13) определяется равенством:

где – орты координатных осей;

x = x (t), y = y (t), z = z (t). (2.2)

Уравнения (2.2) являются уравнениями движения точки, заданные координатным способом. Эти же уравнения являются уравнениями траектории точки (рис. 13) в параметрическом виде, где параметром является время t. Для определения траектории точки в случае задания ее движения координатным способом необходимо из уравнения (2.2) исключить время t. Для определения скорости точки, заданной координатным способом, по формуле (2.1) имеем

= , (2.3)

где – проекции вектора скорости точки на неподвижные декартовы координаты.

Модуль скорости определяется формулой

. (2.4)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Ускорение точки определяется как первая производная от вектора скорости по времени:

= , (2.5)

где – проекции вектора ускоренияточки на неподвижные декартовы координаты.

Модуль вектора ускорения вычисляется аналогично модулю вектора скорости:

, (2.6)

а направление вектора ускорения – направляющими косинусами:

Движение точки может быть задано также естественным способом. При этом способе должна быть известна траектория точки и задан закон движения точки М по этой траектории: s = s (t), где – дуга, отсчитываемая на траектории от начального положения точки M ₀.

Для определения положения точки на траектории задается также направление положительного отсчета дуги (рис. 14).

Рис. 14 Рис. 15

При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис. 15) и единичными векторами . Единичный вектор направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги, единичный вектор направлен по главной нормали траектории в сторону се вогнутости, единичный вектор направлен по бинормали траектории в точке М.

Орты и лежат в соприкасающейся плоскости, орты и в нормальной плоскости, орты и – в спрямляющей плоскости.

Скорость точки при естественном способе задания движения точки определяется формулой

где проекция вектора скорости на касательную определяется по формуле:

. (2.7)

Модуль вектора скорости .

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается на касательную и нормальную составляющие:

где проекция вектора ускорения на касательную

(2.8)

называется касательным (тангенциальным) ускорением.

Касательное ускорение характеризует «быстроту» изменения величины скорости. При (векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону) точка в данный момент времени движется ускоренно, при (векторы касательного ускорения и скорости направлены в разные стороны) – замедленно.

Проекция ускорения на главную нормаль

, (2.9)

где r – радиус кривизны траектории в точке М, называется нормальным ускорением.

Модуль вектора ускорения определяется по формуле

. (2.10)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами

.

В соответствии с вышеизложенным задачу К1 необходимо решать в следующей последовательности:

1) выбрать систему координат;

2) исключив время из уравнений движения точки, определить уравнение траектории точки и изобразить ее график;

3) определить на графике положение точки в заданный момент времени;

4) по заданным уравнениям движения точки определить проекции скорости точки и модуль скорости по формулам (2.3) и (2.4) соответственно;

5) построить на рисунке вектор скорости точки в заданный момент времени;

6) по формулам (2.5) и (2.6) определить ускорение точки;

7) построить на рисунке вектор ускорения точки в заданный момент времени;

8) взять производную по времени от модуля скорости и составить выражение для квадрата касательного ускорения;

9) используя формулу (2.10), вычислить нормальное ускорение;

10) используя формулу нормального ускорения (2.9), вычислить радиус кривизны траектории в заданный момент времени;

11) разложить ускорение точки на касательную и нормальную составляющие на рисунке;

12) определить по касательному ускорению характер движения точки в заданный момент времени.

Пример выполнения задания

Движение точки М в плоскости х,у задано уравнениями

(х, у – в см, t – в с) (2.11)

Определить траекторию точки и для момента времени t ₁ = 1/2 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.11) время t. С этой целью преобразуем уравнения (2.11), приведя тригонометрические функции к одному аргументу:

. (2.12)

Подставляя (2.12) и первое уравнение (2.11), получим или .

Траекторией точки является парабола (рис. 16).

Определим начальное положение точки М ₀: при t = 0 x ₀= 5 cos²0 – 2 = 3, у ₀ = 4 sin²0 = 0.

В момент времени t ₁= 1/2 с точка M имеет координаты:

.

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

,

. (2.13)

Рис. 16

По формуле (2.4) определим модуль скорости:

. (2.14)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t ₁ = 1/2 с:

Вектор скорости строим (рис. 16) по составляющим:

.

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекций се скорости (2.13):

По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

.

При t ₁= 1/2 с , , следовательно, a ₁ = 3,48 см/с², и вектор ускорения направлен вертикально вверх.

Найдем производную от функции скорости (2.14) по времени:

При t ₁ = 1/2 с .

Учитывая, что , вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):

.

Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)

.

Поскольку векторы скорости и касательного ускорения направлены в одну сторону, точка в данный момент времени движется ускоренно.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...

Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...