Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
 2017-06-02 |
 366 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Рекомендуемая учебная литература: [ 1 ], часть 1: гл..VII- IX, § 63-76, с.143–176; [ 2 ]: гл. IX, § 36–46, с.95–116.
Задача К1 – на определение скорости и ускорения точки no заданным в координатной форме уравнениям ее движения.
По определению скорость точки 
в данный момент времени – это вектор, равный производной от радиуса-вектора движущейся точки по времени и направленный по касательной к траектории точки в сторону движения
. (2.1)
В декартовой системе координат Охуz, принимаемой за неподвижную, радиус-вектор движущейся точки (рис. 13) определяется равенством:
,
где 
– орты координатных осей;
x = x (t), y = y (t), z = z (t). (2.2)
Уравнения (2.2) являются уравнениями движения точки, заданные координатным способом. Эти же уравнения являются уравнениями траектории точки (рис. 13) в параметрическом виде, где параметром является время t. Для определения траектории точки в случае задания ее движения координатным способом необходимо из уравнения (2.2) исключить время t. Для определения скорости точки, заданной координатным способом, по формуле (2.1) имеем
= 
, (2.3)
где 
– проекции вектора скорости точки на неподвижные декартовы координаты.
Модуль скорости определяется формулой
. (2.4)
Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:
.
Ускорение точки определяется как первая производная от вектора скорости по времени:
= 
, (2.5)
где 
– проекции вектора ускорения точки на неподвижные декартовы координаты.
Модуль вектора ускорения вычисляется аналогично модулю вектора скорости:
, (2.6)
а направление вектора ускорения – направляющими косинусами:
.
Движение точки может быть задано также естественным способом. При этом способе должна быть известна траектория точки и задан закон движения точки М по этой траектории: s = s (t), где 
– дуга, отсчитываемая на траектории от начального положения точки M 0.
|
|
Для определения положения точки на траектории задается также направление положительного отсчета дуги (рис. 14).
Рис. 14 Рис. 15
При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис. 15) и единичными векторами 
. Единичный вектор 
направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги, единичный вектор 
направлен по главной нормали траектории в сторону се вогнутости, единичный вектор 
направлен по бинормали траектории в точке М.
Орты и лежат в соприкасающейся плоскости, орты и в нормальной плоскости, орты и – в спрямляющей плоскости.
Скорость точки при естественном способе задания движения точки определяется формулой
,
где проекция вектора скорости на касательную 
определяется по формуле:
. (2.7)
Модуль вектора скорости 
.
Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается на касательную и нормальную составляющие:
,
где проекция вектора ускорения на касательную
(2.8)
называется касательным (тангенциальным) ускорением.
Касательное ускорение характеризует «быстроту» изменения величины скорости. При 
(векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону) точка в данный момент времени движется ускоренно, при 
(векторы касательного ускорения и скорости направлены в разные стороны) – замедленно.
Проекция ускорения на главную нормаль
, (2.9)
где r – радиус кривизны траектории в точке М, называется нормальным ускорением.
Модуль вектора ускорения определяется по формуле
. (2.10)
Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами
.
В соответствии с вышеизложенным задачу К1 необходимо решать в следующей последовательности:
1) выбрать систему координат;
2) исключив время из уравнений движения точки, определить уравнение траектории точки и изобразить ее график;
|
|
3) определить на графике положение точки в заданный момент времени;
4) по заданным уравнениям движения точки определить проекции скорости точки и модуль скорости по формулам (2.3) и (2.4) соответственно;
5) построить на рисунке вектор скорости точки в заданный момент времени;
6) по формулам (2.5) и (2.6) определить ускорение точки;
7) построить на рисунке вектор ускорения точки в заданный момент времени;
8) взять производную по времени от модуля скорости и составить выражение для квадрата касательного ускорения;
9) используя формулу (2.10), вычислить нормальное ускорение;
10) используя формулу нормального ускорения (2.9), вычислить радиус кривизны траектории в заданный момент времени;
11) разложить ускорение точки на касательную и нормальную составляющие на рисунке;
12) определить по касательному ускорению характер движения точки в заданный момент времени.
Пример выполнения задания
Движение точки М в плоскости х,у задано уравнениями
(х, у – в см, t – в с) (2.11)
Определить траекторию точки и для момента времени t 1 = 1/2 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.
Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.11) время t. С этой целью преобразуем уравнения (2.11), приведя тригонометрические функции к одному аргументу:
. (2.12)
Подставляя (2.12) и первое уравнение (2.11), получим 
или 
.
Траекторией точки является парабола (рис. 16).
Определим начальное положение точки М 0: при t = 0 x 0 = 5 cos2 0 – 2 = 3, у 0 = 4 sin2 0 = 0.
В момент времени t 1 = 1/2 с точка M имеет координаты:
.
Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):
,
. (2.13)
Рис. 16
По формуле (2.4) определим модуль скорости:
. (2.14)
Определим проекции и модуль скорости в момент времени t 1 = 1/2 с:
Вектор скорости строим (рис. 16) по составляющим:
.
Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекций се скорости (2.13):
По формуле (2.6) определим модуль ускорения:
.
При t 1 = 1/2 с 
, 
, следовательно, a 1 = 3,48 см/с2, и вектор ускорения 
направлен вертикально вверх.
Найдем производную от функции скорости (2.14) по времени:
При t 1 = 1/2 с 
.
Учитывая, что 
, вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):
|
|
.
Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)
.
Поскольку векторы скорости и касательного ускорения направлены в одну сторону, точка в данный момент времени движется ускоренно.
|
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!