Указания к выполнению контрольной задачи К2

Рекомендуемая учебная литература: [ 1 ], часть 1: гл.X, §78-84, с.184–203; гл.ХI, § 85-87, 90-91, с.204-209, 215-224; [ 2 ]: гл.X, §48–51, с.117–126; гл.XI, §127–140.

Задача К2 – на определение угловых скоростей звеньев и скоростей от­дельных точек плоского многозвенного механизма, состоящего из 4-х стерж­ней и ползуна В, соединенных друг с другом и неподвижными опорами с помощью шарниров. Стержни 1 и 4 совершают вращательное движение, пол­зун В – поступательное, стержни 3 и 4 – плоское движение в своей плоско­сти.

Поступательным движением плоской фигуры является движение, при котором любая прямая, проведенная в плоскости движущейся фигуры, оста­ется параллельной самой себе. В случае поступательного движения все точки фигуры движутся одинаково, а скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени равны между собой. Поступательное движение тела можно рассматривать как движение одной точки.

Вращательным движением плоской фигуры в своей плоскости являет­ся такое се движение, при котором одна точка фигуры (центр вращения) ос­тается все время неподвижной. Траекториями точек фигуры при этом будут дуги окружностей с центром в центре вращения, а их векторы скоростей по модулю пропорциональны расстояниям R до центра вращения (радиусу вращения):

, (2.15)

где w – угловая скорость вращения плоской фигуры. Направлен вектор ско­рости по касательной к дуге окружности, по которой движется, и, следова­тельно, перпендикулярно радиусу вращения в сторону движения.

Непоступательное движение плоской фигуры в своей плоскости, если у нее нет закрепленных точек, является плоским движением.

При определении скоростей точек плоской фигуры целесообразно ис­пользовать теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела: проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую их, равны (рис. 17):

. (2.16)

При плоском движении в каждый данный момент времени существует единственная точка Р плоской фигуры, скорость которой равна нулю (мгно­венный центр скоростей), а распределение скоростей таково, как если бы плоская фи­гура совершала вращательное движение вокруг мгновенного центра скоростей (теорема о мгновенном центре скоростей):

, (2.17)

где h – расстояние от точки до мгновенно­го центра скоростей, w – угловая скорость плоской фигуры.

На рис. 18 показаны способы нахож­дения мгновенного центра скоростей по скоростям двух точек плоской фигуры. На рис. 18 а показан случай, когда известен вектор скорости точки А и прямая, по которой направлен вектор скорости точки В. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпенди­куляров к скоростям, восстановленным в этих точках. Угловая скорость w в этом случае находится по известной величине скорости точки А:

. (2.18)

В случае, показанном на рис. 18 б, угловую скорость плоской фигуры можно найти, пользуясь свойством пропорции, по одной из формул:

.

Аналогично, в случае, показанном на рис. 18 в, угловую скорость мож­но определить по формулам:

.

 

 

а) б) в) г)

Рис. 18

В случае, когда скорости двух точек А и В плоской фигуры параллель­ны, но не перпендикулярны к АВ (рис. 18 г), мгновенный центр скоростей на­ходится в бесконечности и, следовательно, угловая скорость равна нулю. Векторы скоростей всех точек плоской фигуры в данный момент времени будут равны. Движение плоской фигуры в этом случае называют мгновенно поступательным.

При определении скоростей точек и угловых скоростей звеньев меха­низма, совершающих плоское движение, необходимо выполнить следующие действия:

1) если для стержня, совершающего плоское движение, по условиям задачи необходимо определить его угловую скорость, то следует найти по­ложение мгновенного центра скоростей одним из вышеизложенных спосо­бов, предварительно определив направления векторов скоростей его двух точек;

2) определить расстояние от точки стержня, скорость которой известна или ее можно предварительно определить, до мгновенного центра скоростей;

3) определить угловую скорость стержня в данный момент по формуле (2.18);

4) зная угловую скорость стержня, определить по формуле (2.17) иско­мые скорости его точек;

5) если угловую скорость стержня определять по условиям задачи не нужно, и известна скорость какой-либо точки стержня или ее можно предва­рительно определить, то для определения скорости точки, у которой извест­но направление вектора скорости, целесообразно воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (2.16).

 

Примеры выполнения задания

Пример 1. Плоский многозвенный механизм образован стержнями О ₁ А = l ₁ = 0,4 м, AD= l ₂ = 1,2 м, EB = l ₃ = 1,4 м, O ₂ E = l ₄ = 0,8 м и ползуном В, сое­диненными друг с другом и неподвижными опорами О ₁ и О ₂ шарнирами (рис. 19).

Кривошип О ₁ А вращается с постоянной угловой скоро­стью w ₁ = 1,5 рад/с. Точка D на­ходится посередине стержня BE.

Определить для заданного положения механизма скорости V_B, V_E, V_D точек В, Е, D и угло­вые скорости w ₃ и w ₄ стержней BE и O ₂ E.

Решение. Кривошипы O ₁ А и O ₂ E совершают вращательное движение вокруг неподвижных точек О ₁ и О ₂ соответственно, стержни AD и ЕВ – плоскопарал­лельное движение, ползун В – поступательное движение по горизонтальной направляющей.

Вычислим модуль скорости точки А кривошипа O ₁ A по формуле (2.15):

.

Вектор скорости точки А перпендикулярен О ₁ А и направлен в сто­рону вращения кривошипа (кривошип вращается против хода часовой стрел­ки).

Определим направление вектора скорости точки D стержня AD. С этой целью построим мгновенный центр скоростей для стержня BE, которому также принадлежит точка В (рис. 20). Мгновенный центр скоростей (точка Р) лежит на пересечении перпендикуляров направлениям скоростей точек В и Е, восстановленных в этих точках. Векторы скоростей и точек В и Е направлены вдоль горизонтальной направляющей и вдоль стержня BE соот­ветственно. Соединим точки D и Р. Вектор скорости точки D составляет прямой угол с прямой DP. Направим его так, чтобы его проекция и проекция вектора на прямую AD были одного знака.

Определим косинус угла b, который составляет вектор скорости точки D с прямой AD. С этой целью определим сторону ВР прямоугольного треугольника ВРЕ:

.

Рассмотрим далее треугольник BPD. По теореме косинусов определим PD:

 

По теореме синусов:

, или

Применив к стержню AD тео­рему о проекциях скоростей двух его точек, определим скорость точки D:

.

Откуда

.

Зная положение мгновенного центра скоростей для стержня ЕВ, опре­делим его угловую скорость по формуле (2.18):

.

По формуле (2.17) определим модули скоростей точек В и Е:

Следовательно, .

Зная скорость точки Е, определим угловую скорость кривошипа О ₂ Е по формуле (2.15):

.

Пример 2. Пусть теперь при тех же условиях вместо угловой скорости w ₁ кривошипа O ₁ А задан модуль вектора скорости ползуна V_B = 5 м/с, направленного от точки В к b (рис. 21).

Определить для заданного положения механизма скорости V_E, V_D, V_A точек Е, D, А и угло­вые скорости w ₁, w ₂, w ₃, w ₄ стержней О ₁ А, AD, BE и О ₂ Е.

Решение. Определим на­правление вектора точки Е. Он составляет прямой угол с прямой О ₂ E и направлен так, чтобы его проекция и проекция вектора скорости ползуна на прямую ВЕ были одного знака.

По теореме о проекциях скоростей двух точек тела (2.16):

м/с.

Вычислим угловую скорость w ₄ кривошипа O ₂ E по формуле (2.15):

рад/с.

Угловую скорость w ₃ стержня BE определим по формуле (2.17), построив мгновенный центр скоростей для стержня BE (см. пример 1):

где ВР = 1,62 м.

Следовательно, рад/с.

Зная угловую скорость стержня ВE, определим скорость точки D по формуле (2.17):

м/с.

Применив к стержню АD теорему о проекциях скоростей двух его то­чек, определим скорость точки А:

, где (см. пример 1).

Следовательно, = 1,08 м/с.

Вычислим угловую скорость из кривошипа O ₁ A по формуле (2.15):

рад/с.

Для определения угловой скорости w ₂ построим мгновенный центр скоростей стержня AD, который лежит на пересечении перпендикуляров на­правлениям скоростей и , восстановленных в этих точках (точка Р ₁, рис. 21).

В прямоугольном треугольнике P ₁ AD определим косинус острого угла (90°– b) при катете AD: cos(90°– b)= = , где sin(90°– b)=sin30° (см. пример 1).

Следовательно, cos(90°– b)= = 0,94.

Определим угловую скорость w ₂ стержня АD но формуле (2.18):

,

где из прямоугольного треугольника DР ₁= м и, следовательно, рад/с.