Тема №1- начало. Введение в эконометрику и её математические основы

ЭКОНОМЕТРИКА

 

Учебно-методическое пособие по практическим занятиям

для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям

38.03.06 «Торговое дело» и 38.03.01 «Экономика»

 

 

25.07.17 сделал корректировку: убрал повтор указателя формулы (7.24)

    По замечанию РИО

 

 

Калининград

Издательство ФГБОУ ВО «КГТУ»

2017

 

 

    Рецензенты:

А.М. Карлов, д.т.н. профессор кафедры финансов и кредита ИФЭМ

О.Н. Гегечкори, к.э.н. доцент кафедры управления производством ИФЭМ

 

 

Настин, Ю.Я. Эконометрика: учебно-методическое пособие по практическим занятиям для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям Экономика и Торговое дело / Ю.Я. Настин, Д.К. Тылик. Калининград: Изд-во ФГБОУ ВО «КГТУ», 2017. - ____ с.

 

    В учебно-методическое пособие по практическим занятиям вошёл весь материал, который предусмотрен рабочей программой. Первый раздел посвящён рекомендациям по использованию пособия, а каждый из разделов 2-9 соответствует одному практическому занятию. Структура разделов 2-9 типизирована: а) определения, формулы, справки, б) работа с тестами, в) решение задач и контрольные вопросы, г) решение сквозной задачи с индивидуальными исходными данными. Исключением является раздел 6, здесь решаются и исследуются индивидуальные сквозные задачис использованием табличного редактора MicrosoftExcel.

Учебно-методическое пособие рассмотрено и одобрено кафедрой финансов и кредита Института финансов, экономики и менеджмента ФГБОУ ВО «КГТУ» 28.04.2017, протокол № 9.

Учебно-методическое пособие рассмотрено и одобрено методической комиссией Института финансов, экономики и менеджмента ФГБОУ ВО «КГТУ» ____, протокол №___.

 

 

 

Содержание

	Предисловие
1	Методические рекомендации по работе с пособием
2	Тема №1 - начало. Введение в эконометрику и её математические основы
2.1	Определения, формулы, справки
2.2	Работа с тестами
2.3	Решение задач и контрольные вопросы
3	Тема №1 - окончание. Введение в эконометрику и её математические основы
3.1	Определения, формулы, справки
3.2	Работа с тестами
3.3	Решение задач и контрольные вопросы
3.4	Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина - линейной парной регрессии (п.п. 1-4)
4	Тема №2 -начало. П арный регрессионный анализ
4.1	Определения, формулы, справки
4.2	Работа с тестами
4.3	Решение задач и контрольные вопросы
4.4	Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина - линейной парной регрессии (п.п. 5-11)
5	Тема №2 - окончание. П арный регрессионный анализ
5.1	Определения, формулы, справки
5.2	Работа с тестами
5.3	Решение задач и контрольные вопросы
5.4	Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина - линейной парной регрессии (п.п. 12-17)
6	Тема №3 - начало. Множественный регрессионный анализ: построение и исследование регрессионных моделей на компьютере
6.1	Решение сквозной задачи №1. Построение и исследование модели магазина - линейной парной регрессии – с помощью табличного редактора MicrosoftExcel
6.2	Решение сквозной задачи №2. Построение и исследование модели магазина – множественной регрессии – с помощью табличного редактораMicrosoftExcel
6.3	Решение задачи №3. Построение и исследование модели магазина - нелинейной парной регрессии – с помощью табличного редактораMicrosoftExcel
7	Тема №3 - окончание. Множественный регрессионный анализ
7.1	Определения, формулы, справки
7.2	Работа с тестами
7.3	Решение задач и контрольные вопросы
7.4	Решение сквозной задачи №2: Построение и исследование модели магазина - линейной множественной регрессии (п.п. 1-8)
8	Тема №4 - начало. Построение эконометрических моделей
8.1	Определения, формулы, справки
8.2	Работа с тестами
8.3	Решение задач и контрольные вопросы
8.4	Решение сквозной задачи №2: Построение и исследование модели магазина - линейной множественной регрессии (п.п. 9-16)
9	Тема №4 - окончание. Построение эконометрических моделей
9.1	Определения, формулы, справки
9.2	Работа с тестами
9.3	Решение задач и контрольные вопросы
	Список рекомендуемых источников
	Приложение А - Таблицы для выбора варианта и исходных данных для решения сквозных задач №1 и №2.
	Приложение Б - Таблица Б.1 – Значения функции Лапласа
	Приложение В - Таблица В.1 – Значения tɤ,k-критерия Стьюдента
	Приложение Г - Таблица Г.1 – Значения  критерия Пирсона
	Приложение Д - Таблица Д.1 – Значения Fα,k1,k2 критерия Фишера-Снедекора
	Приложение Е - Словарь терминов по эконометрике

 

 

Предисловие

 

    Настоящее пособие по практическим занятиям содержит весь материал, который предусмотрен рабочей программой. Первый раздел посвящён рекомендациям по использованию пособия, а каждый из разделов 2-9 соответствует одному практическому занятию. Структура разделов типизирована:

· а) определения, формулы, справки,

· б) работа с тестами,

· в) решение задач и контрольные вопросы,

· г) решение сквозной задачи с индивидуальными исходными данными (кроме разделов 2 и 9).

Некоторым исключением является раздел 6, здесь изложены вопросы проведения практических занятий с использованием табличного редактора MicrosoftExcel.

    Несколько слов о дисциплине Эконометрика. Дословно название означает «измерение в экономике». Как наука она появилась в первой половине ХХ в, когда возник общий тренд математизации экономики. Одновременно возникли и другие экономико-математические дисциплины, например: исследование операций, математическая экономика, теория и методы принятия решений. С середины ХХ в. математизации экономики способствовало бурное развитие вычислительной техники.

И тут возникает первый серьёзный вопрос: насколько экономико-математические науки способны повысить мощность экономических теорий, их способность объяснять и предвидеть. На этом пути не один раз в мировом сообществе возникали иллюзии скорых успехов и горечь разочарований. Но история учит: каждая наука проходит трудный путь, прежде чем достигает своей зрелости.Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн в своей знаменитой монографии «Теория игр и экономическое поведение», изданной в США в 1943 г и переизданной несколько раз в России, высказывают такое мнение: ждать придётся примерно 300 лет – столько понадобилось физике, чтобы после опытов Г. Галилея – бросание шарика с башни - она «дозрела» до электромагнитной теории Д. Максвелла и теории относительности А. Эйнштейна. Заметим: с начала появления эконометрики прошло уже 100 лет. Осталось подождать ещё 200 лет.

Но не всё так плохо. Академик В.Л. Макаров, директор Центрального экономико-математического института РАН, в интервью журналу «Коммерсантъ Наука» №2, 2016 года сказал следующее: «Сейчас мы живем в цифровом мире и изучать мир научными методами стало проще. В виртуальной реальности, в искусственном мире можно проводить экономические эксперименты и тестировать экономические модели, предсказывая их эффективность - вместо того чтобы проводить эксперименты на реальных людях и в реальной жизни». Таким образом, мы имеем встречное движение: математика стремится проникнуть в экономику, а экономика стремится проникнуть в математику (оцифровывается).Значит - сделаем смелую оценку - высокого уровня математизации экономики ждать придётся вдвое меньше: 200/2=100 лет.

Второй серьёзный вопрос, который стоит у студентов в глазах и вертится на языке, когда они слушают лекцию: нужно ли экономисту так углубляться в математику? Зачем все эти нулевые гипотезы, гомоскедастичности, распределения Фишера-Снедекора и пр?. С появлением пакетов прикладных программ и умных интеллектуальных экспертных систем проблема решения задач практически снимается: достаточно нажать на кнопку.Сравним: XVIII в., комедия Д.И. Фонвизина «Недоросль», г-жа Простакова о необходимости изучать географию: «Да извозчики-то на что ж? Это их дело. Это-таки и наука-то не дворянская. Дворянин только скажи: повези меня туда, свезут, куда изволишь». Итак, г-жа Простакова за чёткое разделениетруда, что вряд ли возможно.

В нашем случае труд можно попытаться разделить так: экономист формулирует задачу, а математик-программист её решает. Но на каком языке они будут общаться? Очевидно, ответ может быть только таким: экономист должен знать начала математики, а математик-программист – начала экономики. Наша дисциплина Эконометрика как раз и использует начала математики, соединяя их с началами экономики.

В заключение приведём оценку Эконометрики, которую дал академик В.Л. Макаров в том же интервью (см выше): - «Эконометрика сейчас - это та же таблица умножения в экономике. Ею все пользуются. Есть множество разных групп, … которые используют эконометрику для составления различных экономических прогнозов. Она является одной из самых простых экономических моделей, работающих на практике».

Работа над учебно-методическим пособием распределилась следующим образом:

· Ю.Я. Настин – предисловие, разделы 1-5 и 7-9, приложения;

· Д.К. Тылик – раздел 6.

Авторы с благодарностью примут замечания и предложения по содержанию учебно-методического пособия.

Сокращения

ЗР	- закон распределения
МНК	- метод наименьших квадратов
МО	- математическое ожидание
НЗР	- нормальный ЗР
СВ	- случайная величина
СКО	- среднее квадратическое (квадратичное) отклонение

 

Обозначения
D(X)	- дисперсия СВ Х
Mx(Y)	-регрессия, условное математическое ожидание СВ Y как функции от Х
m	-число параметров в уравнении регрессии
n	- длина выборки
p	- число переменных в уравнении регрессии
åxi	- оператор суммирования по индексу i от 1 до n
Х и Y	- случайные величины; если по тексту - вектор, то это вектор-столбец nx1
Х	- матрица плана, размерность nx(p+1)
Х’	-транспонированная матрицаХ (штрих - операция транспонирования)
М(Х)	- оператор: математическое ожидание СВ Х
b0, b1,..., b р	- истинные неизвестные параметры регрессии
b0, b1,..., b р	- оценки истинных значений параметров регрессии, СВ
a	- уровень значимости критерия - вероятность совершить ошибку 1-го рода: отвергнуть истинную гипотезу Но (обычно a=0,05)
b	- вероятность совершить ошибку 2-го рода: принять неверную нулевую гипотезу Но
r	- коэффициент корреляции
и s	- средние квадратические отклонения: истинное и его выборочная оценка
Mx(Y)=f(x1,.., xp)	- уравнение регрессии (в строгом смысле)
Y=Mx(Y)+	- уравнение регрессионной модели (в строгом смысле)
= (x1,..,xp)	-выборочное уравнение регрессии

 

Синонимы (по убыванию предпочтения)

Х, х	- фактор; переменная объясняющая, входная; предиктор, экзогенная, регрессор
Y, у	- переменная объясняемая, результирующая, зависимая, выходная, эндогенная
, е	- ошибка, остаток, отклонение, возмущение
F(x)	Функция распределения, интегральный закон распределения СВ Х
(x)	Плотность распределения, дифференциальный закон распределения СВ Х

 

1 Методические рекомендации по работе с пособием

 

    Эконометрика как учебная дисциплина трудно усваивается студентами. Вот только четыре причины этого: высокий уровень математизации дисциплины, традиционно слабая математическая подготовка студентов-экономистов, большой объём материала, малое число часов на изучение.

Параметры дисциплины по учебному плану (очная форма): всего на изучение 72 часа, из них 30 часов аудиторных (14 часов лекций и 16 часов практических занятий) и 42 часа на самостоятельную работу; в конце семестра – зачёт.

    Всё перечисленное определяет особенности проведения практических занятий и структуру настоящего пособия. Если выразить коротко, то мы реализовали дидактический принцип: делай как я.

Имеется в виду решение сквозной задачи, которая охватывают примерно 80% всего материала дисциплины и посвящена построению и исследованию двух моделей магазинов. Первая - построение и исследование парной регрессионной модели магазина. Вторая - построение и исследование тройственной регрессионной модели магазина.

Каждый студент решает сквозные задачи на основе данных своего варианта. Примерно 40% времени на решение сквозных задач студенты затрачивают на практических занятиях под руководством преподавателя, а 60% - самостоятельно дома. Важная задача преподавателя – по возможности синхронизировать движение студентов от одного пункта алгоритма к другому (этому мешают разный уровень подготовки, пропуски занятий и т.п.).

Большой объём вычислений, формул, терминов, непривычный характер работы – вся эта сложность компенсируется тем, что студентам даётся образец решения и им остаётся «только подставить свои данные», хотя это даётся им непросто. Образец решения доступен студентам как в электронной форме в едином информационном пространстве, так и в традиционной.

Многолетнее наблюдение показывает, что такая организация практической работы – решение сквозной задачи – по-настоящему эффективна, она увлекает абсолютное большинство студентов. К концу семестра студенты дневной формы обучения оформляют решения сквозных задач в виде «Самостоятельной работы», куда включаются и компьютерные распечатки с решением этих же задач. Самостоятельная работа защищается и служит главным фактором для получения зачёта. Здесь уже проблема не столько в решении, сколько в объяснении решённого, в свободном владении материалом, в понимании его смысла.

О структуре пособия. Раздел 1 посвящён методическим рекомендациям по работе с ним. Каждый раздел (2-9) соответствует одному занятию. Cтруктура этих разделов – подразделы и временной регламент - типизирована:

· работа с определениями, формулами, справками по материалу предыдущих лекций; обсуждение трудных вопросов – 15 мин;

· работа с тестовыми заданиями и обсуждение трудных вопросов (тесты выступают как вспомогательный дидактический материал) – 15 мин;

· решение задач, разбор наиболее трудных из них – 15 мин;

· решение под руководством преподавателя в течение всего семестра одной сквозной задачи исследовательского типа с индивидуальными исходными данными – 45 мин. Итого, одно занятие: 15 3+45=90 мин.

 

Работа с тестами

 

1 Предмет эконометрики - это

А массовые экономические явления

Б отдельный значимый экономический процесс

В статистические методы, лежащие в основе эконометрических моделей

Г математические методы, лежащие в основе эконометрических моделей

 

2 Поле корреляции – это графический образ:

А функции регрессии, например, ŷ=b₀ +b₁х

Б функциональной зависимости СВ Y от переменной Х

В коэффициента корреляции

Г совокупности наблюденных точек в координатах ХY

 

3 Функция ŷ=b₀ +b₁х₁+b₂х₂ является регрессионной моделью:

А линейной парной

Б линейной множественной

В нелинейной множественной

Г нелинейной парной

 

4 Пятифакторная модель Альтмана прогнозирования вероятности банкротства предприятия является регрессионной моделью:

А линейной парной

Б нелинейной множественной

В линейной множественной

Г нелинейной парной

 

5 Функция  является регрессионной моделью:

А линейной парной

Б линейной множественной

В нелинейной множественной

Г нелинейной парной

 

6 Регрессией в строгом смысле называется функция:

А аппроксимирующая зависимость переменной Yот переменных Х

Б отражающая зависимость условного МО СВ Y от переменных Х

В отражающая зависимость Y от Х

Г отражающая зависимость переменных Х_i от результирующей СВ Y

 

7 Модель зависимости затрат от объёма выпуска продукции предусматривает затраты:

А производственные и управленческие

Б на потребление и благотворительность

В материальные и на оплату труда

Г постоянные и переменные

 

8 Четыре термина-синонима названия переменной Х в регрессии:

А фактор

Б объясняющая

В возмущение

Г входная

Д предиктор

 

2.3 Решение задач и контрольные вопросы

 

Задача 1. Построить графически 4-ю функцию модели Л. Торнквиста, см рисунок 2.1, раскрыть её экономическое содержание.

Задача 2. Параметрический анализ функции. Построить в общем виде графики функций парных регрессий: ŷ=b₀ +b₁х; ŷ= (b₀+с) +b₁х₁; ŷ =b₀ +(b₁+с)х₁.Сделать выводы.

Задача 3. В чём экономический смысл параметров b₀ и b₁, если парная регрессия =b₀ +b₁х – модель магазина.

Задача 4. В чём экономический смысл параметров b₀ и b₁, если парная регрессия =b₀ +b₁х – модель зависимости затрат х (х – сумма постоянных и переменных затрат) – руб/год - от объёма производства у (в натуральных единицах).

Задача 5. В чём экономический смысл параметров b₀, b₁, b₂ регрессионной модели магазина (2.1).

Задача 6. Вывести уравнение асимптоты у=b₀для функции (2.2), используя понятие предела и правило Лопиталя.В чём экономический смысл этой асимптоты в модели потребления.

Задача 7. Вычислить значение 1-й производной функции (2.2) в точке (0;0). Как это знание помогает при построении линииу₁(х), в чём экономический смысл этой производной.

Контрольные вопросы:

1) Дайте строгое определение регрессии

2) Раскройте содержание понятия «регрессионная модель»

3) Чем обусловлены проблемы получения больших однородных выборок

4) Что такое пространственные и временные данные

5) Что является предметом и методом эконометрики

 

 

Д) Три типа зависимостей между переменными

Функциональная: здесь каждому значению переменной Х соответствует определённое одно или несколько значений другой переменной Y.

Статистическая: здесь каждому значению переменной X(случайной или неслучайной) соответствует случайное значение другой переменной Y– одно или несколько.

Регрессионная (синоним – корреляционная): здесь каждому значению переменной X(случайной или неслучайной) соответствует определённое значение другой переменной«a», которое вычисляется из выражения: а=МО(Х).

 

    3.2 Работа с тестами

1 Два результата 1-го этапа моделирования - постановочного:

А выделение объясняемой и объясняющих переменных

Б наилучшая функция зависимости Y от факторов X

В формулирование цели и задач исследования

Г оценки неизвестных параметров модели

 

2 Основной результат 6-го этапа моделирования – оценки качества модели:

А оценка значимости уравнения регрессии

Б оценки неизвестных параметров модели

В аппроксимация математической функцией выявленных связей

Г интерпретация результатов моделирования

 

3 Две основные проблемы эконометрического моделирования:

А сохранение баланса модели: рентабельность – статистическая значимость

Б значительные затраты труда на выполнение расчётов

В высокая математическая сложность методов эконометрики

Г выборки - короткие и неоднородные

 

4 Плотность распределения равномерного ЗР СВ Х имеет форму:

А треугольника

Б колокола

В прямоугольника

Г прямоугольной трапеции

 

5 Плотность распределения нормального ЗР СВ Х имеет форму:

А треугольника

Б колокола

В прямоугольника

Г прямоугольной трапеции

 

 

6 Площадь между отрезком аb на оси Х и плотностью распределения равна

А вероятности попадания СВ Х на этот отрезок

Б вероятности непопадания СВ Х на этот отрезок

В вероятности попадания СВ Х на интервал (- , а)

Г вероятности попадания СВ Х на интервал (- , b)

 

7Одномерный нормальный ЗР СВ Х задаётся параметрами:

А одним: МО(Х)=а

Б двумя: МО(Х)=а и СКО

В двумя: МО(Х)=а и коэффициент корреляции

Г тремя: МО(Х)=а, СКО  и коэффициент корреляции

 

8 Четыре термина-синонима для обозначения разности = -у:

А фактор

Б ошибка

В остаток

Г возмущение

Д отклонение

 

9 Явление гомо- гетероскедастичности учитывается при анализе:

А зависимости ошибки  от фактора Х

Б зависимости Y от фактора Х

В зависимости МО() от фактора Х

Г зависимости МО() от переменной Y

 

10 Доверительный интервал для групповой средней – СВ (х):

А

Б

В

Г

 

3.3 Решение задач и контрольные вопросы

 

Задача 1. Этап 3 – моделирование, см таблицу 3.1. На рисунке 3.1 прямая линия регрессиипересекает ось Y в точке b₀ 0, что противоречит смыслу: при нулевой площади и выручка должны быть нулевой: b₀=0. Вопрос: не следует ли с самого начала решать задачу идентификации при условии b₀=0 в виде функции = b₁x. Приведите доводы за и против.

Задача 2. Этап 3 – моделирование. Продолжение задачи 1. Для некоторых вариантов имеем b₀ 0, а для некоторых b₀ 0. Как это можно объяснить. Подсказка: для ответа используйте в том числе идею нелинейной функции.

    Задача 3. Пусть j(х) – плотность равномерного закона распределения СВ Х. Какова вероятность попадания СВ на интервал (а, b)?

    Задача 4. Определить значение максимальной ординаты плотности вероятностей НЗР.

Задача 5. На графике дана линия плотности вероятностей НЗР. Найдите значение параметров закона: МО «а» и СКО .

    Задача 6. Дана генеральная совокупность значений СВ Х: 2, 4, 6, 3, 1. Вычислите генеральную среднюю арифметическую _г, а также все выборочные средние  для n=3, сопоставьте их, сделайте выводы.

    Задача 7. Дана генеральная совокупность значений СВ Х: 2, 4, 6, 3, 1. Вычислите генеральную среднюю арифметическую _г, постройте последовательность выборочных средних арифметическихдля n=2, 3, 4. Сделать выводы, см (3.2).

Задача 8. Дана выборка значений СВ Х - прибыли предприятия за 5 лет (млн.руб): 2, 3, 3, 4, 3. Определить доверительный интервал для генеральной средней прибыли _г. Выполнить анализ алгоритма решения задачи:

1) Введём обозначения:  - выборочная средняя, s – выборочное СКО СВ х,  – СКО выборочной средней,  – доверительная вероятность,

2) Вычисляем как среднее арифметическое, s как выборочное СКО,

3) По таблице находим критическое значение t_ɤ,n-1 – статистики Стьюдента,

4) Вычисляем полуинтервал = t_ɤ,n-1 ,

5) Находим искомые границы доверительного интервала для прибыли _г.

Контрольные вопросы:

1) В чём смысл фразы: наилучшая – компромиссная – функция Y=f(X)

2) Что является результатом 6-го этапа эконометрического моделирования

3) Назовите критерии точечной оценки параметра модели

4) Что есть интервальная оценка параметра модели

5) В чём суть нулевой статистической гипотезы

 

   

Определения, формулы, справки

А) Метод наименьших квадратов (МНК). Неизвестные параметры b_o и b₁ из (3.3) определяются с помощью МНК. Суть МНК состоит в отыскании оптимальных значений параметров b_o и b₁ таких, которые доставляют минимум сумме квадратов отклонений наблюденных значений y_i от теоретических значений ŷ, определяемых регрессией (3.3):

S(bo, b1) = å (ŷ-yi)2 = å (bo +b1xi - yi)2 ® min.

(4.1)

Для отыскания минимума Sприравняем нулю производные:

¶S/¶bo= 2å (bo +b1xi - yi) = 0 ¶S/¶b1 = 2å (bo +b1xi - yi) xi = 0.

(4.2)

После преобразований получаем систему из 2-х линейных уравнений с неизвестными оптимальными b_o и b₁:

bon + b1åxi  = å yi, boåxi  + b1å  = å xi yi.

(4.3)

Разделим 1-е уравнение на n и получим полезное выражение: линия регрессии проходит через точку средних (  , ):

= bo +b1x̄.

(4.4)

Из решения (4.3-4.4) получаем:

bo =  - b1  b1 =

(4.5)

где s_x² - выборочная дисперсия переменной Х:

= å /n - ()2.

(4.6)

- выборочная ковариация:

= å xi yi/n -

(4.7)

Б) Коэффициент парной корреляции r_xy. Формулы для его вычисления.

r = b1 sx/sy

(4.8)

Коэффициент корреляции отражает тесноту линейной статистической связи СВ Х и Y. Его свойства:

1) -1 £ r £ 1. Чем ближе модуль çrç к 1, тем теснее связь Х и Y.

2) Если r = ± 1, то связь между Х и Y - функциональная и линейная.

3) Если r = 0, то линейная корреляционная связи СВ Х и Yнет.

В) Основные предпосылки регрессионного анализа. Пусть для оценки параметров регрессии взята выборка из n пар (x_i, y_i). Тогда вероятностная (стохастическая) модель имеет вид:

yi = b0 +b1хi + ei.

(4.9)

Пять основных предпосылок:

1)В (3.9) ошибка e_i (а значит и y_i) есть величина случайная, а фактор х_i - неслучайная.

2)М(ei) = 0 и, следовательно, М(yi) = b0 +b1хi.

(4.10)

3) Должно выполняться условие гомо скедастичности (равноизменчивости) возмущения e_i для всех значений Х:

D(ei) = s2 = D(yi) = const.

(4.11)

4) Ошибки e_i и e_j (и переменные у _i и у _j) некоррелированы:

rei ejдлялюбыхiиj, i¹j.

(4.12)

5) Ошибки e_i (и переменная у_i) есть НРСВ.

Модель, для которой выполняются все пять предпосылок, называется нормальной классической линейной регрессионной моделью (НКЛРМ).

 

Работа с тестами

1 Метод наименьших квадратов основан на:

А сумме квадратов модулей отклонений значений y_i отŷ_i

Б сумме модулей квадратов отклонений значений y_i от ŷ_i

В сумме модулей отклонений значений y_i от ŷ_i

Г сумме квадратов отклонений значений y_i от ŷ_i

 

2 Результат МНК – система из 2-х линейных уравнений относительно:

А переменных x_iy_i

Б параметров b₀  и b₁

В возмущенийe_i e_j

Г СКО s_xи s_y

 

3 Оценки b₀  и b₁ оптимальные, потому что они:

А наибольшие

Б минимизируют функцию S(b_o, b₁) = å (ŷ_i- y_i)²

В максимизируют функцию S(b_o, b₁) = å (ŷ_i- y_i)²

Г наилучшие

 

4 Оценки b₀  и b₁

А несмещённые

Б состоятельные

В эффективные

Г имеют наименьшую дисперсию

 

5 Установить соответствие (b₀ и b₁ больше 0):

Зависимость у от х	Коэффициент парной корреляции rxy
А у=b0+b1 х	1) 0
Б у=b0-b1 х	2) -1
В х2+у2=R2	3) +1

 

6 Установить соответствие:

	Выборки	Коэффициент парной корреляции rxy
А	Х= 1, 3, 5, 10 и Y= 6, 8, 11, 15	1)  – 0,7
Б	Х= 1, 3, 5, 10 и Y= 13, 10, 7, 2	2)  +0,7

 

7 Оценка остаточной дисперсии s² при использовании МНК:

А несмещённая и состоятельная

Б несмещённая и эффективная

В состоятельная и эффективная

Г имеет наименьшую дисперсию

 

8 Три из пяти предпосылок парного регрессионного анализа:

А фактор Х – величина случайная

Б математическое ожидание ошибки равно нулю: М(

В выполняется условия гомоскедастичности: D()=const

Г возмущения некоррелированы: r_{ei ej}=0, i

 

 

4 .3 Решение задач и контрольные вопросы

    Задача 1. МНК. Уравнение (3.2) ¶S/¶b_o= 2å (b_o +b₁x_i - y_i) = 0 привести к виду (3.3) b_o n + b₁ åx_i = åy_i.

    Задача 2. МНК. Уравнение (3.2) ¶S/¶b₁ =2å (b_o +b₁x_i - y_i) x_i = 0 привести к виду (3.3) b_o åx_i + b₁ å  = åx_iy_i.

    Задача 3. Даны выборки двух СВ: Х= 1, 3, 5 и Y= 13, 10, 7. Рассчитать коэффициент корреляции, выполнить анализ алгоритма решения задачи:

1).Выбираем рабочую формулу, например,

2).Рассчитываем средние арифметические

3).Формула для расчёта дисперсий s_x² и s_y²: s_x²= /(n-1)

4).Подставляем все значения в рабочую формулу и вычисляем r_xy.

Задача 4. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение выручки для нового магазина с площадью х=11 на основе регрессионной модели =0,43+1,54x. Выполнить анализ алгоритма решения задачи:

1).В координатах XYстроим прямую линии для уравнения регрессии

ŷ_i=0,43+1,54x

2).Находим графически прогнозное значение выручки ŷ_iдля х=11

3).Вычисляем прогнозное значение выручки для х=11: ŷ_i=0,43+1,54×11=17,37

4) Результаты п.п 3 и 4 должны совпадать.

Задача 5. В рамках модели магазина дать точное определение переменным и на рисунке 2.1 показать их графические образы: у₂, , ₂, х₃, ₂-у₂, е₃, s_x, s.

 

Контрольные вопросы:

1) В чём суть метода наименьших квадратов

2) В каком смысле параметры регрессии, найденные с помощью МНК, можно называть оптимальными

3) Какие соображения возникают при анализе причин ненулевого значения параметра b₀ в модели магазина

4) Если коэффициент корреляции между Х и Y равен 0, то какие из этого можно сделать выводы.

5) В чём смысл условия гомоскедастичности

 

 

    4.4 Решение сквозной задачи №1: Построение и исследование модели магазина- линейной парной регрессии (п.п. 5-11)

 

5) Представим уравнение регрессии =0,43+1,54x графически в виде прямой линии на плоскости XY (например, по двум каким-либо точкам.

 

6) Покажем графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку средних значений (x̄,ȳ) переменных х и у (способ проверки правильности расчётов).

Графически: на рисунке 3.1 видно,