Основы релятивистской механики

Основные законы и формулы

Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если ее скорость много меньше скорости света.

1. Релятивистское (лоренцево) изменение продольного размера

где – продольный размер в системе координат, относительно которой рассматриваемое тело покоится (собственная длина); – в системе координат, относительно которой рассматриваемое тело движется со скоростью ; с — скорость света в вакууме.

    2. Релятивистское замедление хода времени

,

где Δ t ₀ – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δ t – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы координат, относительно которой рассматриваемое тело движется со скоростью .

    3. Релятивистский закон сложения скоростей

,

где – относительная скорость (скорость тела относительно движущейся системы координат); – переносная скорость (скорость движущейся системы относительно неподвижной); – абсолютная скорость (в теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную).

    4. Релятивистская масса

,

где m ₀ — масса покоя; — скорость частицы.

5. Релятивистский импульс

.

6. Полная энергия релятивистской частицы

E = mc ²= m ₀ c ²+ T,

где Т – кинетическая энергия частицы; m ₀ c ²= Е ₀– ее энергия покоя.

7. Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

Е ² - р ² с ²= m ₀² c ⁴.

8. Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

р ² с ²= Т (Т + 2m ₀ c ²).

Примеры решения задач

Пример 1. Космический аппарат движется со скоростью   u =0,9 с к центру Земли. Определить его путь в системе отсчета, связанной с Землей за промежуток времени Δ t ₀= 1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле. Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Дано: u =0,9 с; с = 3×10⁸ м/с; Δ t ₀= 1 с.

Найти: .

Решение. Расстояние, которое пройдет аппарат в системе отсчета, связанной с Землей (покоящаяся система), определим по формуле

где D t – интервал времени, отсчитанный в движущейся системе отсчета.

Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитанным в неподвижной системе, соотношением

.

Подставляя данное выражение в начальную формулу, получим

.

Выполним вычисления:

    Ответ: =619 Мм.

Пример 2. Сколько времени для земного наблюдателя и для космонавтов займет космическое путешествие до звезды и обратно на ракете, летящей со скоростью u =2,9 ×10⁸ м/c. Расстояние до звезды (для земного наблюдателя) равно одному световому году.

Дано: u =2,9×10⁸ м/с.

Найти: t.

Решение. Расстояние S, которое пролетит космический корабль в системе отчета, связанной с Землей, равно

S = u t = 2,9 ×10⁸× 365 × 24 × 3600» 3,8 ×10¹⁷ м.

По часам земного наблюдателя полет корабля продлится время, равное

D t = 2 S / u.

Выполним вычисленияD t:

Время, измеренное по часам, находящимся на борту космического корабля, в соответствии с эффектом замедления времени определим по формуле

.

Тогда                       .

Подставляя численные значения, получим

.

Ответ: D t» 83 года; D t₀»21,3 года.

Пример 3. Кинетическая энергия электрона равна 1 МэВ. Определить скорость частицы.

Дано: Т = 1МэВ; Е ₀=0,51 МэВ.

Найти: u.

Решение. Чтобы определить, является ли частица релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы Т с ее энергией покоя E ₀. Если Т / E ₀ <<1, то частицу можно считать классической.

В условиях данной задачи Т / E ₀= 1,96. Следовательно, электрон является релятивистской частицей.

Релятивистская формула кинетической энергии:

Выполнив преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света, обозначив ее b= u / c:

,

где E ₀ – энергия покоя электрона.

Подставив числовые значения в мега электрон-вольтах, получим

.

Тогда скорость электрона

u = b× c = 0,941×3 ×10⁸ = 2,82×10⁸ м/с.

Ответ: u = 2,82×10⁸ м/с.

   Пример 4. Определить релятивистский импульс и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью u =0,9 с (с – скорость света в вакууме).

Дано: u =0,9 с; с = 3×10⁸ м/с.

Найти: р, Т.

Решение. Релятивистский импульс определим по формуле

.

Введя переменную b= u / c, получим

.

Кинетическая энергия релятивистской частицы Т определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя E ₀ этой частицы, то есть

Т = Е - E ₀.

Учтем, что E = mc ², а Е ₀ = m ₀ c ², то, с помощью зависимости релятивистской  массы от скорости

,

получим

Выполним вычисления р и Т:

,

Ответ: р = кг×м/с; Дж.

Пример5. Релятивистская частица с кинетической энергией Т, равной энергии покоя испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить:

1) релятивистскую массу m движущейся частицы;

2) релятивистскую массу и массу покоя составной частицы;

3) ее кинетическую энергию .

Дано: Т = Е ₀, т ₀.

Найти: m, , , .

Решение. 1. Релятивистскую массу т движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии релятивистской частицы Т =(т - т ₀) с ².

Так как Т = Е ₀ = т ₀ с ², то т =2 т ₀.

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы, воспользуемся законом сохранения релятивистской массы частиц

m + m ₀ = ,

где m + m ₀ – суммарная релятивистскаямасса частиц до столкновения; – релятивистская масса составной частицы.

Так как т =2 т ₀, то т' = 3 т ₀.

Массу покоя  составной частицы найдем из соотношения

(1)

Скорость составной частицы (она совпадает со скоростью u _с центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса

р = р ',

где р – импульс релятивистской частицы до столкновения; р ' – импульс составной релятивистской частицы.

Выразим р через кинетическую энергию Т:

р = / c.

Так как Т = т ₀ с ², то

р = m ₀ c.

Релятивистский импульс равен p'=m' u '. Запишем закон сохранения импульса, учитывая, что m' =3 m ₀,

m ₀ c =3 m ₀ u ',

тогда

u ' = c / .

Подставив выражения m' и u ' ввыражение (1), найдем массу покоя составной частицы:

или

3. Кинетическую энергию составной релятивистской частицы, используя закон сохранения энергии, найдем как разность полной энергии и энергии покоя составной частицы:

Т' = (т' — ) с ².

Учитывая значения т' и , получим

.

Ответ: т =2 т ₀; т' = 3 т ₀, , .

 

 

Задачик контрольной работе №1 – Механика

Таблица 3

Варианты контрольной работы №1 – Механика

Вариант	Номера задач
1	1	16	31	46	61	76	91	106	121	136
2	2	17	32	47	62	77	92	107	122	137
3	3	18	33	48	63	78	93	108	123	138
4	4	19	34	49	64	79	94	109	124	139
5	5	20	35	50	65	80	95	110	125	140
6	6	21	36	51	66	81	96	111	126	141
7	7	22	37	52	67	82	97	112	127	142
8	8	23	38	53	68	83	98	113	128	143
9	9	24	39	54	69	84	99	114	129	144
10	10	25	40	55	70	85	100	115	130	145
11	11	26	41	56	71	86	101	116	131	146
12	12	27	42	57	72	87	102	117	132	147
13	13	28	43	58	73	88	103	118	133	148
14	14	29	44	59	74	89	104	119	134	149
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150

 

1. Тело падает с высоты h = 1км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, путь, пройденный телом: 1) за первую секунду своего падения; 2) за последнюю секунду своего падения.

2. Зависимость пройденного материальной точкой пути от времени задается уравнением S = A - Bt + Ct ²+ Dt ³(A =6 м, В =3 м/с, С =2 м/с²,
D =1 м/с³). Определить для точкив интервале времени от t ₁ = 1 с до
t ₂ = 4 с: 1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

3. Тело брошено со скоростью u ₀=15 м/спод углом α=30^° горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить: 1) высоту подъема тела;2) дальность полета (по горизонтали) тела; 3) время его движения.

4. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x ₁= A ₁ t - B ₁ t ²+ C ₁ t ³и x ₂= A ₂ t - B ₂ t ²+ C ₂ t ³, где B ₁ = 4 м/с², C ₁ = – 3 м/с³, B ₂ = – 2 м/с², C ₂ = 1 м/с³.В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости u ₁ и u ₂точек в этот момент.

5. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h =8,6 м два раза с интервалом D t =3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

6. Движение точки по окружности радиусом R =4 м задано уравнениемξ = A + Bt + С t ², где A = 10 м, B = – 2 м/с, C = – 1 м/с². Найти тангенциальное a _τ, нормальное a_n и полное a ускорения точки в момент времени t = 2 с.

7. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 c камень упал на землю на расстоянии
S = 40 м от основания вышки. Определить начальную u ₀ и конечную u скорости камня.

8. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность S полета тела в четыре раза больше максимальной высоты H траектории.

9. Первое тело движется равноускоренно, имея начальную скорость u ₀₁=2 м/с и ускорение а. Через время t = 10 с после начала движения первого тела из этой же точки начинает двигаться равноускоренно второе тело, имея начальную скорость u ₀₂= 12 м/с и то же ускорение а. Найти ускорение а, при котором второе тело сможет догнать первое.

10. Камень брошен горизонтально со скоростью u _х =15,0 м/с. Найти нормальное a_n и тангенциальное a _τ ускорения камня через время
t = 1,00 с после начала движения.

     11.Тело свободно падает с высоты h =7,8 м. За время t тело проходит некоторый участок в начале движения, и такой же участок в конце движения, но за время t /2. Определить время t.

     12. Тело, свободно падающее с некоторой высоты без начальной скорости, завремя τ = 1 с после начала движения проходит путь в n = 5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найдите полноевремя движения.

13. Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью u ₀= 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же начальной скоростью из точки, соответствующей максимальной верхней точке полета первого тела, брошено второе тело. Определить: 1) в какой момент времени  тела встретятся; 2) на какой высоте  от поверхности Земли произойдет эта встреча; 3) скорость u ₁ первого тела в момент встречи.

    14. Тело брошено под углом к горизонту. Максимальная высота подъема составила четверть от дальности полета. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол броска к горизонту, если точки бросания и падения были на одной горизонтальной плоскости.

    15.Тело брошено со скоростью u ₀=10 м/спод углом a = 60° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) высоту  подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали)  тела; 3) время его движения.

16. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости w=20 рад/с через N =10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение e колеса.

17. Вал вращается с частотой n =180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением
e=3 рад/с². Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов N вала до остановки.

18. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнениюφ = A + Bt + С t ³,где A = 3 рад, B = -1 рад/с, С= 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное a _τ, нормальное a_n и полное a ускорения точки в момент времени t = 10 с.

19. Винт аэросаней вращается с частотой n = 360 мин^-1. Скоростьпоступательного движения аэросаней равна 15 м/с. С какой скоростью движется один из концов винта, если радиус R винта равен 1 м?

20. Точка движется по окружности радиусом 60 см с постоянным тангенциальным ускорением 1,2 м/с². Чему равны нормальное и полное ускорения в конце третьей секунды после начала движения?

21. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением
ε=3рад/с². Определить радиус колеса, если через t = 1cпосле начала движения полное ускорение колеса а =7,5м/с².

22. Точка движется по окружности радиусом R =15 см с постоянным тангенциальным ускорением a _τ. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки u =15 см/с.Определить нормальное ускорение a_n точки через t = 16c после начала движения.

23. На токарном станке протачивается вал диаметром d = 60 мм. Продольная подача резца h равна 0,5 ммза один оборот. Какова скорость резания, если за интервал времени D t = 1 мин протачивается участок вала длиной l = 120 мм?

24. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n =50c^-1, после выключения тока, сделав N =628 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение якоря.

25. Диск радиусом R =10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = A + Bt ³
(A = 2рад, B = 4 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение a_n в момент времени t =2c; 2) тангенциальное ускорение a _τ для того же момента; 3) угол поворота j, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол a = 45°.

26. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии L = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n = 30 оборотов в секунду. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска, при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол φ₁= 12°. Найти величину u скорости пули.

27. Величина линейной скорости точек окружности вращающегося диска равна u ₁= 3 м/с, а точек, находящихся на расстоянии r = 10 см ближе к оси вращения, u ₂= 2 м/с. Какова частота n вращения диска?

28. Диск, вращаясь равнозамедленно, за время t ₁= 60 с уменьшил частоту своего вращения с n ₀= 5 c⁻¹до n ₁= 3 c⁻¹, продолжая вращаться в ту же сторону. Найти величину ε углового ускорения диска и число оборотов N ₂диска за время t ₂= 5 мин.

29. Точка движется равноускоренно по окружности радиусом
R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением а _τ. Найти величину нормального ускорения а _{1 n} точки через время t ₁= 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения величина линейной скорости точки u ₅= 0,1 м/с.

30. Найти величину углового ускорения ε колеса, вращающегося равноускоренно, если известно, что через время t ₁= 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол φ₁= 60°с вектором линейной скорости.

31. На столе лежит брусок массой m ₁=5 кг. К бруску привязан шнур, перекинутый через блок, который укреплен на краю стола. К другому концу шнура привязана гиря массой m ₂=2 кг. Коэффициент трения m бруска о поверхность стола равен 0,12. С каким ускорением движутся брусок и гиря?

32. Мотоциклист с постоянной скоростью u = 20 м/седет по окружности внутренней поверхности цилиндра, ось которого расположена вертикально. Радиус цилиндра R = 4 м. Найти коэффициент трения шин мотоцикла о стенки цилиндра. Размерами мотоцикла и человека пренебречь.

33. Наклонная плоскость, образующая угол a=25° с плоскостью горизонта, имеет длину l =2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t =2 с. Определить коэффициент трения mтела о плоскость.

34. Материальная точка массой m =2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x = A + Bt + Ct ² + Dt ³, где
C = 1 м/с², D = – 0,2 м/с³. Найти значение этой силы в моменты времени t ₁=2 с и t ₂=5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

35. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m ₁=1,5 кг и
m ₂=3 кг. Какими будут показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

36. Автоцистерна с керосином движется с ускорением a =0,7 м/с². Под каким углом j к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне?

37. В вагоне, движущемся горизонтально и прямолинейно с ускорением а =2 м/с², висит на шнуре груз массой m =0,2 кг. Найти силу

натяжения шнура и угол отклонения шнура от вертикали.

38. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Разность междумаксимальным и минимальным натяжениями веревки D F =9,8 Н. Найти массу камня.

39. Тело массой m движется в плоскости xy по закону x = A cosω t,
y = B sinω t, где А, В и w - некоторые постоянные. Определить модуль силы, действующей на это тело.

40. Материальная точка массой m =20 г движется без трения прямолинейно под действием силы, изменяющейся с течением времени по закону F=At, где A – постоянный вектор, модуль которого А = 0,03 Н/с. В момент времени t =0 с координата точки x ₀=0 м, скорость u ₀=5 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с движения.

41. Брусок толкнули со скоростью u ₁=10 м/с вверх вдоль доски, наклоненной под углом30°к горизонту. Обратно он вернулся со скоростью u ₂ = 5 м/с. С какой скоростью вернется брусок, если его толкнуть с той же скоростью вдоль той же доски, наклоненной под углом45°к горизонту?

42. Наклонная плоскость разделена по длине на две равные части. Если тело отпустить без начальной скорости с самого верха, то оно доедет до низа с нулевой скоростью. Каков коэффициент трения между телом и плоскостью на нижней половине плоскости, если на верхней половине он равенμ₁? Угол наклона плоскости равенa.

43. Шайбу толкают по горизонтальному столу. Если толкнуть ее со скоростью u ₁, то она проедет до остановки расстояние16 см. Если толкнуть ее со скоростью u ₂, то она проедет расстояние36 см. Какое расстояние проедет шайба, если толкнуть ее со скоростью u ₁+ u ₂?

44. На тело, лежащее на горизонтальной поверхности, начинает

действовать горизонтальная сила по величине равная силе тяжести тела. Спустя время t сила прекращает действовать, а спустя еще3 t тело останавливается. Определить коэффициент трения между телом и поверхностью.

45. Тело массой m = 1 кгпокоится на шероховатой поверхности, составляющей уголa = 30°с горизонтальной плоскостью. С какой минимальной силой F, направленной горизонтально вдоль линии пересечения плоскостей, нужно подействовать на тело, чтобы сдвинуть его с места. Коэффициент трения тела о плоскостьμ = 0,7.

46. Стержень массой 1кг и длиной 1 м вращается вокруг оси, проходящий через один из его концов, по закону j=2 + t + t ². Определить момент силы, действующей на другой его конец.

47. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R =5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m =0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь h =1,8 м за время t =3 с. Определить момент инерции маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

48. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m ₁=100 г и m ₂ = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса блока m равна 400г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

49. Однородный диск радиусом R =10 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его край. Диск отклонили на угол a = 90° и отпустили. Определить для начального момента времени угловое e и тангенциальное а _t ускорения точки В, находящейся на расстоянии b = R /2 от центра диска.

50. Сплошной диск, момент инерции которого J = 150 кг×м², вращается с частотой n = 240 об/мин. На него стал действовать момент сил торможения, и через время t =1 мин, он остановился. Определить:
1) суммарный момент сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

51. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R =20 см и массой m =100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

52. Шар массой m =10 кг и радиусом R =20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид j= A + Bt ² + Ct ³, где B =4 рад/с², С = – 1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил в момент времени t =2 c.

53. Однородный диск, диаметром 80 см и массой 30 кг, вращается с частотой 600 об/мин. При торможении его частота вращения изменилась за 20 с до 240 об/мин. Определить тормозящий момент, действующий на тело.

54. На блок, имеющий форму диска радиусом R =20 см и массой
5 кг, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 0,5 кг. До начала вращения блока высота груза над полом h = 1 м. Определить время t движениягруза до пола?

55. Тонкий однородный стержень длиной l =1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку на стержне, удалённую от его края на расстояние а = l/3. Стержень отклонили от вертикали на угол a=60° и отпустили. Определить для начального момента времени угловое e и тангенциальное а _τ ускорения точки В, расположенной на нижнем конце стержня.

56. Два шара массами m и 2 m (m = 10 г) закреплены на концах тонкого невесомого стержня длиной l = 40 см. Определите момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

57. Маховик, имеющий вид диска радиусом R =40 см и массой
m ₁=48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому концу которой подвешен груз массой m ₂=0,2 кг. Груз был приподнят и затем опущен. Упав свободно с высоты h =2 м, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость ω груз сообщил при этом маховику? Решите задачу, используя основной закон динамики вращательного движения.

58. К ободу однородного диска радиусом R =0,2 м приложена касательная сила F = 10 Н. На диск действует момент силы трения
М _тр=0,5Н·м. Угловое ускорение, с которым вращается диск
ε = 10 рад/с ². Определите массу диска.

59. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ= A+Вt+Сt ², где A =2 рад, В =16 рад/с, С = – 2 рад/с². Момент инерции J маховика равен 50 кг м². Найти законы, по которым меняются вращающий момент M и мощность N. Чему равна мощность в момент времени t =3 с?

60. Маховик, массу которого m = 5 кг можно считать равномерно распределенной по ободу радиуса 20 см, вращается с частотой
n = 720 мин^–1. При торможении маховик останавливается через 20 с. Определите тормозящий момент. Силы трения во время торможения считать постоянными.

61. В лодке массой m ₁=240 кг стоит человек массой m ₂=60 кг. Лодка плывет со скоростью u ₁=2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью u ₂ =4 м/с (относительно лодки). Найти скорость движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

62. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека
60 кг, масса доски 20 кг. Определить скорость (относительно пола), с которой будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) u = 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

63. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием 15 т. Орудие стреляет вверх под углом j = 60° к горизонту в направлении пути. С какой скоростью u ₁покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m =20кг и он вылетает со скоростью u ₂=600 м/с?

64. Снаряд массой m =10 кг обладал скоростью u =200 м/св верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой m ₁=3 кг получила скорость u ₁=400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u ₂ второй, большей части после разрыва.

65. На какое расстояние переместится относительно берега лодка длиной l =3,5 м и массой 200 кг, находящаяся в спокойной воде, если стоящий на корме человек массой 80 кг переместится на нос лодки? Считать, что лодка расположена перпендикулярно берегу.

66. Платформа с песком общей массой 2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда u =450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом a = 30°  к горизонту.

67. Две легкие тележки (массами соответственно m ₁ и m ₂=2 m ₁) соединены между собой сжатой, пружиной, связанной нитью. Пережигая нить, пружина распрямляется, и тележки разъезжаются в разные стороны. Считая коэффициент трения для обеих тележек одинаковым, определить: 1) u ₁/ u ₂– отношение скоростей движения тележек; 2) t ₁/ t ₂– отношение времен, в течение которых тележки движутся; 3) S ₁/ S ₂– отношение путей, пройденных тележками.

68. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью u ₀, разрывается на два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоянии l (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок.

69. После упругого столкновения частицы 1 с покоящейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1,и угол между их направлениями разлета j=60°. Найти отношение масс этих частиц.

70. Две небольшие муфточки массами m ₁=0,10 кг и m ₂=0,20 кг движутся навстречу друг другу по гладкому желобу, изогнутому в виде окружности, с постоянными нормальными ускорениями а ₁=3,0 м/с² и а ₂=9,0 м/с². Желоб расположен на горизонтальной поверхности. Найти нормальное ускорение составной муфты, образовавшейся после столкновения.

71. Металлический шарик массой m падает на металлическую горизонтальную поверхность. В момент столкновения скорость шарика равна u и направлена под угломaк нормали. Столкновение абсолютно упругое. Определить модуль изменения импульса шарика, если: а) поверхность неподвижна; б) поверхность движется со скоростью u ₁навстречу шарику вдоль нормали.

72. Тело массой1 кгброшено под углом к горизонту. За время полета его импульс изменился наΔ p = 10 кг м/с. Определить наибольшую высоту подъема тела.

73.Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью u ₀попадает в брусок, лежащий на гладком полу, и пробивает его насквозь. Масса бруска M, скорость пули после вылета u. Определить скорость движения бруска.

74. Насколько сместится неподвижная лодка массой280 кг, если человек массой70 кгперейдет с ее носа на корму? Расстояние от носа до кормы5 м, сопротивление воды пренебрежимо мало.

75. На гладкой горизонтальной плоскости стоит брусок массой M. К бруску привязана нить длиной L, на конце которой закреплен шарик массой m. В начальный момент нить была отклонена на некоторый угол и отпущена без начальной скорости. Найдите скорость бруска в момент, когда нить проходит через вертикальное положение, зная, что ее угловая скорость в этот момент равнаw.

76. Два груза массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что грузы соприкасаются. Меньший груз был отклонен на угол j = 60° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар считать неупругим, грузы считать точечными.

77. В шар массой М = 1 кг, подвешенный на длинной нерастяжимой нити, попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью u = 500 м/с и застревает в нем. Определить высоту, на которую поднимется шар, если сопротивлением воздуха и массой нити можно пренебречь.

78. Определить кинетическую энергию, вращающегося на токарном станке полого стального цилиндра длиной l = 400 мм. Внутренний и наружный радиусы цилиндра r = 30 мм, R = 50 мм. Частота вращения цилиндра n = 1200 мин ^–1. Плотность стали ρ = 7,8∙10³ кг/м³.

79. Тело массой m = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью u ₀ = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию, которую имело тело в момент удара о землю (сопротивлением воздуха пренебречь).

80. Шарик соскальзывает без трения с верхнего конца наклонного желоба, переходящего в «мертвую петлю» радиусом R. Чему равна сила давления шарика на желоб в верхней точке петли, если масса шарика
0,1 кг, а верхний конец желоба поднят на высоту h=3R по отношению к нижней точке «мертвой петли»?

81. Небольшая шайба после толчка приобретает скоростьu= 2 м/с и скользит по внутренней поверхности гладкого закрепленного кольца радиусомR= 0,14 м. Определить, на какой высотеhшайба отрывается от кольца и начинает свободно падать?

82. Однородный стержень длиной l = 2 м, двигаясь вдоль своей длины по гладкой горизонтальной поверхности, начинает пересекать границу, за которой поверхность становится шероховатой с коэффициентом трения μ = 0,2. Какое расстояние S проедет стержень с этого момента до остановки, если его начальная скорость u ₀= 3 м/с?

83. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два бруска массами m ₁= 400 г и m ₂= 100 г, соединенные недеформированной пружиной. Первому бруску сообщают скорость u ₁= 10 м/св направлении второго бруска. Найдите минимальную скорость этого бруска в процессе дальнейшего движения.

84. Груз массой 5 кг подвешен к потолку на упругом резиновом шнуре жесткостью 500 Н/м. Грузу дважды сообщают начальную скорость, направленную вертикально вверх. В первом случае эта скорость равна 0,5 м/с, во втором – 2 м/с. Во сколько раз максимальная высота подъема груза (отсчитанная от начальной точки) во втором случае больше, чем в первом?

85. Груз массой 2 кг подвешен к потолку на упругом резиновом шнуре. На груз