Контрольная работа №1 – «механика»

Кинематика

Основные законы и формулы

1. Материальная точка – это твёрдое тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

X

Y

Z

Радиус-вектор  – это вектор, определяющий положение материальной точки в любой момент времени в заданной системе отсчёта (рис.1)

 

Рис. 1 – Радиус-вектор

где  единичные векторы направлений; x, y, z – координаты точек.

2. Основная задача кинематики поступательного движения заключается в нахождении явного вида функции

3.Вектор средней скорости материальной точки

,

где  – перемещение материальной точки за интервал времени .

Модуль средней скорости

.

4. Средняя путевая скорость или средняя скорость на всем пути (скалярная величина)

,

где  – путь, пройденный точкой за время .

5. Вектор мгновенной скорости материальной точки

.

- вектор, определяемый производной радиуса-вектора движущейся точки по времени и направленный по касательной к рассматриваемой точке траектории в сторону движения.

Модуль мгновенной скорости

Вектор  можно разложить на составляющие, направленные вдоль координатных осей

,

где ; ;  – проекции вектора скорости на координатные оси.

Модуль мгновенной скорости через проекции

.

6. Закон сложения скоростей

,

где - скорость точки в системе K; - скорость этой точки в системе K ’; - скорость системы K ’ относительно системы K.

Относительная скорость двух тел

и ,

где - относительная скорость первого тела относительно второго; - относительная скорость второго тела относительно первого.

7. Вектор среднего ускорения материальной точки

,

где  – изменение вектора скорости за интервал времени

8. Вектор мгновенного ускорения материальной точки

Направление вектора совпадает с направлением вектора d (приращением вектора скорости за время d t)

Вектор можно разложить на составляющие, направленные вдоль координатных осей

где  – проекции вектора ускорения на оси координат.

Модуль мгновенного ускорения через проекции

9. В случае криволинейного движения ускорение  равно геометрической сумме тангенциальной  и нормальной составляющих (рис.2).

 

,

 

 

Рис. 2 – Полное линейное ускорение

где , определяет изменение вектора скорости по направлению; , определяет изменение вектора скорости по величине.

Модули этих ускорений

; ; ,

где R – радиус кривизны траектории;  – производная модуля скорости по времени.

10. Основная задача кинематики вращательного движения заключается в нахождении явного вида функции ,

где  – угловое перемещение материальной точки, модуль которого равен углу поворота.

11. Вектор средней угловой скорости

где  – приращение угла поворота за промежуток времени .

12. Вектор мгновенной угловой скорости

R

z

Направление векторов  и  (  и  – псевдовектора, направленные вдоль оси вращения) определяют по правилу правого винта (рис. 3).

 

                                                                                              

 

Рис. 3 – Кинематические характеристики вращательного движения

13. Вектор среднего углового ускорения

.

14. Вектор мгновенного углового ускорения

15. Связь между линейными и угловыми величинами:

 путь, пройденный точкой

,

где R – радиус окружности, по которой движется точка;

 скорость точки

;

 тангенциальная составляющая ускорения точки

;

 нормальная составляющая ускорения точки

.

16. Период вращения T равномерно вращающейся точки
() – это время, за которое точка совершает один оборот, то есть поворачивается на угол  радиан

или .

17. Частота вращения n – число полных оборотов в единицу времени

.

Тогда угловая скорость точки связана с частотой вращения соотношением               .

Таблица 1

Основные уравнения кинематики поступательного и вращательного движений

Движение	Поступательное	Вращательное
равномерное	; а) где  – радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в момент времени t;  – радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в момент времени t = 0. б) в координатной форме .	; а) где  – начальное угловое перемещение. б) в проекции на ось вращения Z .
равнопеременное	а) где – начальная скорость. б)в координатной форме . в) . г) в координатной форме	а) где  – начальная угловая скорость. б) в проекции на ось вращения Z .

Примеры решения задач

Пример 1. Движение материальной точки задано уравнением , где А= 4 м/с ,В = – 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость u точки равна нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент времени.

Дано: ; м/с; – 0,05 м/с².

Найти: 1) t ; 2) x; 3) a.

Решение. Материальная точка совершает одномерное прямолинейное движение вдоль оси x, уравнение которого имеет вид

Мгновенная скорость материальной точки – есть первая производная от координаты по времени

Определим момент времени t, в который скорость точки равна нулю:

;

;

;

.

Подставим числовые значения и выполним вычисления

с.

Определим координату в момент времени t = 40 c:

м.

Мгновенное ускорение материальной точки – есть первая производная от проекции скорости на ось x по времени

Выполним вычисления:

– 0,1 м/с².

Ответ: t = 40 c; x = 80 м; а = – 0,1 м/с².

Пример 2. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению  где ; ; . Определить тангенциальное , нормальное  и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени с.

Дано: ; ; ; ; см = 0,2 м; с.

Найти:

Решение. В задаче дано уравнение движения диска в проекции на ось вращения

Возьмем производную от угла поворота по времени и найдем угловую скорость диска

Возьмем производную от угловой скорости по времени и найдем угловое ускорение диска

.

Связь между линейной и угловой скоростями определяется соотношением

u = w R

Тогда линейная скорость диска

u = (B +3 Ct ²) R

Выполним вычисления  для момента времени с:

u = (– 1+3·0,1·10²)·0,2 = 5,8 м/с.

Связь между тангенциальным  и угловым e ускорениями

.

Тогда                           

Выполним вычисления  для момента времени с:

a _t= 6 × 0,1× 0,2 × 10 = 1,2 м/с².

Модуль нормальной составляющей ускорения

.

Произведем вычисления :

 м/с².

Модуль полного ускорения a

Выполним вычисления а:

 м/с².

Ответ:  м/с²;  м/с²;  м/с².

Пример 3. Три четверти своего пути автомобиль прошёл со скоростью , остальную часть пути – со скоростью . Определить среднюю путевую скорость автомобиля?

Дано: u ₁= 60 км/ч; u ₂ = 80 км/ч.

Найти: .

Решение. Средняя путевая скорость тела равна отношению пути к тому промежутку времени, за которое пройден этот путь

.

Весь путь движения автомобиля S целесообразно разделить на два участка  и .

Время движения автомобиля на первом участке равно

,                                  (1)

а на втором участке –

.                                   (2)
Тогда средняя путевая скорость равна

.                                         (3)

Подставив выражения (1) и (2) в формулу (3), получаем

.

Подставим числовые значения и выполним вычисления:

км/ч.

Ответ:  = 64 км/ч.

Пример 4.Под каким углом к горизонту охотник должен направить ствол ружья, чтобы попасть в птицу, сидящую на высоте H на дереве, находящемся на расстоянии l от охотника? В момент выстрела птица свободно падает вниз на землю.

Дано: H; l.

Найти: a.

Решение.

l

A

X

H

Y

α

0

Сделаем рисунок согласно условию задачи (рис.4)

 

 

Рис. 4 – Траектория движения

Запишем уравнения движения:

- свободно падающей птицы

- пули, выпущенной под углом α к горизонту с начальной скоростью u ₀

В момент попадания пули в птицу их координаты равны, тогда

Тогда

.

Искомый угол равен

 

Динамика

Основные законы и формулы

1. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью

2. Основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона)

,

где  – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; N – число сил, действующих на точку;  – производная от импульса материальной точки по времени.

При m = const(масса не зависит от скорости) второй закон Ньютона имеет вид

или ,

где  – вектор ускорения.

3. Основное уравнение динамики в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

, .

    4. Виды сил.

· сила гравитационного взаимодействия материальных точек массами  и , находящихся на расстоянии r друг от друга

где G – гравитационная постоянная.

    Это соотношение справедливо и для тел сферической формы значительно удалённых друг от друга (r – расстояние между центрами этих тел).

· сила тяжести

,

где  – ускорение свободного падения.

· сила упругости

,

где – радиус-вектор, определяющий смещение частицы от положения равновесия. Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня. В соответствии с законом Гука

,

где k – коэффициент упругости; x – величина упругой деформации.

 

· сила трения скольжения

,

где  – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

5. Работа, совершаемая переменной силой на участке траектории L

,

где интегрирование ведётся вдоль траектории L;  – элементарный путь.

6. Работа, совершаемая постоянной силой ( cosa = const)

,

где  – угол между направлениями векторов силы  и скорости

При решении задач следует точно представлять, какая сила F совершает работу, и указывать это в пояснениях к решению.

7. Мгновенная мощность в поступательном движении, или мощность развиваемая силой F в данный момент времени

или

где  – угол между векторами силы  и скорости

    Работа и мощность являются скалярными величинами.

    Механическая энергия системы Е имеет две составляющих, кинетическую (энергию движения) и потенциальную (энергию взаимодействия и взаиморасположения частей механической системы).

Е=Е _к +Е _п.

    В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. В этом суть закона сохранения энергии в механике.

8. Кинетическая энергия материальной точки, движущейся со скоростью , пренебрежимо малой по сравнению со скоростью света с:

или

9. Потенциальная энергия материальной точки, находящейся в однородном поле силы тяжести ( = const):

,

где h – высота материальной точки над уровнем, принятым занулевой для отсчета потенциальной энергии; g – ускорение свободного падения.

    Данная формула применима и для расчета потенциальной энергии протяженных тел, в этом случае h – высота центра масс тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.

10. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

11. Закон сохранения импульса замкнутой системы – импульс замкнутой системы частиц не меняется со временем, т.е. остается постоянным.

или

где N – число материальных точек, входящих в систему.

12. Момент инерции относительно неподвижной оси вращения:

материальной точки

где m_i – масса материальной точки; r_i – расстояние от неё до оси вращения;

системы материальных точек

где  – масса i -ойматериальной точки;  – расстояние от этой точки до оси вращения;

твердого тела

,

где d m и d V – масса и объём элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси Z;  – плотность тела в данной точке.

16. Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси

,

где  – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс; m – масса тела; a – расстояние между произвольной осью и параллельной осью, проходящей через центр масс тела.

Таблица 2

Моменты инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы относительно их геометрических осей вращения

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему
тонкое кольцо, труба радиусом R и массой m	Ось симметрии
сплошной однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Ось симметрии
однородный шар массой m и радиусом R	Ось проходит через центр шара

17. Момент силы  относительно точки О равен векторному произведению векторов и

,

где  – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы (рис. 5).

О

А

d

Модуль момента силы

,

где d – плечо силы (величина, равная кратчайшему расстоянию от точки О до линии действия силы).Рис. 5 – Момент силы

 

18. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z

,

где  – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси Z;  – проекция угловой скорости твёрдого тела на ось Z.

19. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки О

,

где  – момент импульса твёрдого тела;  – результирующий момент внешних сил.

В проекции на ось Z

,

где  – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси Z;  – проекция углового ускорения твёрдого тела на ось Z.

20. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы, когда результирующий момент внешних сил равен нулю ():

или проекция результирующего момента сил равна нулю

где  – момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси Z;  – угловая скорость относительно неподвижной оси Z.

21. Работа внешних сил при вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси Z

где  – угол, на который поворачивается тело за время t;  – проекция вектора момента силы на ось Z.

22. Работа постоянного момента силы

23. Мгновенная мощность во вращательном движении

24. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z:

,

где I_z – момент инерции тела относительно оси Z;  – угловая скорость тела.

25. Кинетическая энергия плоского движения, когда ось вращения проходит через центр масс системы (тела)

,

где I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс;  – линейная скорость центра масс.

    Плоское движение - это движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях.

26. Приращение кинетической энергии

где  – работа всех сил, действующих на тело.

27. Убыль потенциальной энергии в поле консервативных сил

где  – работа сил поля.

Консервативными называются силы соответствующие двум условиям:

- работа консервативных сил не зависит от пути перехода из одного состояния в другое, а определяется только начальным и конечным положениями рассматриваемой системы;

- работа консервативных сил на замкнутом переходе равна нулю.

28. Приращение полной механической энергии

где  – работа результирующей всех сторонних сил, то есть сил, не принадлежащих к силам данного поля.

Примеры решения задач

Пример 1. Наклонная плоскость, образующая угол  с плоскостью горизонта, имеет длину . Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время . Определить коэффициент трения  тела о плоскость.

Дано: ; м; с.

Найти:

a

X

Y

a

Решение. Изобразим силы, действующие на тело (рис. 6).

 

     

 

Рис. 6 –Наклонная плоскость

На рисунке  – сила тяжести,  – сила нормальной реакции опоры,  – силатрения. Так как все силы, действующие на тело постоянные, то и его ускорение будет постоянным, а движение равноускоренным.

Для решения задачи используем второй закон Ньютона (в инерциальной системе отсчета):

а) в векторной форме

б) в проекциях на координатные оси

в проекции на ось X: ;

 в проекции на ось Y:

Составим систему уравнений

                                    (1)

Выразим F _тр из системы уравнений (1):

                         (2)

Решив систему уравнений (1), с учетом F _тр = m N найдем коэффициент трения

             (3)

В случае равноускоренного поступательного движения координата x изменяется по закону

Так как по условию , то путь пройденный телом
S = x – x ₀:

Откуда

                   (4)

Подставим (4) в (3), получим

Выполним вычисления

Ответ:

Пример 2. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где рад; В = 16 рад/с; С = 2 рад/с². Момент инерции маховика равен50 кг м². Найти законы, по которым изменяются вращающий момент и мощность. Чему равна мощность в момент времени с.

Дано: ; рад; ; ;
I = 50 кг∙м².

Найти: (t = 3 с).

Решение. Маховик вращается согласно закону

.

Мгновенная мощность

.

Определим выражение для угловой скорости, как производную от функции j(t)

Определим выражение для углового ускорения, как вторую производную от функции j(t)

Выполним вычисление :

рад/с; рад/с²= const.

Законы, по которым меняются:

 

а) вращающий момент        ;

б) мгновенная мощность   

Выполним вычисления:

Н∙м,

Вт.

Ответ: N = 5600 Вт.

Пример 3. Горизонтальная платформа массой кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой . Человек массой  стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью  начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – материальной точкой.

Дано: кг;  кг;  мин ^–1= 0,13 с ^–1.

Найти:

Решение. Человек и платформа (рис. 7,8) составляют замкнутую механическую систему, поэтому можно воспользоваться законом сохранения моментаимпульса. Рассмотрим его  относительно неподвижной оси Z:

или

Рассмотрим два случая:

а) человек на краю платформы

б) человек в центре платформы

Z m 2 ⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒ Поделиться с друзьями: Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим... Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)... Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу... Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...  © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы! 0.255 с.