Операции во временной области

Свертка – это математическая операция, которая двум функциям ставит в соответствие определенным образом вычисленную третью.

 

 

 Свертка играет ключевую роль в электротехнике, так как с ее помощью описывается реакция линейной системы на входное воздействие, а также в сейсмике, поскольку в очень широком диапазоне условий земная толща ведет себя как линейная система.

                                                                                                      

Физический смысл свертки:

Свертку можно рассматривать как суперпозицию сдвинутых копий функции импульса сейсмического источника, умноженных на значения последовательных отсчетов коэффициентов отражения.

Система (среда) является предметом изучения.

Свойства свертки:

-линейность

-стационарность (не изменяется по времени)

Функция источника:

Уравнение для свертки в дискретном виде:

Последовательность, задающая входное воздействие (сигнал) - , где

Последовательность, задающая характеристику среды - ,где

Последовательность, обозначающая сейсмическую трассу - , где

 

Пример:

Даны импульсная характеристика и сигнал . Сделать их свертку.

	1	0	0,5
0,5	1				1
	0,5	1			0,5
		0,5	1		0,5
			0,5	1	0,25

Свертка .

 

Сверточная модель трассы

Свертку можно рассматривать как суперпозицию сдвинутых копий функции , умноженных на значения последовательных отсчетов .

В сейсморазведке функцию  обычно интерпретируют как зондирующий импульс сейсмического источника, а  – как временную последовательность, связанную с распределением акустических жесткостей в среде. Вариации значений акустической жесткости приводят к образованию отражений, возвращающихся к поверхности земли. Функцию называют поэтому последовательностью коэффициентов отражения. Результат свертки обозначает сейсмическую трассу.

Используется модель среды, удовлетворяющая следующим условиям:

- слои горизонтальны;

- свойства постоянны;

- падает плоская волна;

- нормальное падение волны.

Формула для коэффициента отражения:

Выполняя операцию свертки коэффициентов отражения с исходным сигналом, получаем трассу:

 

Функция взаимной корреляции (ВКФ)

Взаимно-корреляционные функции используются для количественной оценки подобия между двумя временными рядами как функции временного сдвига между ними.

 

 

 

Пример:

Даны две последовательности и . Посчитать ВКФ.

				2	0	1	0	0						T
0	0	2	0	1									2	-4
	0	0	2	0	1								0	-3
		0	0	2	0	1							5	-2
			0	0	2	0	1						0	-1
				0	0	2	0	1					2	0
					0	0	2	0	1				0	1
						0	0	2	0	1			0	2
							0	0	2	0	1		0	3
								0	0	2	0	1	0	4

ВКФ , анализ ВКФ показывает, что функции на сдвиге максимально коррелируют друг с другом.