Предсказывающая деконволюция

Желаемый результат третьего типа (сдвинутая во времени форма входной последовательности) предполагает процесс прогнозирования. При данном входном  мы хотим предсказать его величину в некотором будущем времени , где  – задержка предсказания.

Рассмотрим пятиточечную входную временную последовательность и зададим интервал предсказания

 

1) АКФ:

 

ВКФ (вх-вых):

 

 

2) Записываем уравнение в матричном виде. Ищем – фильтр предсказания.

 

3) Свертка фильтра предсказания с входной последовательностью с целью расчета действительного результата:

4) Рассчитываем последовательность ошибок предсказания:

Последовательность  называется фильтром предсказания ошибок. При применении на входной последовательности, этот фильтр дает последовательность ошибок в процессе предсказания.

 

 

Связь предсказывающей деконволюции и деконволюции сжатия:

Рассмотрим специальный случай единичной задержки предсказания

Прибавив правую часть к левой, получим:

Добавим одну строку и сместим знак “-“ в матрицу, состоящую из одной колонки, которая представляет коэффициенты фильтра:

где . Имеются 6 неизвестных и 6 уравнений. Решение этих уравнений дает фильтр предсказания ошибки с единичной задержкой .

Перепишем уравнение:

где За исключением коэффициента Ламе , это уравнение имеет такую же форму, что и уравнение, которое дает коэффициенты для обратного фильтра с нулевой задержкой, действующего по принципу наименьших квадратов. Этот обратный фильтр представляет собой то же самое, что и фильтр предсказания ошибок с единичной задержкой предсказания (кроме коэффициента Ламе). Следовательно, деконволюция сжатия представляет собой специальный случай предсказывающей деконволюции с единичной задержкой предсказания.

Блок-схема предсказывающейдеконволюции, использующей фильтры предсказания:

Блок-схема предсказывающей деконволюции, использующей фильтры предсказания ошибок:

 

Двумерное преобразование Фурье

Двумерный вариант дискретного преобразования Фурье получается из одномерного преобразования путем распространения его на случай двух независимых переменных. Ими могут быть две пространственные переменные или, что бывает гораздо чаще, одна временная переменная и одна пространственная.

 

Обратное двумерное преобразование Фурье:

Двумерное преобразование Фурье в дискретном виде:

Пусть  – двумерный временной ряд, где Двумерное преобразование Фурье этого ряда определяется выражением

где И обратное преобразование – выражением:

где

Для двумерного преобразования Фурье существуют простые аналоги свойств, как и для одномерного случая. Например, свойство периодичности имеет вид:

Рассматривая как матрицу, двумерное дискретное преобразование Фурье можно вычислять, выполняя сначала одномерное преобразование по всем строкам и затем по всем столбцам. Тот же самый результат получается, если выполнять одномерное дискретное преобразование Фурье вначале по столбцам.

Двумерная фильтрация

В сейсмике чаще всего приходится иметь дело с двумерными преобразованиями, у которых одна координата временная, а другая пространственная. Соответствующую область частот обычно называют - плоскостью, где - временная и - пространственная частоты.

Двумерная фильтрация – это распространение на двумерный случай одномерной фильтрации. Например, двумерная свертка эквивалентна перемножению двумерных спектров. Таким образом, двумерную фильтрацию можно реализовать, если построить подходящий спектр фильтра в двумерной частотной области и умножить его на двумерное преобразование Фурье входных данных.

Фильтрация в - области привлекательна тем, что в отличие от одного измерения, где сигнал и помеха могут перекрываться, делая одномерную фильтрацию неэффективной, в двух измерениях они обычно не перекрываются по и одновременно.

Рассмотрим следующую двумерную функцию:

где – постоянные коэффициенты, задающие прямую в плоскости с тангенсом угла наклона .

Делаем двумерное преобразование Фурье:

, где

При :

В пределе получаем, что вся энергия концентрируется вдоль прямой .

Это и есть желаемый результат. Коэффициент с определяет только фазу сигнала.

На рисунке показаны некоторые прямые и их двумерные спектры в том виде, как они обычно изображаются в сейсмике ( меняется от нуля до временной частоты Найквиста и меняется от до , где  – пространственная частота Найквиста). Поскольку коэффициент входит только в фазу двумерного спектра, прямые В и С отображаются на - плоскости в одну и ту же прямую линию. Все такие прямые в - плоскости проходят через начало координат. Кроме того, крутым наклонам в - области (т.е. большим значениям ) соответствуют пологие наклоны на - плоскости (малые значения ).

Наклонная прямая в - области (эквивалентной ) отображается в наклонную прямую  на плоскости .

Эти уравнения дают связь между временной и пространственной координатами, из которой скорость можно определить как , где  – фазовая (кажущаяся) скорость.

Поскольку наклонная прямая в области переходит в наклонную прямую на плоскости , прямолинейные оси синфазности в заданном диапазоне наклонов можно подавить с помощью фильтра, двумерное преобразование Фурье которого равно нулю в интервале между соответствующими наклонами на - плоскости и единице вне его. Такой фильтр обычно называют веерным.

- фильтрация используется, в особенности, при обработке скважинной сейсморазведки (метод ВСП). В наземной сейсморазведке такая фильтрация используется для подавления поверхностных волн.

Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье.Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Пусть  – функция двух действительных переменных, определенная на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности. Тогда преобразованием Радона функции  называется функция:

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл – это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору и проходящей на расстоянии от начала координат.

Преобразование можно записать и в другом виде, записывая уравнение прямой в виде . Тогда преобразование Радона выглядит:

Когда ,

Связь преобразования Радона (ПР) с преобразованием Фурье (ПФ):

Таким образом, одномерноепреобразование Фурье от преобразования Радона для функции есть не что иное какдвумерноепреобразование Фурье от функции .

Преобразование Радона, главным образом, используется в медицине (компьютерная рентгеновская томография). Иногда ПР применяют в геофизической томографии.

Также существует гиперболическое преобразование Радона:

Основная техническая проблема преобразований Радона – их неустойчивость. Для ее решения применяют алгоритмы регуляризации: наименьших квадратов и «высокоразрешающий».

Способы удаления кратных волн:

1) методы, использующие периодические свойства кратных волн (предсказывающая деконволюция);

2) методы, использующие кривизну годографов кратных волн ( - фильтрация, преобразование Радона);

3) продолжение волнового поля;

4) SRME.

Факторы, влияющие на амплитуду:

1) поглощение;

2) рассеяние;

3) расхождение;

4) потери энергии при прохождении границ.

Сферическое расхождение

Затухание амплитуды с удалением от источника происходит по следующим законам:

для поверхностной волны - ;

для головной волны - ;

для остальных типов волн - ;

Для компенсации сферического расхождения можно использовать масштабный множитель , пропорциональный :

 (для среды с постоянной скоростью)

Если рассматривать случай слоистой среды с переменной скоростью и с учетом преломления, в качестве должна использоваться среднеквадратичная скорость  :

Обычно, амплитудный уровень сейсмических записей требуется сделать всюду примерно одинаковым. Кроме того, при контроле качества обработки необходимо приводить записи к динамическому диапазону, пригодному для их визуализации.

Способы восстановления амплитуды:

1) усиление;

2) компенсация за сферическое расхождение;

3) АРУ.

Разнообразные процедуры выравнивания амплитуд можно разделить на две категории:

1) Выравнивание, не зависящее от данных.

Это такие процедуры, в которых ко всем трассам применяется одна и та же масштабирующая кривая, полученная осреднением по большому массиву данных. Таким образом, масштабный множитель каждого конкретного отсчета не зависит ни от его собственного значения, ни от среднего значения соседних отсчетов.

2) Выравнивание, зависящее от данных.

Когда вариации амплитудного уровня велики и непредсказуемы, выравнивание записи путем умножения на единую для профиля масштабирующую функцию может оказаться недостаточным. В этом случае целесообразно применять индивидуальные масштабирующие функции потрассно. Процедуры выравнивания амплитудного уровня, в которых каждый отсчет записи умножается на масштабный коэффициент, величина которого определяется значениями в окрестности данного отсчета, объединяют общим названием автоматическая регулировка усиления (АРУ).

Процедуры выравнивания, не зависящие от данных, используют с целью сохранения амплитуд для дальнейшего AVO-анализа. А процедуры, зависящие от данных, преимущественно применяют на заключительной стадии обработки, поскольку они приводят к нивелированию важных для стратиграфической интерпретации горизонтальных аномалий амплитуд и некоторому снижению сигнал/помеха.

 

Типы скоростей:

• Истинная скорость соответствует бесконечно малому объему породы и определяется как скорость, с которой волна пробегает заданный бесконечно малый объем породы. Истинная скорость является функцией координат пространства, занятого породой, и может быть достаточно изменчивой для одного и того же типа пород;

• Кажущаяся скорость - скорость распространения волны вдоль линии наблюдений;

• Пластовая скорость является частным случаем средней скорости и относится к слоистой толще, в которой средняя скорость близка к истинной в подавляющем большинстве ее слоев. Такую толщу можно считать в среднем однородной и выделить ее в качестве сейсмического пласта;

• Интервальная скорость также является частным случаем средней скорости и относится к заданному интервалу глубин;

• Эффективная скорость – это скорость, вычисленная при определенных допущениях по годографу отраженных волн. Большинство способов вычисления эффективной скорости предполагает покрывающую толщу однородной, отражающую границу – плоской. В слоистой среде значения эффективной скорости выше значений средней скорости, и чем большей длины годограф отраженной волны используется, тем больше различие;

• Эффективная скорость O Г T определяется по годографу ОГТ, ее значение зависит также от угла наклона отражающей границы;

• Скорость, вычисленную по этой формуле, называют среднеквадратичной скоростью: ;

•  – скорость при суммировании;

• Граничная скорость является скоростью, с которой про­ходящая волна, образующая преломленную, распространяется в тон­ком пласте вдоль преломляющей границы (). Знак равен­ства возможен только для случая однородных пластов.

Формула Дикса:

Позволяет вычислить пластовую (интервальную) скорость для интервала разреза, заключенного между двумя отражающими границами, если известны эффективные скорости покрывающих их толщ

Рассмотрим среду, состоящую из горизонтальных слоев с равными скоростями. Каждый слой имеет определенную мощность, которая может быть определена в единицах полного вертикального времени. Слои характеризуются интервальными скоростями.

Формула для годографа отраженной волны от первого слоя:

где

Разложим в ряд :

Имеем:

Хотим получить:

 

Рассматривая траекторию от источника до глубинной точки и до сейсмоприемника , ассоциированную с выносом xпри положении средней точки , Tanerи Koehler(1969) вывели для этой траектории уравнение времени пробега:

где  - сложные функции, которые зависят от мощности слоев и от интервальных скоростей.

Среднеквадратичная скорость до отражающей поверхности, на которой расположена глубинная точка , определяется как:

где  - вертикальное полное время пробега через i-ый слой, а .

Выполнив аппроксимацию короткой расстановкой (вынос мал по сравнению с глубиной), получаем уравнение:

Таким образом, скорость, требуемая для поправки за нормальное приращение в горизонтально-слоистой среде, равна среднеквадратичной скорости, при условии, что выполнена аппроксимация короткой расстановкой.

Ошибка, вызываемая опусканием элементов более высокого порядка в уравнении, невелика. Так как на больших удалениях (обычно более 3 км) можно видеть, что времена пробега незначительно различаются для неглубоких отражений. Опустив элементы более высокого порядка, мы аппроксимируем времена отражения в горизонтально-слоистой среде гиперболой короткой расстановки.

Скоростной анализ

Скоростной анализ представляет собой процесс получения информации о скоростях геологического разреза.

Методы определения скоростей:

1) Переход в квадратичные координаты ( . Чтобы найти скорость суммирования сигнала, точки, соответствующие этому сигналу, соединяются прямой линией. Обратная величина наклона (углового коэффициента) – квадрат скорости суммирования. На практике для определения угловых коэффициентов можно использовать аппроксимацию методом наименьших квадратов. Скоростной анализ  – это надежный способ оценки скоростей суммирования. Точность метода зависит от отношения сигнал/помеха, которое влияет на количество пикинга.

2) Метод разверток постоянной скорости выборки ОСТ (CVS). В этом методе скорости суммирования оцениваются по данным, суммированным по нескольким постоянным скоростям на основе амплитуды выдержанности суммированного сигнала. В разрезе, скорости изменяются в широких пределах. При выборе диапазона скоростей нужно учитывать тот факт, что сигналы от наклонных отражающих поверхностей и полезные сигналы, смещенные от плоскости наблюдения, могут иметь аномально высокие скорости суммирования. При выборе шага между постоянными скоростями следует помнить, что основой для оценки скорости является приращение, а не скорость. Метод CVSособенно полезен на участках со сложным строением, позволяя интерпретатору непосредственно выбирать сумму с лучшей выдержанностью сигнала. Суммы постоянных скоростей часто содержат много трасс ОСТ и иногда состоят из всего профиля.

3) Метод спектра скоростей. Он основан на взаимной корреляции трасс в выборке ОСТ, а не на выдержанности суммированных сигналов в латеральном направлении. Данный метод больше подходит для данных, где имеется проблема кратных отражений и является менее подходящим для случая сложного строения.

Спектр скоростей может не только представить функцию скоростей суммирования, но и позволяет различать первичные и кратные отражения. Величина, изображенная на спектрах скоростей – это суммарная амплитуда. При малом отношении сигнал/помеха суммарная амплитуда может не иметь достаточную величину. Цель скоростного анализа состоит в получении точек, которые соответствуют лучшей когерентности сигнала вдоль гиперболической траектории по всей длине расстановки выборки ОСТ.

Кинематические поправки

Отраженная от границ волна подходит к приемникам в моменты времени, зависящие от удаления приемника от источника. Эти временные задержки корректируются таким образом, чтобы времена прихода отраженной волны на всех трассах стали одинаковыми и равными двойному времени пробега, которое наблюдалось бы на трассе с нулевым удалением (т.е. при совмещенном положении источника и приемника):

Нежелательный побочный эффект ввода кинематических поправок проявляется в растяжении сейсмического сигнала. В результате ввода этих поправок все дельта-импульсы, соответствующие коэффициентам отражения, должны сдвинуться на свои правильные времена для нулевого удаления. Величина требуемого сдвига непрерывно меняется от отсчета к отсчету вдоль трассы в соответствии с формулой расчета кинематической поправки. На реальных трассах вместо дельта-импульсов присутствуют сейсмические волновые импульсы, в отсчеты которых при вводе кинематических поправок вводятся разные временные сдвиги. В результате форма импульса искажается.

Этот эффект становится ярко выраженным при большой скорости изменения кинематической поправки и обычно проявляется на больших удалениях и малых временах. Для борьбы с такими деформациями сигнала используют мьютинг – исключение при суммировании начальных участков трасс с большими удалениями.

 

Моделирование

Моделирование представляет собой исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. В нашем случае моделирование – это решение прямой задачи сейсморазведки.

Задачи моделирования:

· планирование съемки;

· подавление кратных волн;

· привязка скважинных данных к наземной сейсморазведке;

· оценка качества применения обрабатывающих процедур.

Моделирование разделяется по:

· размерности: 1D, 2D, 3D;

· полученному результату: кинематическое, динамическое;

· точности: точное, приближенное (в свою очередь точное делится на численное и аналитическое).

Виды моделирования в сейсморазведке:

· конечно-разностное;

· лучевое.

Рассмотрим примеры задач лучевого 1D моделирования. Обычно 1Dмоделирование используется для увязки скважинных и наземных данных.

1) 1D приближенное кинематическое моделирование.

Целью такого моделирования является построение годографов всех возможных волн (в основном интересуют отраженные), а также лучевых траекторий обменных волн, рассматривая 1D модель среды (свойства среды изменяются только по вертикали). Такая задача решается либо расчетом отражений через среднеквадратичные скорости, либо методом «пристрелки», позволяющим моделировать прямую, головную и отраженную волны.

2) 1D приближенное динамическое моделирование.

Целью этого моделирования является не только информация о времени прихода волны, но и ее амплитуда. Для того чтобы вычислить амплитуды, нужно знать функцию источника.

Задав импульс источника, ищем амплитуду в точке выхода луча. На значение амплитуды влияют: геометрическое расхождение, коэффициенты отражения и преломления.

Геометрическое расхождение рассчитывается по формуле:

Чтобы учесть фактор геометрического расхождения, искомую амплитуду нужно умножить на значение .

Таким образом, сейсмотрасса принимает вид:

, где включает значения коэффициентов отражения и преломления.

Можно записать и через потенциалы:

,

где  (интеграл Зомерфильда)

 – потенциал отраженной волны,

 – угол зеркального отражения,

 – функция Бесселя,

 – коэффициент отражения.

Неоднородные волны

Плоскими неоднородными волнами называются волны, у которых плоскости равных фаз и равных амплитуд не совпадают. Неоднородные волны могут возникать при отражении и преломлении волны, падающей на границу двух сред. Наиболее изучены неоднородные волны, возникающие в изотропной среде при полном отражении. Однако они могут возбуждаться на границе двух сред и другим образом, например упругими волнами за счет пьезоэффекта (если одна из граничных сред - пьезоэлектрик). Поскольку обычно энергия неоднородных волн локализована вблизи граничной поверхности, их в ряде случаев называют также поверхностными волнами. Неоднородные волны обладают по сравнению с однородными волнами значительно более сложными свойствами.

Неоднородные волны имеют две основные особенности:

- у них комплексное волновое число;

- они не геометрические.

 

2 D приближенное динамическое моделирование (лучевой подход)

Схема моделирования аналогична схеме для 1D случая с той разницей, что добавляется изменение свойств по латерали. Уравнения такого моделирования записываются в систему (параметрическое уравнение луча):