Глава 79. Математическое моделирование обработки заготовки при помощи аналитических решений

Определив форму и размеры заготовки по описанной ранее методике (например, в первом приближении), приступаем к математическому моделированию обработки этой заготовки. Как мы уже отмечали, существует много способов обработки заготовки. Теоретическое исследование (математическое моделирование) и расчет практически важных (технологических) параметров обработки заготовки многими способами, как правило, основаны на применении теории упругости и теории пластичности. Даже обработка материала резанием исследуется при помощи теории пластичности. А вычислительные эксперименты по таким способам, как прокатка, прессование, ковка и штамповка проводятся только на базе теорий упругости и пластичности, которые мы также будем применять в данной книге.

Для теоретического исследования (математического моделирования) обработки заготовки сначала необходимо принять определенные допущения и выбрать математическую (расчетную) модель заготовки, которая: с одной стороны, должна в наибольшей мере соответствовать реальным условиям обработки заготовки на производстве; а с другой стороны, эта модель должна позволить рассчитать с достаточной точностью практически важные параметры процесса с минимальным временем работы компьютера.

Затем для выбранной расчетной модели необходимо рассчитать деформации и напряжения, которые возникают в заготовке при ее обработке. И только после этого можно рассчитать практически важные параметры технологического процесса обработки заготовки, например такие, как сила воздействия инструмента на заготовку (эта сила является интегральной характеристикой напряжений, возникающих в зоне контакта инструмента и заготовки).

В качестве конкретного примера рассматриваем обработку тонкой плоской металлической заготовки типа кольца (изготовленного, например, резкой листового проката в штампе или на лазерной установке) с размерами (рис. 79.1): наружный диаметр кольца D (радиус R); иногда мы будем применять также обозначение наружного диаметра в виде (радиус ); внутренний диаметр кольца (радиус ); толщина кольца s.

Обработка заготовки заключается в том, что внутренняя поверхность кольца радиуса равномерно перемещается к оси кольца на заданную величину (рис. 79.1). Такая обработка может осуществляться в промышленности, например, с целью: упрочнения (нагартовки) материалана внутреннем контуре для повышения его прочностных характеристик; обжима другой детали типа оси, которая вставляется внутрь данного кольца. В общем случае способ обработки заготовки учитывается в граничных условиях при математической постановке задачи исследования.

Глава 80. Математическое моделирование обработки заготовки при помощи метода ко­нечных элементов

При исследовании обработки заготовки аналитические решения с помощью теорий упругости и пластичности могут быть получены лишь для небольшого числа простых задач; такие примеры были приведены в предыдущей главе. При решении сложных задач (например, упруго-пластических задач с учетом анизотропии и неоднородности свойств заготовки) применяют численные методы, в основном, метод конечных элементов – МКЭ (finite element method - FEM), который включает шаги:

1. Задание исходных размеров и механических свойств заготовки.

2. Разбиение заготовки на конечные элементы, назначение и расчет координат узлов, в которых необходимо определить перемещения.

3. Определение зависимостей между силами и перемещениями в узлах элемента, то есть, вычисление локальных матриц жесткости и вектора узловых сил для каждого конечного элемента.

4. Составление полной системы линейных алгебраических уравнений равновесия, то есть, сборка одной глобальной матрицы жесткости и глобального вектора узловых сил для всех конечных элементов.

5. Изменение системы уравнений с учетом граничных условий в перемещениях и силах.

6. Решение полученной системы уравнений.

7. Определение компонентов напряженно-деформированного состояния (НДС) заготовки.

8. Расчет практически важных параметров технологического процесса обработки заготовки.

Разбиваем срединную поверхность плоской заготовки (например, то же кольцо из предыдущей главы) на треугольные конечные элементы(рис. 80.1, 80.2, 80.3).

Теперь применим аналитические и численные решения задач для кольца и пластины, полученные нами в предыдущих главах, при математическом моделировании сложного процесса изготовления одной из типичных деталей на производстве.