Законы распределения погрешностей с центром D с

 

Для количественной оценки систематической составляющей погрешности измерений D_с и рассеяния случайной погрешности D обычно используются две числовые характеристики случайной величины — математическое ожи­дание М(D) и дисперсия D = s² соответственно:

                                                              

Для оценки величины разброса случайных погрешностей относительно центра, т.е. ширины распределения, на практике используются различные приемы, приводящие к существенно разным результатам. "Предельная", или "максимальная", оценка случайной погрешности теоретически справедлива только для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, треугольного, арксинусоидального и т.п.). Для этих распределений действительно существует такое значение ± D_m, которое ограничивает с обеих сторон возможные значения случайной величины. Однако эти распределения являются лишь теоретической идеализацией. Главным недостатком такой оценки является бессмысленность арифметического суммирования “предельных” значений, так как получаемая сумма может превышать действительные погрешности в несколько раз.

На основании этого вводится понятие квантильных оценок погрешности, т.е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Р_д, как границ интервала неопределенности, на протяжении которого встречается Р_д 100 процентов всех значений погрешности, (1- Р_д)100 процентов общего числа их значений остаются за границами этого интервала.

В теории и практике оценки надежности средств автоматики, электронной и измерительной техники общепринятая доверительная вероятность равна 0.9. Удобней всего доверительную погрешность снабжать индексом, численно равным принятой доверительной вероятности, т.е. писать, например D^0.90 при Р_д =0.9, D^0.95 при Р_д =0.95.

Доверительная погрешность обладает тем уникальным свойством, что для широкого класса наиболее употребительных законов распределения вероятностей только она имеет однозначное соотношение со средним квадратическим отклонением в виде D^0.9 =1.6s вне зависимости от вида распределения. Поэтому при отсутствии данных о виде закона распределения для определения двусторонней доверительной вероятности предписывал использование только Р_д=0.9. Практическое определение D_д сводится к тому, что из всех полученных отсчётов отбрасываются наиболее удаленные от центра, а следовательно, самые ненадёжные отсчёты. Если при переменной n (количество измерений) отбрасывается постоянная относительная доля всех отсчётов, то определяемое по крайним членам оставшегося вариационного ряда значение D_д, в отличии от D_m, с ростом длины n серии отсчётов не возрастает, а стабилизируется и оказывает тем более устойчивым, чем больше объём выработки n, не уступая по простоте определения “максимальному” значению D_m. При этом следует иметь в виду, что по ограниченным экспериментальным данным мы получаем не точные доверительные значения, а лишь их приближённые значения - ОЦЕНКИ. Достоверность квантильных оценок резко повышается с понижением значений Р_д, а при постоянном Р_д - с ростом числа отсчётов n. Поэтому квантильные оценки с большими доверительными вероятностями могут быть найдены только при большом числе отсчётов.

Располагая рядом из n отсчётов и отбрасывая с каждого из концов ряда по n_отб отсчётов, можно определить с доверительной вероятностью, не большей, чем Р_д £ (n-1) / (n+1). Отсюда число отсчётов n, необходимое для определения по экспериментальным данным с заданной вероятностью Р_д, будет не меньшим, чем n ³ (1+Р_д+2n_отб) / (1-Р_д)» [2(1+n_отб)] / (1-Р_д). Для различных значений Р_д и n_отб = 1 приведено ниже:

Р_д.......................... 0.8 0.9 0.95 0.98 0.99 0.995 0.997

n............................20 40 80 200 400 800 1333

Таким образом, по экспериментальным данным легко определить значение D_д лишь с доверительной вероятностью Р_д ³ 0.95 (n = 80), а определение D^0.99 или D^0.997 практически трудноосуществимо (нужно n > 400-1333).

Часто доверительные погрешности рассчитывают, вводя ничем не обоснованное предположение о том, что вид закона распределения погрешностей будто бы точно известен. В частности, используют прием, заключающейся в вычислении по небольшой выборке в 20-30 отсчетов оценки среднего квадратического отклонения s, а затем указывают погрешность с доверительной вероятностью Р_д = 0.997, равную D^0.997 = 3s на основании предположения о нормальности закона распределения. Однако такой прием является не корректным.

Гистограммы

Выборки х _i i =(1,… n), полу­ченные в отдельных измерениях величины х при наличии случайных оши­бок, можно представить на диаграмме в виде столбцов. При построении все выборки х_i, полученные в измерениях, следует расположить на не­больших интервалах шириной Δх, а затем отложить число выборок N (x), по­павших в эти интервалы. Обычно размер интервалов выбирается по правилу:

Δ х = (x_max – x_min)/ n ^1/2, где К= n ^1/2 – число столбцов диаграммы .

Для n < 25 значение Δ х лучше определить по правилу Старджеса (Sturges):      

Δ х = (x_max - x _min)/(1 + 3,3 log n).

Если ширину интервала Δ х выбрать слишком малой, то «огибающая» диаграммы будет сильно изрезанной. При слишком большом значении Δ х «огибающая» оказывается квантованной очень грубо, и форма распреде­ления проступает не так явно.

Можно построить нормализованную диаграмму, откладывая N (x)/ n. Тогда по вертикали указывается относительное число измерений, результаты которых лежат в данном интервале. В этом случае можно утверж­дать, что по оси ординат отложена вероятность попадания результата измерения в данный интервал. Кроме того, можно провести нормализа­цию и по ширине интервала Δ х, откладывая N (x)/(n Δ х). Диаграмму, получающуюся в результате нормализации, обычно называют гистограммой.

Если число выборок п растет, а диапазон х _max — х _min остается в ограничен­ных пределах, как это бывает на практике при измерении всех физических величин, то число интервалов, на которые разбивается этот диапазон, и число столбцов в гистограмме, увеличиваются, тогда как ширина одного интервала Δ х уменьшается. При п -® ∞ огибающая гистограммы переходит в гладкую кривую. Такая (дважды) нормализованная гистограмма является плотностью распределения вероятностей

Или

 

Диаграммы: (а) при правильном выборе ширины интервалов Δ х, на которые разбивается весь диапазон возможных значений х; (b) при слиш­ком больших значениях Δ х; (c) при слишком малых значениях Δ х.

 

Это означает, что f (x) dx есть вероятность того, что значение выборки попадает в интервал между х и х+ dx; отсюда и следует название: плотность распределения вероятности. Из последнего равенства следует, что

Интеграл в этом выражении представляет собой сумму всех вероятнос­тей f (x) dx. Он равен вероятности того, что очередная выборка попадет в первый интервал ширины dx, или во второй, или в третий и т. д. Так как результат измерения должен принадлежать одному из этих интервалов, сум­ма должна равняться 1. Последнее соотношение показывает, что единице равна площадь под плотностью распределения вероятностей (что и достига­ется, главным образом, путем двукратной нормализации). Зная плотность распределения вероятностей, легко найти веро­ятность того, что результат очередного измерения х окажется меньше опре­деленного значения а. Обозначая эту вероятность Р (х < а), получим:

 

Лекция 7: подготовка и пРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

     1. Основные требования и критерии выбора

Перед проведением эксперимента необходимо ответить на вопросы:

- Для чего измерять?  С какой целью проводятся измерения, и в каком виде нужен результат (числовой, допусковый, в виде характеристики)?   

- Что измерять? Какие характеристики (параметры) объекта являются информативными (основными) и насколько они стабильны?   

- Как и чем измерять? Какие могут быть использованы методы и средства?

- С какой точностью измерять? Какая требуется точность, от чего зависят погрешности, как их можно исключить или уменьшить?

- Какой ценой измерять? Каковы общие затраты и можно ли их уменьшить за счет использования специальных методик и инструментальных средств?

Получение необходимой измерительной информации с минимальными материальными и временными затратами требует внимательного подхода к подготовке измерений физических величин.

Цель и задачи измерений необходимо обосноватьв самом начале эксперимента, они в каждом конкретном случае индивидуальны. Даже для простой задачи измерения выходного напряжения генератора могут быть поставлено несколько целей:

- определить средний уровень сигнала;

- сравнить уровень с допустимыми границами;

- оценить максимальное или минимальное значение;

- определить нестабильность уровня и др.

Характер поставленной задачи существенно влияет на ход подготовки эксперимента и выбор всех его компонентов.

Модель объекта выбирается на основании тщательного анализа. При этом рассматриваются информативные, неинформативные и паразитные параметры объекта.Если, например, производится измерение напряжения переменного тока, то необходимо знать форму, спектр, частоту и диапазон возможных значений сигнала. На качество измерений будут влиять нелинейные искажения, помехи и наводки. Предварительные сведения об измеряемой величине могут быть известны при постановке задачи измерений. Так, измеряя напряжение питающей сети переменного тока, мы знаем, что напряжение должно иметь синусоидальную форму, частоту 50 Гц и значение примерно 220 В с допустимым отклонением до 10%.  Реальное отклонение может превышать 20%, допустимые нелинейные искажения 5%, нестабильность частоты 2%. Все это важно при выборе методик и средств измерений.

Отклонение параметров сигнала от заранее установленной модели (в частности, отклонение напряжения сети от синусоидальной формы) может привести к неправильным результатам измерений. Если нет уверенности в адекватности модели, то следует уточнить ее, проведя ряд дополнительных измерений или выбрать СИ, показания которого не зависят от паразитных и неинформативных параметров объекта. При этом нужно учитывать, что модели одного и того же объекта измерений могут быть различными. Выбор той или иной модели диктуется задачами и условиями измерений. Так, измеряя сопротивление резистора, необходимо пользоваться различными его моделями в зависимости диапазона частот тока, протекающего через данный резистор. На высоких частотах следует учитывать влияние собственных емкостей и индуктивностей, а на СВЧ — влияние поверхностного эффекта. Правильный выбор модели позволяет верно трактовать результаты измерений и обеспечивает при прочих условиях необходимую точность.

Выбор метода измерений определяется принятой моделью обьекта и доступными СИ. При выборе метода измерений добиваются того, чтобы погрешность метода измерений, т.е. составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятых модели и метода измерений (иначе, теоретическая погрешность), не сказывалась заметно на результирующей погрешности измерения, т.е. не превышала 30% от нее. Различные методы измерений требуют разных затрат времени на выполнение наблюдений. Поэтому необходимо учитывать и временные зависимости измеряемых величин. Изменения измеряемых параметров модели в течение времени измерения (выполнения цикла наблюдений), как правило, не должны превышать 10 % от заданной погрешности измерения. Если возможны альтернативы, учитывают и экономические соображения: ненужное завышение точности модели и метода измерения приводят к необоснованным затратам. То же относится и к выбору СИ. Таким образом, выбор метода измерений и СИ практически происходит одновременно.

При выборе СИ необходимо учитывать, что рабочие СИ,предназначены для проведения техничес­ких измерений. По условиям применения они могут быть:

— лабораторными, используемыми при научных иссле­дованиях, проектировании технических устройств, медицинских измерениях;

— производственными, используемыми для контроля ха­рактеристик технологических процессов, контроля качества готовой продукции;

— полевыми, используемыми непосредственно при экс­плуатации самолетов, автомобилей, морских судов и т. п.

Выбор СИ определяется измеряемой величиной, принятым методом измерений и требуемой точностью результата измерений (нормами точности). Измерения с применением СИ недостаточной точности могут быть причиной неправильных выводов. Применение излишне точных СИ экономически невыгодно. Учитывают также диапазон изменений измеряемой величины, условия измерений, эксплуатационные качества СИ, их стоимость.

Основное внимание уделяют быстродействию и погрешностям СИ. При этом добиваются выполнения условия:

D_S= D_мод+ D_м+ D_СИ + D_усл+ D_о £ D_д,

где предельные погрешности: D_мод — модели измерений; D_м — метода измерений; D_СИ — средства измерений, D_о — оператора; D_усл — дополнительные погрешности, обусловленные воздействием влияющих факторов условий измерений; D_Д — предельно допускаемая погрешность результатов измерений.

Этот критерий выбора СИ достаточно надежен, но дает завышенную на 20—30 % оценку суммарной погрешности измерения D_S. Если такой запас по точности не допустим, суммирование составляющих D_S следует произвести статистически. Следует также иметь в виду, что даже в области нормальных условий измерений погрешность СИ может изменяться на 35 %.

Рассмотрим основные факторы, которые следует учитывать при выборе СИ:

А. Воздействие СИ на объект. Средство измерений, подключаемое к объекту измерения, может существенно исказить измеряемую величину, что приведет к неверному результату измерения. Так, включая амперметр в измеряемую цепь, мы уменьшаем ток в этой цепи за счет сопротивления самого амперметра или, измеряя температуру некоторого тела с помощью термопары, подключением термопары мы изменяем температурный режим этого тела. Для уменьшения этого влияния необходимо, чтобы мощность, выделяемая на объекте средством измерений, была относительно небольшой.

Ориентировочно относительную погрешность, вызванную потреблением мощности Р_и от измеряемого объекта, можно оценить формулой Р«Р_И/Р, где Р— мощность, выделяемая на объекте измерения. В тех случаях, когда средство измерений выделяет на объекте некоторую мощность (при измерении параметров электрических цепей), также следует оценить влияние средства на измеряемую величину. Например, при измерении малых сопротивлений двойными мостами постоянного тока через измеряемый объект протекает большой ток (5 А и более), что может вызвать нагрев объекта и изменение его сопротивления.

Б. Неполная адекватность принятой модели объекту измерений. Измерительные приборы следует по возможности выбирать такими, показания которых не зависят (или минимально зависят) от неинформативных параметров принятой модели измеряемой величины. В этом случае эксперимент может быть проведен меньшим числом приборов и с большей точностью.

Так, при необходимости измерить действующее значение переменного напряжения лучше выбрать, например, электронный вольтметр действующего значения, а не электронный вольтметр среднего значения, градуированный в действующих значениях. Последний при отличии формы кривой напряжения от синусоидальной дает неверные результаты измерений, для коррекции которых требуютея дополнительные измерения для уточнения модели объекта.

С. Погрешности, вносимые средствами измерений. Составляющими погрешности измерений (часто основными) являются погрешности, вносимые используемыми СИ. Эти погрешности оцениваются по метрологическим характеристикам выбранных СИ. Не следует необоснованно применять СИ высокой точности, что приводит к усложнению и удорожанию эксперимента. Кроме того, при выборе СИ следует учитывать влияние внешних факторов (температуры, электромагнитных и электростатических полей и др.).

Д. Пределы измерений. Для многих измерительных приборов погрешность измерения минимальна на верхнем пределе измерений. Руководствуясь этим, следует выбирать такие пределы измерения, при которых ожидаемые показания прибора будут находиться ближе к верхнему пределу. Например, измеряя напряжение 10 В двумя вольтметрами, имеющими одинаковые классы точности (1,0), но разные верхние пределы (15 и 150 В), получим относительные погрешности измерения, соответственно ± 1.5 и ± 15%.

Е. Частотный диапазон. Выбирая частотный диапазон СИ, необходимо обеспечить неискаженное прохождение сигналов измерительной информации. Для этого частотный диапазон СИ должен быть шире частотного спектра входных сигналов. С другой стороны, с увеличением частотного диапазона возрастают помехи. Поэтому не следует стремиться использовать" СИ с необоснованно широким частотным диапазоном. При заметном влиянии помех наилучшими будут средства, которые при минимальном искажении сигналов измерительной информации максимально отфильтровывают помеху.

Рассмотренный перечень факторов, который необходимо учитывать при выборе СИ, не является исчерпывающим. Он может быть дополнен требованиями быстродействия исключения влияния внешних факторов, оптимального конструктивного исполнения, и т.д. При подготовке эксперимента необходимо учитывать влияние на результаты измерения характеристик средства измерений, указанных в соответствующих НТД.

Следует иметь в виду, что как бы тщательно ни был изготовлен и отрегулирован прибор к моменту выпуска его на приборостроительном заводе, с течением времени в элементах схемы и механизме неизбежно протекают разнообразные процессы старения, и погрешность его неуклонно возрастает. Поэтому нормирование гарантированных в паспорте СИ пределов допускаемой погрешности производится заводом изготовителем с 1,25 - 2,5 - кратным запасом на старение. Такое превышение пределов допускаемой погрешности над фактическим значением погрешности СИ в момент их выпуска из производства или из ремонта является по существу единственным практическим способом долговременной метрологической стабильности средств измерений.

2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ТОЧНОСТИ СИ

До сих пор, говоря об области разброса исходных экспериментальных данных, мы принимали во внимание лишь погрешности средства измерений и неадекватность принятой модели. Но кроме этих двух составляющих разброс данных вызывается еще и невоспроизводимостью от опыта к опыту, или диффузностью, самого исследуемого явления. Поэтому разброс исходных данных (обозначим его оценку D_ид) всегда складывается из трёх составляющих: D₀ - диффузности объекта измерений, D_м - погрешности адекватности модели, D_си - погрешности средств измерений. Эти составляющие, как правило, можно считать некоррелированными, когда . Для рационального выбора погрешности D_си важно её соотношение с суммарной погрешностью объекта и модели: .

При этом возможно три случая.

1. Обычно экспериментатор стремится использовать как можно более точную аппаратуру с D_си £ D₀. При этом результирующий разброс исходных данных будет: , т.е. будет определяться диффузностью объекта.  Таким образом, при D_cи<<D₀ точность измерений не может быть заметно повышена использованием более точных СИ. Единственным путём повышения точности остаётся статистическая обработка многократных отсчётов, поэтому повышение эффективности эксперимента в этом случае может быть достигнуто путём снижения точности используемых СИ, так как они становятся более дешёвыми.

2. При D_си» D₀ погрешность исходных данных составляет:

 

т.е. возрастает всего на 40 % по сравнению с тем, когда D_си << D₀.

3. При D_си >> D₀ погрешность исходных данных полностью определяется погрешностью D_си, так как при этом:

.

Сопоставив между собой все три случая, можно заключить, что для обеспечения наибольшей эффективности эксперимента нет смысла уменьшать случайную погрешность аппаратуры больше, чем до D₀/3. Кроме того, увеличивать объём выборки усреднённых наблюдений имеет смысл только до тех пор, пока величина суммарной случайной погрешности не будет сопоставима с погрешностью адекватности модели исследуемого явления или систематической составляющей погрешности СИ.