Классификация Погрешностей измерений

1. По причинам появления можно выделить следующие погрешности: методические, инструментальные и субъективные.

Методические погрешности обусловлены несовершенством метода измерения, допущений и упро­щений при использовании эмпирических зависимостей и др. Они закладываются и известны на стадии проектирования. Например, погрешность, связанная с ценой деления. Все методические погрешности для приборов данного типа всегда одинаковы. Отличительной особенностью методических погрешностей является то, что они могут быть определены лишь путем создания математической модели или имитационным моделированием измеряемого объекта и не могут быть найдены сколь угодно тщательным исследованием лишь самого измерительного прибора.

Если при проектировании прибора сделаны какие-то допущения, округления, приближения, то они приведут к погрешности уже в уравнении измерения или в статистической характеристике прибора. Например, при измерении мощности методом детектирования подразумевается, что характеристика детектора квадратичная на начальном участке и линейная при больших сигналах. Реальная характеристика отличается от принятой модели.

Методическая погрешность может быть также обусловлена влиянием измерительного устройства на измеряемую величину. Примером может служить погрешность шунтирования, возникающая при измерении напряжения вольтметром. Вследствие шунтирования входным сопротивлением вольтметра того участка цепи, на котором измеряется напряжение, оно оказывается меньшим, чем было до присоединения вольтметра. Поэтому для одного и того же вольтметра, присоединяемого поочередно к разным участкам исследуемой цепи, эта погрешность различна: на низкоомных участках ничтожна, а на высокоомных - может быть очень большой.

Размер этой переменной погрешности не может быть указан в паспорте прибора, и она является методической. Для расчета этой погрешности пользователь должен при каждом конкретном измерении напряжения оценивать сопротивление исследуемой цепи между точками, к которым присоединен вольтметр, т.е. производить дополнительное исследование объекта измерения.

Часто причиной возникновения методической погрешности является то, что, организуя измерения, нередко измеряют или вынуждены измерять не ту величину, которая в принципе должна быть измерена, а некоторую другую, близкую, но неравную ей. Этот прием замены позволяет создавать наиболее простые, надежные и универсальные приборы.

Когда метод уже воплощен в приборе, то его погрешности должны быть изучены, определены и занесены в паспорт. С этого момента, вне зависимости от причин возникновения, погрешности для пользователя могут считаться инструментальными.

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ погрешности обусловлены свойствами средств измерений: неидеальностью составных частей, несовершенством технического процесса изготовления прибора и разбросом параметров элементов. К этим погрешностям относят также погрешности, связанные с влиянием внешних факторов и режима питания.

СУБЪЕКТИВНЫЕ - погрешности, обусловленные влиянием на результаты оператора, снимающего показания (например, погрешность параллакса).

2. По условиям появления погрешности подразделяются на:

СТАТИЧЕСКИЕ (основную и дополнительную);

ДИНАМИЧЕСКИЕ (основную и дополнительную).

Статическая погрешность — это погрешность прибора в установившемся режиме работы.

ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ - погрешность возникшая в неустановившемся режиме измерений. Это добавка к статической погрешности.

Средства измерений могут применяться в нормальных и рабочих ус­ловиях. Эти условия для конкретных видов СИ установлены в стандар­тах или технических условиях.

Нормальным условиям применения средств измерений должен удовле­творять ряд следующих (основных) требований: температура окружаю­щего воздуха (20±5)°С; относительная влажность (65±15)%; атмосферное давление (100±4) кПа; напряжение питающей сети (220±4) В и (115±2,5) частота сети (50±1) Гц и (400±12) Гц. Как следует из перечисленных тре­бований, нормальные условия применения СИ характеризуются диапа­зоном значений влияющих на них величин типа климатических факто­ров и параметров электропитания.

Рабочие условия применения СИ определяются диапазоном значений влияющих величин не только климатического характера и параметров электропитания, но и типа механических воздействий. В частности, диа­пазон климатических воздействий делится на ряд групп, охватывающих широкий диапазон изменения окружающей температуры. В рабочих условиях прибор функционирует и может быть оценена его дополнительная погрешность.

 

Влияющий фактор

Группа

1* 2 3 4 5 6 7** Температура, Т ⁰С min max 10 25 10 35 5 40 -10 40 -30 50 -50 60 -30 70

Max влажность в %

при температуре Т ⁰С

80 20 80 25 90 25 90*** 30 90 30 95 35 90 30

Атмосферное давление

          630…800

   460…800

Напряжение питания

                    220±22V(±10%)

                 

* - соответствует основным мерам измерительных вычислительных устройств;

** - 7 группа для составных частей приборов 5 группы;

*** - вместо 90% при 30 °С можно задать 98% при 25 °С.

     Для вычислительной техники рекомендуется 2 группа, для измерительных приборов — 3 группа, для аппаратуры со специальными свойствами — 4, 5, 6 группы.

Основная — это погрешность в нормальных условиях работы (или номинальных).

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ - часть статистической погрешности, которая обусловлена отклонением условий работы от нормальных. Обычно дополнительная погрешность представлена в виде некой добавки на изменение внешних условий. Например, дополнительная погрешность не более половины основной при отклонении температуры на 10^ОС.

ОСНОВНАЯ СТАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ, в зависимости от причин ее появления, может быть разделена на виды:

- погрешность приближения;

- погрешность от несоответствия параметров СИ или его частей номиналу;

- погрешность от действия внутренних дестабилизирующих факторов.

ОБЩАЯ СТАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ: DY_ст = DY_осн +DY_доп.

ОСНОВНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ - погрешность при номинальных условиях. На нее влияют инерционные элементы: масса подвижных частей, индуктивности, емкости и т.д. При преобразовании тепловых величин (термисторные измерители мощности, калориметрические...) возникает запаздывание установления температуры.

ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ: DY_д = DY_осн +DY_доп.

Полная погрешность DY_П = DY_Д +DY_СТ.

3. По характеру связи между величиной погрешности и уровнем сигнала различают аддитивные, мультипликативные, степенные, периодические и комбинированные (комплексные).

 

 

Dy=a = const — аддитивная погрешность не зависит от величины сигнала;

Dy=bx, b = const — мультипликативная погрешность зависит от сигнала линейно;

Dy=Cx^m, C = const — степенная погрешность (квадратичная, кубическая);

Dy=Asin x — периодическая погрешность;

     В реальных приборах характер погрешности всегда более сложен, поскольку составляющих несколько и DY = a+bx+cx²+dx³+....

4. По размерности различаются погрешности: абсолютная, относительная, приведенная, относительная приведенная погрешности. Понятие относительной погрешности применимо для величин, описываемых шкалами отношений и разностей.

Абсолютная — разность между полученным и истинным значением Dy = y_ИЗМ - y₀ . Выражается в единицах измеряемой величины.

Относительная — отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины d=Dy/y₀ » Dy/y_ИЗМ (используется на практике). Так как найти истинное значение трудно, а абсолютную погрешность оценить можно исходя из паспортных данных на прибор.

Приведенная относительная — d_пр=Dy/y_д. отношение абсолютной погрешности к величине диапазона измерения (y_д — предел измерения или мах значения шкалы). С ней связано понятие класса точности прибора. Он равен наибольшему значению приведенной относительной погрешности выраженной в процентах (К=d_{пр max} 100%).

     На практике погрешности приборов могут формироваться в виде 2-ух или 3-ех-членной формулы.

Предел основной допускаемой погрешности — максимальное значение погрешности прибора, при которой он считается исправным. Эта погрешность не является погрешностью конкретного измерения конкретным прибором. Это диапазон, в котором может лежать погрешность. В НД указывается именно эта погрешность, которую следует учитывать в расчетах как инструментальную.

Рассмотрим формы аналитического выражения и способы нормиро­вания пределов допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности, выраженные в единицах измеряемой величины или условно в делениях шкалы СИ, устанавливают по одной из следующих двух формул:

1) D = ± а;                         2) D = ± (а + bx).               

Пределы допускаемой относительной основной погрешности устанав­ливают как d = ± 100D/ x = ± q, если D = ± а. Здесь q — положительное число. Пределы до­пускаемой относительной основной погрешности задают в виде:

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности устанавливают по формуле d_пр = g = 100D/X_N = ± р, где р — положительное число; Х _N — нормирующее значе­ние, выраженное в тех же единицах, что и абсолютная погрешность D.

Положительные числа q, р, с и d выбираются из ряда предпочтительных чисел: 1×10ⁿ; 1,5×10ⁿ; 2×10ⁿ; 2,5×10ⁿ; 4×10ⁿ; 5×10ⁿ; 6×10ⁿ, где n = 1, 0, -1, -2 и т.д.

Для средств измерений с равномерной, практически равномерной или степенной шкалой значение Х _N  принимают следующим:

- большему из пределов измерений или равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение (нулевая метка) находится на краю или вне диапазона измерений;

- сумме модулей пределов измерений, если нулевое значение внутри диапазона измерения.

Представленные формы записи пределов допускаемой основной по­грешности используются для установления класса точности СИ, которые имеют различные обозначения.

Классы точности измерительных приборов можно обозначают числами с и d (в процентах), разделяя их косой чертой (например, 0,05/0,02).

 

Формула для предельной основной погрешности	Пределы допускаемой основной погрешности, %	Обозначение класса точности
	± p	Класс точности 1,5
		Класс точности

Для разных способов нормирования погрешностей средств измере­ний вычисления погрешностей различны. Рассмотрим характерные слу­чаи.

1. Класс точности прибора указан буквой р. Тогда аб­солютная погрешность результата измерения D = ± p × x _к/100. Пусть класс точности используемого вольтметра 1,0. Проводилось измерение напря­жения в точке х = 1В на пределе измерения х_к = 10В. Тогда относительная погрешность результата измерения

d_пр= ±100× p / x _К = ± 100×1/10 = ±10%.

2. Класс точности используемого вольтметра указан как c/d. В этом случае удобнее вычислить относительную погрешность результата измерения по формуле

,

а затем найти абсолютную погрешность как D = d_пр× х /100.

Пусть класс точности используемого вольтметра c/d =0,02/0,01. Измерялось напряжения в точке х = 2 В на пределе измерения x _к = 10В.

Тогда относительная погрешность результата измерения

,

а абсолютная погрешность напряжения D = ±d_пp× x /100 = ±0,06×2/100 = ±l2×10^-4 B.

В цифровых измерительных приборах аддитивная погрешность определяется погрешностью квантования (по­грешностью дискретности). При плавном изменении входной величины х (например, напряжения в диапазоне 0...5 мВ) цифровой вольтметр с пределом измерения 100 мВ не может дать других показаний, кроме дис­кретных значений 0-1-2-3-4-5 мВ. Поэтому при возрастании величины х от 0 до 0,5 мВ прибор будет показывать x =0. При превышении значения 0,5 мВ цифровой вольтметр даст показания x = 1 мВ и сохранит его до x= 1,5мВ.

5. По закономерности появления при многократных испытаниях погрешности делятся на: СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ, прогрессирующие (дрейфовые) и СЛУЧАЙНЫЕ. Грубой погрешностью (промахом) называют погрешность измерения, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях. Результаты измерений с грубой погрешностью отбрасывают.

Систематические погрешностиостаются постоянными или изменяются по определенному закону при повторных изме­рениях одной и той же величины. Они изменяются по известному закону в зависимости от сигнала и вызывающих причин, т.е. имеют определенное значение в каждой точке характеристики СИ. По характеру изменения во времени систематические погрешности подразделяют на постоянные и временные. Опасность систематических погрешностей заключается в том, что их присутствие чрезвычайно трудно обнаружить. Единственный способ их обнаружения состоит в поверке прибора путем повторной аттестации по образцовым мерам или сигналам.

Возникают, например, при неправильной установке нуля, коэффициента передачи (калибровочного числа), из-за шумов, которые детектируются измерительной схемой, и возникает добавка.

Погрешности возникают при неидеальности амплитудной характеристики преобразователей и могут устраняться специальными приемами измерения. Например, погрешность из-за нелинейности характеристики детектора при измерении коэффициента передачи устраняется методом замещения путем использования регулируемого эталонного аттенюатора (меры).   

ПРОГРЕССИРУЮЩИМИ (или дрейфовыми) называются непредсказуемые погрешности, медленно изменяющиеся во времени. Это погрешности, которые обычно носят характер систематических, но если не учитывать момент измерения, то можно считать ее случайной. Погрешности, как правило, вызываются процессами старения тех или иных деталей аппаратуры.

Если в какой-то момент времени t₀ прибор поверяется, то его систематическая погрешность минимальна, но с течением времени модуль погрешности будет расти (обычно по экспоненте). Если повторить поверку, то можно привести погрешность к исходному значению. Исходя из этого можно выбрать интервал времени в течении которого погрешность не превосходит значения основной допустимой погрешности. В соответствии с особенностями прибора этот интервал можно выбрать меньшим или большим (обычно 1 год).

     Если мы хотим повысить точность измерений необходимо брать прибор сразу после поверки или делать интервал поверки короче.

СЛУЧАЙНЫЕ погрешности возникают в результате совокупного действия различных случайных причин. Они имеют разброс по величине и знаку при многократных испытаниях в одних и тех же условиях. В общем случае случайные погрешности могут иметь систематическую составляющую. В отличие от систематической ее нельзя исключить из результатов измерений, однако ее значение может быть уменьшено в результате специальных способов обработки результатов измерений. Для их описания используют вероятностный подход и законы распределения случайных величин. Среднее значение (математическое ожидание) содержит систематическую погрешность, а разброс значений (дисперсия или среднеквадратическое отклонение - СКО) характеризует случайную погрешность. Систематической погрешностью принято считать разность

DY_сист = M₁{Y_эксп} - Y₀.

 Случайные погрешности описываются условными законами распределения (зависящими от сигнала X или других причин).

Лекция 6: Законы распределения результата измерения

В практике измерений законы распределения могут быть различными, но при анализе погрешностей реальный закон обычно аппроксимируют каким-нибудь более простым законом. Наиболее применимы законы распределения: нормальный; закон распределения Стьюдента; равномерный; арксинусный; дискретный двузначный; а также их композиции (трапециидальный, треугольный и др.)

Например, распределение, при котором с равными вероятностями встречаются только два дискретных значения случайной величины +а и -а, называется дискретным двузначным распределением. Его плотность распределения вероятностей описывается аналитически как:

P(x) = [ d (X-a) + d (X+a)]/ 2, где d -функция Дирака.

Подобное распределение имеют цифровые приборы, показания которых принимают случайные значения в пределах дискрета.

Для описания различных свойств распределений используют параметры законов распределения, называемые моментами. Моменты, найденные без исключения систематической составляющей, называются начальными, а найденные для центрированных распределений, центральными.

Первый начальный момент называется математическим ожиданием. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и относится к параметрам, характеризующим рассеяние отдельных ее значений от центра распределения.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Поэтому для более наглядной характеристики самого рассеяния пользуются корнем квадратным из дисперсии, т.е. действующим значением рассеянием, которое называется средним квадратическим отклонением (сокращенно - СКО) и имеет размерность самой случайной величины.

Третий центральный момент m₃ характеризует асимметрично, т.е. скошенность распределения: когда один спад крутой, а другой пологий. Для симметричных относительно центра распределений он равен нулю. Третий момент имеет размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики асимметрии используют безразмерный коэффициент асимметрии, равный третьему моменту, деленному на куб СКО:   s = m₃/s³.

Четвертый центральный момент характеризует протяженность распределения, а отнюдь не остроту его вершины, как это часто ошибочно указывается. Его относительное значение e=m₄/s⁴ называется эксцессом распределения и для разных законов может иметь от 1 для дискретного двузначного распределения до бесконечности для распределения Коши. Во многих пособиях по теории вероятностей вводится коэффициент эксцесса g₂ = e-3, который для более протяженных распределений, чем нормальное, - положителен, а для менее протяженных (треугольного, равномерного, арксинусоидального) – отрицателен.

Пусть абсолютная погреш­ность результата измерений является случайной и обозначается D. Аналитически случайная погрешность измерений описывается с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики. При такой оценке обычно интересуются вероятностью Р того, что погрешность результата измерений D находится в некотором заданном интервале распределения погрешностей (D_r1, D_г2), где D_г1 и D_г2 — соответственно нижняя и верхняя границы интервала. Записывается данная вероятность как Р (D_r1£D£D_г2). В общем случае 0 £ Р £ 1. Если вероятность Р = 0,6 и выполнено, например, сто измерений, то можно считать, что шестьдесят значений D попа­дают в интервал (D_r1, D_г2).

Для определения значения вероятности Р (D_r1£D£D_г2) необходимо знать закон r(D) распределения случайной погрешности D, называемый плотностью распределения вероятностей (или плотностью вероятно­стей) случайной погрешности D. При известном законе распределения r(D) искомая вероятность определяется по формуле

Для интервала (-¥,¥) всегда вероятность Р (-¥<D<¥)=1. Это условие нормирования плотности рас­пределения вероятностей r(D). Оно означает, что площадь под графиком любой функции r(D) на интервале всех ее значений должна быть равна единице.

Нормальный закон распределения погрешностей. Этот закон применя­ется при выполнении значительного числа измерений, когда большие погреш­ности D появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей, идентичных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова.

Для нормального закона распределения

,

где s — среднеквадратическое отклонение (СКО) погрешности D, ха­рактеризующее точность выполненных измерений (чем меньше s, тем выше точность). Это следует из приведенных ниже графиков для различных значений s. По мере уменьшения s рассеяние случайных погрешностей D относительно центра их распределения, т.е. в данном случае относительно значения D = 0, уменьшается. В теории вероятностей часто используется такой параметр, как дис­персия D, характеризующая рассеяние погрешностей относительно цен­тра распределения. Причем среднеквадратическое отклонение и дисперсия связаны известной в математической статистике формулой .

На графике плотности вероятности для конкретного СКО вероятность численно равна площади S заштрихованной фигу­ры, ограниченной функцией r(D), отрезком оси D от - D _г1 до D _г1 и орди­натами r(-D_r1), r(D_r1). Чем шире заданный интервал погрешностей (-D_r1, D_r1), тем больше площадь S, т.е. больше вероятность попадания случай­ных погрешностей измерений D в этот интервал.

Широкое применение в практической метрологии нормального зако­на распределения объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей (теоремой Ляпунова), утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному во всех случаях, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказыва­ет лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.