Классификации методов моделирования систем

Проблема принятия решении. Поскольку необходимость в методах моделирования возникает при решении каких-либо кон­кретных задач, то для выбора классификации методов вначале рас­смотрим проблему принятия решения.

В любой сфере деятельности человек принимает решения. Од­нако в тех случаях, когда решение задачи базируется на законах физики, химии и других фундаментальных областей знаний, или когда задача может быть поставлена в терминах конкретного клас­са прикладных задач, для которого разработан соответствующий математический аппарат, применять термин "проблема принятия решения" нет необходимости.

Потребность в этом термине возникает в тех случаях, когда за­дача настолько усложняется, что для ее постановки и решения не может быть сразу определен подходящий аппарат формализации, когда процесс постановки задачи требует участия специалистов различных областей знаний. Это приводит к тому, что постановка задачи становится проблемой, для решения которой нужно разраба­тывать специальные подходы, приемы, методы. В таких случаях возникает необходимость определить область проблемы принятия решения (проблемную ситуацию); выявить факторы, влияющие на ее

71

решение; подобрать приемы и мстоды, которые позволяют сформу­лировать или поставить эаяачу таким образом, чтобы решение бы­ло принято.

Поясним процесс принятия решений ^на упрощенном примере - задаче по пере­мещению из одного пункта в другой. Т?"⁰¹'⁰ рода задачи возникают при доставке грузов на предприятие, выпускаемой пр^ДУЩНИ - потребителю, и, наконец, - повсе­дневно перед каждым человеком при nofWe из дома на работу.

В терминах проблемы принятия pevf "" эту задачу можно представить следую­щим образом: задана цель достичь пункта А (или переместить груз из В в А;

имеются возможные средства - путь (дорога), и транспорт (различные транспорт­ные средства передвижения или средс^м Доставки грузов); требуется обеспечить реализацию цели.

Если нет никаких других оговорок, требований, то задачи нет, поскольку безраз­лично, какой маршрут и какие транспорт"¹" средства выбирать. Для того, чтобы возникла необходимость принимать решение (возникла задача), нужно ввести кри­терий (или несколько критериев), отражающий требования к достижению цели. Аналогично нет задачи и в тех случая^, когда ЛПР не может задать требования, сформулировать критерий достижения ц."", или неизвестен набор средств достиже­ния цели, т. е. имеет место задача с нес/^РСДелтяосп.ю. В качестве критерия в рас­сматриваемой задаче можно, например, принять требование осуществить перемеще­ние "за время ”*"или "к такому-то вр^"¹"^1Ф"

Для решения задачи нужно определ""¹' взаимосвязи дели со средствами ее до­стижения, что в данной задаче легко сд^'²"” путем оценки средств (дорога оцени­вается длиной пути L. транспорт - скРРО^-п.” v транспортного средства; в про­стейшем слУ^ - средней скоростью) и установления связей этих оценок с критерием. В данном случае в качестве выРв*"™!. связывающего цель со средствами, можно исп^^-эовать закон движения, который в случае равномерно'¹'⁰¹ прямолинейного движения имеет вид I = L / v, а в общем "ВДе t = f (L, v).

Таким оРР"⁰”¹. Д™ принятия решения, нужно полу­чить выра”'¹™'. связывающее цель со средствами ее достижения ^с помощью вводимых критериев оценки достижимое™ чета и оценки средств (рис. 2. I).

Если та^⁰® выражение получено, то - задача ре­шена: варьиРУ" ^{Jra60 v} при L = const. либо L при v = const, либо •' и Z- одновременно, можно получить вари­анты решен"' ч выбрать из них наиболее приемлемый.

При пос-¹^⁰"" рассматриваемой задачи могут быть учтены не тМЧЕО обязательные, основные, требования, отражаемый ^с помощью критерия, но и дополнитель­ные требования, которые могут выступа"” в качестве ограничений (в данной задаче -это могут быть затраты на создание и™ приобретение средств транспортировки грузов, наличие денежных средств у человека, выбирающего вид транспорта и т. п.). Тогда для решения задачи формирует комплекс соотношений, включающий на­ряду с основным выражением. связыв^ЩИМ цель со средствами, соотношения-неравенства, отражающие ограничения. Такая постановка задачи была предложена Л.В.Канторовичем [2,19] и является оснО”⁰¹* теории оптимизации и нового направ­ления в математике - математического программирования, широко используемого в экономике для задач планирования. В такой постановке выражение, связывающее цель со средствами, устремляют к максимуму или минимуму; выражения, отража­ющие ограничения, представляют собой; ^1(ак правило, неравенства (хотя, в принци­пе, могут быть и равенствами), разр^оотан широкий спектр методов решения

72

^^^^^^^{ш п0 этому HawcHM 0 обычн0 ч}• ^{rra от} -^собенности будут охарактеризованы н.^”^{0 K}P^{aтаo ег0} -^Ж11ые Принципиальные

Таким образом, для приня,^ ^ необходимо получить выражение, связывающее цель ^ средствами ее достижения.-!^ выражения получили в паралл^ возникавших прикладных на­правлениях различные название   д функционирования, кри­терий или ^показатель эффекти^^ целевая или критериальная функция, функция цели и т. п.

Если удается получить выр^^ связывающее цель со сред­ствами, то задача практическ^ „^да решается. Эти выражения могут представлять собой нетс^^ ^ соотношения, подоб­ные рассмотренному, но и бс^ сложные, составные критерии (показатели), аддитивного или 'мультипликативного вида. Конечно, в этом случае могут возникну^ вычислительные сложности, при преодолении которых может ^ ^^ться вновь обратиться к постановке задачи. Однако пол ^ формализованное представ­ление задачи позволяет в даль^^ применять и формализован­ные методы анализа проблемное  ^

Получить такие выражение ^ ^ ^^ ^„ ^во-ляющии связать цель со средс^^ (в рассмотренном примере -закон движения). Если закон известен, то стараются определить ^кономерности на основе статистиче-_:их исследований, или исходя из наи-

элее часто встречающихся на прак-^ке экономических или функциональ­ных зависимостей. Если и это не уда-ег         ,. - гея сделать, то выбирают или разра-

^тывают теорию, в которой содер­жится ряд утверждений и правил, по-"юляющих сформулировать концеп-^ю и конструировать на ее основе

•роцесс принятия решения. Если и те-"'рия не существует, то выдвигается ^'тотеза, и на ее основе создаются ^митационные модели, с помощью ко-^^эрых исследуются возможные вари-

о -              нты решения. В общем виде для ситуаци^ ^„чной сложности м одель фор-

мирования критериальной фун, ^ отображения проблемной ситуации можно представить воспользовавшись многоуровневым представлением типа "слоев" ^.месаровича (рис. 2.2).

В наиболее общем случае i „-,            /  могут учитываться и варьироваться

не только компоненты (средств            ^     ,

' •" ва достижения цели) и критерии (от-

73

ражающие требования и ограничения), но и сами цели, если пер, воначальная их формулировка не привела к желаемому результату т. е. цели неточно отразили потребности ЛПР.

В то же время, при постановке задачи в числе критериев могу^ быть и принципиально неформализуемые. Например, даже в рас. смотренной, казалось бы, простейшей задаче наряду с критерием времени и ограничением по затратам можно учесть и такие, приц. ципиально неформализуемые критерии, как безопасность транспор. тировки грузов для рабочих, удобство приведения в действие тран.

спортно-распределительных устройств или их остановки; такие критерии, как "комфорт".

Например, с учетом -л-ого критерия можно даже при коротких расстояниях в небольшом выигрыше во времени выбрать такси вместо общественного транспорта если конечно, позволяют денежные средства; или при передвижении между населен­ными пунктами иногда лучше выбрать более длинную, но асфальтированную доро. гу. чем более короткую, но ухабистую.

Или можно выбирать транспортное средство с учетом вида груза. Например, i случае скоропортящейся продукции, лучше выбрать более дорогостоящий рефриже­ратор. чем обычный грузовой автомобиль) и т. д.

В этих случаях полностью формализованная постановка задачи оказывается нереализуемой. Возможны и другие реальные ситуа­ции, затрудняющие формализацию критериев или формирование выражения, связывающего цель со средствами.

При решении задач организации современного производства требуется учитывать все большее число факторов различной при­роды, являющихся предметом исследования различных областей знаний. В этих условиях один человек не может принять решение о выборе факторов, влияющих на достижение цели, не может опреде­лить существенные взаимосвязи между целями и средствами; в фор­мировании и анализе модели принятия решения должны участво­вать коллективы разработчиков, состоящие из специалистов раз­личных областей знаний, между которыми нужно организовать взаимодействие и взаимопонимание; а проблема принятия решений становится проблемой коллективного выбора целей, критериев, средств и вариантов достижения цели, т. е. проблемой коллективно­го принятия решения.

Число и сложность подобных проблем, для которых невозмож­но сразу получить критерий эффективности в аналитической форме, по мере развития цивилизации возрастает; возрастает также и цена неверно принятого решения. Для проблем принятия решения харак­терно, как правило, сочетание качественных и количественных ме­тодов. Принятие решений в системах управления промышлен­ностью часто связано с дефицитом времени: лучше принять не са­мое хорошее решение, но в требуемый срок, так как в против­ном случае лучшее решение может уже и не понадобиться. Поэто-74

 

пешение часто приходится принимать в условиях неполной ин-"''ации (ее неопределенности или даже дефицита), и нужно обес-

чить возможность как можно в более сжатые сроки определить "аиболее значимые для принятия решений сведения и наиболее объ-"ктивные предпочтения, лежащие в основе принятия решения.

Для того, чтобы помочь в более сжатые сроки поставить задачу, проанализировать цели, определить возможные средства, отобрать требуемую информацию (характеризующую условия принятия ре­шения и влияющую на выбор критериев и ограничений), а в идеале - получить выражение, связывающее цель со средствами, применя­ют системные представления, приемы и методы системного анализа.

С помощью системного анализа можно обеспечить взаимодействие и взаимопо­нимание между специалистами различных областей знаний, участвующими в поста­новке и решении задачи, помочь исследователям организовать процесс коллективно­го принятия решения. Для реализации этого процесса нужно выбрать методы си­стемного анализа. А для обеспечения возможности сравнения методов и разработки рекомендаций по их выбору в конкретных условиях, нужно принять или сформиро­вать классификацию методов.

Классификации методов моделирования систем. Постановка лю­бой задачи заключается в том, чтобы перевести ее словесное, вер­бальное описание в формальное.

В случае относительно простых задач такой переход осуще­ствляется в сознании человека, который не всегда даже может объ­яснить, как он это сделал. Если полученная формальная модель (математическая зависимость между величинами в виде формулы, уравнения, системы уравнений) опирается на фундаментальный за­кон или подтверждается экспериментом, то этим доказывается ее адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется для решения задач соответствующего класса.

По мере усложнения задач получение модели и доказательство ее адекватности усложняется. Вначале эксперимент становится до­рогим и опасным (например, при создании сложных технических комплексов, при реализации космических программ и т. д.), а при­менительно к экономическим объектам эксперимент становится практическим нереализуемым, задача переходит в класс проблем принятия решений, и постановка задачи, формирование модели, т. е. перевод вербального описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решения. Причем эту состав­ную часть не всегда можно выделить как отдельный этап, завершив который, можно обращаться с полученной формальной моделью так же, как с обычным математическим описанием, строгим и абсо­лютно справедливым. Большинство реальных ситуаций проектиро­вания сложных технических комплексов и управления экономикой необходимо отображать классом самоорганизующихся систем, мо­дели которых должны постоянно корректироваться и развиваться).

75

При этом возможно изменение не только модели, но и метода моде­лирования, что часто является средством развития представления ЛПР о моделируемой ситуации.

Иными словами, перевод вербального описания в формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов ста­новятся неотъемлемой частью практически каждого этапа модели­рования сложной развивающейся системы. Часто для того, чтобы точнее охарактеризовать такой подход к моделированию процессов принятия решений, говорят о создании как бы "механизма" моде­лирования, "механизма" принятия решений (например, "хозяйст­венный механизм", "механизм проектирования и развития пред­приятия" и т. п.).

Возникающие вопросы - как формировать такие развива­ющиеся модели или "механизмы"? как доказывать адекватность моделей? - и являются основным предметом системного анализа.

Для решения проблемы перевода вербального описания в фор­мальное в различных областях деятельности стали развиваться спе­циальные приемы и методы. Так, возникли методы типа "мозговой атаки", "сценариев", экспертных оценок, "дерева целей" и т.п.

В свою очередь, развитие математики шло по пути расширения средств постановки и решения трудноформализуемых задач. Наря­ду с детерминированными, аналитическими методами классической математики возникла теория вероятностей и математическая ста­тистика (как средство доказательства адекватности модели на основе представительной выборки и понятия вероятности право­мерности использования модели и результатов моделирования). Для задач с большей степенью неопределенности инженеры стали привлекать теорию множеств, математическую логику, матема­тическую лингвистику, теорию графов, что во многом стимулирова­ло развитие этих направлений. Иными словами, математика стала постепенно накапливать средства работы с неопределенностью, со смыслом, который классическая математика исключала из объектов своего рассмотрения.

Таким образом, между неформальным, образным мышлением человека и формальными моделями классической математики сло­жился как бы "спектр" методов, которые помогают получать и уточнять (формализовать) вербальное описание проблемной ситуа­ции, с одной стороны, и интерпретировать формальные модели, связывать их с реальной действительностью, с другой. Этот спектр условно представлен на рис. 2. За.

Развитие методов моделирования, разумеется, шло не так по­следовательно, как показано на рис. 2.3 а. Методы возникали и развивались параллельно. Существуют различные модификации сходных методов. Их по-разному объединяли в группы, т. е. иссле­дователи предлагали разные классификации (в основном - для фор-76

 

" мальных методов, что более подробно будет рассмотрено в еде. дующем параграфе). Постоянно возникают новые методы модели­рования как бы на "пересечении" уже сложившихся групп. Однако основную идею - существование "спектра" методов между вер. бальным и формальным представлением проблемной ситуации -этот рисунок иллюстрирует.

Первоначально исследователи, развивающие теорию систем, предлагали классификации систем и старались поставить им в со­ответствие определенные методы моделирования, позволяющие на­илучшим образом отразить особенности того или иного класса, Такой подход к выбору методов моделирования подобен подходу прикладной математики. Однако в отличие от последней, в основу которой положены классы прикладных задач, системный анализ может один и тот же объект или одну и ту же проблемную ситуацию (в зависимости от степени неопределенности и по мере познания) отображать разными классами систем и соответственно различны­ми моделями, организуя таким образом как бы процесс постепен­ной формализации задачи, т. е. "выращивание" ее формальной мо­дели. Подход помогает понять, что неверно выбранный метод мо­делирования может привести к неверным результатам, к невозмож­ности доказательства адекватности модели, к увеличению числа итераций и затягиванию решения проблемы.

Существует и другая точка зрения. Если последовательно менять методы приведенного на рис. 2.3 а "спектра" (не обязательно ис­пользуя все), то можно постепенно, ограничивая полноту описания проблемной ситуации (что неизбежно при формализации), но со­храняя наиболее существенные с точки зрения цели (структуры це­лей) компоненты и связи между ними, перейти к формальной моде­ли.

Такая идея реализовалась, например, при создании программного обеспечения ЭВМ и автоматизированных информационных систем путем последовательного перевода описания задачи с естественного языка на язык высокого уровня (язьи управления заданиями, информационно-поисковый язык, язык моделирования, авто­матизации проектирования), а с него - на один из языков программирования, под­ходящий для данной задачи (11Л/1, ПАСКАЛЬ, ЛИСП, СИ, ПРОЛОГ и т. п.). кото­рый, в свою очередь, транслируется в коды машинных команд, приводящих в дей­ствие аппаратную часть ЭВМ.

В то же время анализ процессов изобретательской деятельно­сти, опыта формирования сложных моделей принятия решений показал, что практика не подчиняется такой логике, т. е. человек поступает иначе: он попеременно выбирает методы из левой и пра­вой частей "спектра""', приведенного на рис. 2.3а.

Поэтому удобно как бы "переломить" этот "спектр" методов пимерно в середине, где графические методы смыкаются с метода­ми структуризации, т. е. разделить методы моделирования систем на abs больших класса: методы формализованного представления систем (МФПС) и методы, направленные на активизацию исполь­зования интуиции и опыта специалистов (МАИС). Возможные клас­сификации этих двух групп методов приведены на рис. 2.3 б. Под­робнее они будут рассмотрены в параграфах 2.2 и 2.3.

Такое разделение методов находится в соответствии с основ­ной идеей системного анализа, которая состоит в сочетании в моде­лях и методиках формальных и неформальных представлений, что помогает в разработке методик, выборе методов постепенной фор­мализации отображения и анализа проблемной ситуации. Возмож­ные варианты последовательного использования методов из групп МАИС и МФПС в примерах методик, приводимых в последующих главах учебника (соответствующие ссылки будут даны), показаны на рисунке сплошной и штриховой линиями.

Отметим, что на рис. 2.3 б в группе МАИС методы располо­жены сверху вниз примерно в порядке возрастания возможностей формализации, а в группе МФПС - сверху вниз возрастает вни­мание к содержательному анализу проблемы и появляется все больше средств для такого анализа. Такое упорядочение помогает сравнивать методы и выбирать их при формировании развива­ющихся моделей принятия решений, при разработке методик си­стемного анализа.

Классификации МАИС и особенно МФПС могут быть разны­ми. На рис. 2.36 приведена классификация МФПС, предложенная Ф.Е.Темниковым [2.11] и подробнее рассматриваемая в следующем параграфе, в котором будут приведены и другие примеры класси­фикаций МФПС.

Необходимо отметить, что предлагаемые названия групп мето­дов более предпочтительны, чем используемые иногда термины - качественные и количественные методы, поскольку, с одной сторо­ны, методы, отнесенные к группе МАИС, могут использовать и формализованные представления (при разработке сценариев могут применяться статистические данные, проводиться некоторые рас­четы; с формализацией связаны получение и обработка экспертных оценок, методы морфологического моделирования); а, с другой стороны, в силу теоремы Гёделя [2.48] о неполноте, в рамках любой формальной системы, сколь бы полной и непротиворечивой она не казалась, имеются положения (соотношения, высказывания), истин­ность или ложность которых нельзя доказать формальными сред­ствами этой системы, а для преодоления неразрешимой проблемы нужно расширять формальную систему, опираясь на содержатель-"ый, качественный анализ.

79

Результаты Гёделя были получены для арифметики, самого фор. мального направления математики, и позволили предположить что процесс логического, в том числе математического доказатедь, ства, не сводится к использованию только дедуктивного метода что в нем всегда присутствуют неформальные элементы мышлепщ В дальнейшем исследования этой проблемы математиками и лощ. ками показали, что "доказательства вовсе не обладают абсолютной не зависящей от времени строгостью и являются только культура опосредованными средствами убеждения".'

Иными словами, строгого разделения на формальные и нефор, мальные методы не существует. Можно говорить только о большее или меньшей степени формализованное™ или, напротив, больше! или меньшей опоре на интуицию, "здравый смысл".²

Специалист по системному анализу должен понимать, что любщ классификация условна. Она лишь средство, помогающее ориенти роваться в огромном числе разнообразных методов и моделей. По этому разрабатывать классификацию нужно обязательно с учеток конкретных условий, особенностей моделируемых систем (процес­сов принятия решений) и предпочтений ЛПР, которым можнс предложить выбрать классификацию.

Следует также оговорить, что новые методы моделирования ч” сто создаются на основе сочетания ранее существовавших классе” методов.

Так, методы, названные на рис. 2.3 комплексированными (ком­бинаторика, топология) начинали развиваться параллельно в рам­ках линейной алгебры, теории множеств, теории графов, а затеи оформились в самостоятельные направления.

Существуют также новые методы, базирующиеся на сочетании средств МАИС и МФПС. Эта группа методов представлеа на рис, 2.3 в качестве самостоятельной группы методов моделирования, обобщенно названной специальными методами.

Наибольшее распространение получили следующие специаль­ные методы моделирования систем:

Имитационное динамическое моделирование (System Dynamics Symulation Modeling).

Предложено Дж. Форрестером (США) в 50-х гг. [2.54, 2.55]³, использует удо& ный для человека структурный язык. помогающий выражать реальные взаимосвязи

 

“яюшие в системе замкнутые контуры управления, и аналитические прсд-" ряия (линейные конечно-разностные уравнения), позволяющие реализовать ^ставл дос исследование полученных моделей на ЭВМ с использованием специали-

У”^^{010 языка DYNAMC>}

Ситуационное моделирование.

Идея предложена Д.А.Поспеловым и реализована на практике Ю.И.Клыковым П С Загадской (см.. например, [2.38, 2.17, 2.21], гл. 7 в [1.49]. Это направление бази-

* ^g на (утображении в памяти ЭВМ и анализе проблемных ситуаций с применени-

— специализированного языка, разрабатываемого с помощью выразительных ятсяств теории множеств, математической логики и теории языков.

Структурно-лингвистическое моделирование.

Подход возник в 70-е гг. в инженерной практике и основан на использовании для реализации идей комбинаторики структурных представлений разного рода, с одной стороны, и средств математической лингвистики, с другой. В расширенном понимании подхода в качестве языковых (лингвистических) средств используются и другие методы дискретной математики (языки, основанные на теоретико-множе­ственных представлениях, на использовании средств математической логики, семио­тики).

Теория информационного поля и информационных цепей (информационный подход к моделированию и анализу систем).

Концепция информационного поля предложена одним из авторов учебника (2, 3.2 -•- 3.6 и др.] и основана на использовании для активизации интуиции ЛПР зако­нов диалектики, а в качестве средства формализованного отображения - аппарата математической теории поля и теории цепей. Этот подход, для краткости названный информационным, поскольку в его основе лежит отображение реальных ситуаций с помощью информационных моделей, рассматривается в отдельной главе (гл. 3), а примеры его применения - в гл, 6, 7.

Подход, базирующийся на идее постепенной формализации задач (проблемных ситуации) с неопределенностью путем поочередно­го использования средств МАИС и МФПС.

Этот подход к моделированию самоорганизующихся (развивающихся) систем был первоначально предложен одним из авторов учебника на базе концепции струк­турно-лингвистического моделирования Q8.4], § 9 в [4.3], § 8.3 в [8]). но в последую­щем стал основой практически всех методик системного анализа. Подробнее под­ход и его использование при разработке методик и языков моделирования рассмот­рен в гл. 8, §§ 8.3, 8.4).

Классификация методов моделирования, подобная рассмотрен­ной, помогает осознанно выбирать методы моделирования и долж­на входить в состав методического обеспечения работ по проекти­рованию сложных технических комплексов, по управлению пред­приятиями и организациями. Она может развиваться, дополняться Конкретными методами, т. е. аккумулировать опыт, накапливаемый ^в процессе проектирования и управления.

81

2.2. Методы формализованного представления систем¹

Классификации МФПС. Математика непрерывно развив” ^. Возникают новые области и математические теории, отмиракп ^^ вливаются в другие устаревающие разделы. Исследование” зя^Уктуры (или, как принято говорить архитектуры) математик” •у симаются многие ученые (см., например, [2.2, 2.14, 2.41, 2.26, 2.45,

-^идр.]).

Несмотря на то, что в практике моделирования широко ис. 'ьзуются теория множеств, математическая логика, математиче. ч лингвистика и другие направления современной математики, tux пор еще не все ученые-математики склонны включать в чис. ^ математических некоторые из этих направлений. Благодаря ра. и •ам французских ученых (публикующихся под псевдонимом чурбаки [2.6]), теорию множеств и математическую логику стащ

-Узнавать разделами математики, а математическую лингвистик) ^-^миотику часто еще не относят к математике. Поэтому, чтобы не „^уждать различные точки зрения (которые постепенно изменяют-

-развиваются), вместо термина "математические методы" удобна ^р^менять предложенный в [2.11] термин "методы формализованно представления систем".

фик ® большинстве первоначально применявшихся при исследовании систем класси-ндц^ций выделяли детерминированные и вероятностные (статистические) метода

классы моделей, которые сформировались в конце прошлого столетия. лис” Ччтем появились классификации, в которых в самостоятельные классы выдели-нек'* теоретико-множественные представления, графы, математическая логика “ го ц-торые новые разделы математики. Например, в классификации современно ^^математического аппарата инженера В.П.Сигорский [7] выделяются: множеств

4>ицы, графы, логика, вероятности.

ньге В одной из первых классификаций, предложенных специально для целей систем е^ исследований украинским академиком А.И.Кухтенко [2.28], наряду с выделен” pl.^vav.m уровней ма-гематического абстрагирования, как общеалгебраический, тес-фортка-множественный, логико-лингвистический, предлагается рассматривать “” ^анионный и эвристический уровни изучения сложных систем.

Имеются н другие классификации (см., например, [2.47]).

В данном учебнике принята и кратко характеризуется классифи-

•^ия Ф.Е.Темникова, предложенная в [2.11], в которой выделяюто >чующие обобщенные группы (классы) методов (табл. 2.1): она-

•гические (методы классической математики, включая интегро

•Ьференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функ-1, вариационное исчисление и т. п.; методы математического •\>граммирования; первые работы по теории игр и т. п.); стати-

^ческие (включающее и теоретические разделы математики -

 

т оию вероятностей, математическую статистику, и направления и якладной математики, использующие стохастические представ-Jit ния - теорию массового обслуживания, методы статистических Испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдви­жения и проверки статистических гипотез А.Вальда и другие ме-т-оды статистического имитационного-моделирования); теоретико-множественные, логические, лингвистические, семиотические пред­ставления (методы дискретной математики), составляющие теоре-т-ическую основу разработки языков моделирования, автоматиза­ции проектирования, информационно-поисковых языков; графиче­ские (включающие теорию графов и разного рода графические представления информации типа диаграмм, гистограмм и других

графиков).

Разумеется, в табл. 2.1 приведены лишь укрупненные группы-Направления, конкретные методы которых только в начальный период развития характеризуются рассмотренными особенностями. Эти направления непрерывно развиваются, и в их рамках появляют­ся методы с расширенными возможностями по сравнению с исход­ными.

Кроме того, в математике постоянно возникают новые направ­ления как бы "на пересечении" методов, отнесенных к приведен­ным укрупненным группам. В частности, на пересечении аналити­ческих и теоретико-множественных представлений возникла и раз­вивается алгебра групп; параллельно в рамках алгебры групп и теории множеств начала развиваться комбинаторика', теоретико-множественные и графические представления стали основой воз­никновения топологии; статистические и теоретико-множественные методы инициировали возникновение теории "размытых" множеств Л.Заде [3.7], которая, в свою очередь, явилась началом развития нового направления - нечетких формализации и т. д.

Отметим, что понятия исходных направлений не всегда сохраняются в неизмен­ном виде; в частности, в теории Заде дается иная трактовка понятия вероятности по сравнению со статистической.

Практически невозможно создать единую классификацию, ко­торая включала бы все разделы современной математики. В то же время -приведенные направления помогают понять особенности конкретных методов, использующие средства того или иного на­правления или их сочетания, помогают выбирать методы для кон­кретных приложений.

^i “с з х а- и- а - s е- ь” 'С 2 ^ 1 S t-u § " s 0 2 ft 0 ев X eg 0. CJ •fr U	|ill|:ptH£l|£i ilh ^III ^1 Illlllpi^i^ Illii iliJEll 1 M!ii!ji liE lil i ISii'Hfii III} iiSSI siiii'i^^^phjiMi w w ^wwwim i5 ihii li • iiSil ig5^-в'=£g-гs£:taFЗas^з2xSF§,s '"9"^ й-|5ьйSsc§й|5м^5==ss"£' ^.^.о ^^^.-"“Узо^^^^^ё.^з^^з?!^ ^йр u^sss^a.ug^^^glgl^^g^i^z^g ^^Ess^^ss^ss-sss^^iiisge"- hss s-se-et^e-s^ 5.£g^?s^ieS?g-§ ь^яё и4и1-чп2э-с(3=2сэв2= ySF'Ssrasg? '• •'.———————————————————————————————————————————————————————————
is SSg -” сч О c.=£ 0 y 5SZ 5.23 "Зй = ° 5 K S jis" iis £ 2 s=£- 0. t- HW S *' к 3" ll§ 5 '" §? “> x “ y§s я 5 o. ss'g t, " Ч S--S SS5 5 9 д?	§2?.i^|U-5Ss^ g?^- s^g-is Ul! eil-g^5.Bs-l^sl^iil^lilll ii r.^lH^s Is ^si •;^i|l ^j^ Ш^^- s|^I||^|:-|g<.|..igl| |, a.= eeo,..Q•^ozзl-Sзi sra3^ =ь 5. '•'я о. cS”-°o= ^”l-t1яo502co*'тг„г(D их" ь ^5&2££|?0"^S S!з5|§. SeSe^S -5-5 ”|.2-^g.?S 5?S^S c 5.-§-£.-ё а 8 „ 5-^ £2 ^1^:1 ^^i^ is а' shi^ h:s il-lseih.^i^Hiiip^i:^ i. illl^ll:!^: Illl Bjil^ li^i^ll:^2!^^!^!^^^! |H 11 III 11 ^ i^ bi-uux— я— -rtuincia: i-uo.g во.5“<“ ——————————————————————————^————————————————————————————————
	£ ч “о ^ u^^^ 5| ^T°

 

—•* г” 1 ^ s &i S -3 a .5.	i сч	Ipl 1НЩ?||Щ?Ц1||.1|8 s^ifs ||^|l|J^I;tg И&1 mi tiliili iSli !ill 1Ш it. ifii i.lir| ^^p-slisl^i^^ipb,е^!г- ll-ieB?^:"!;? lijs 5-i:2 Н:Ш -ii^^i^l^ JJI.bis Л ^И^Ь §1^ !li. EiliSiil tl|i •li 11 SSe^S S S 3 3 S “I 5 x a? S c? xSS-e-Poii g2^xat)x3 u^a то т cf aiCQ u о ае ^ u ”;“•=(
	CM	a 5g'=”.2°->'S S'S=°~° "S^S Й23"С>>> '0?S g^rtie^ es.5'^^-'У So "So^o^g. 2 Si SSo^o.gg.x 6 tj^5^| 5:S^5.se^l^Sg^ ё2! §?§5|ё l^-slll5^! ^iS:^'S ^^йз^од-^ ^1;=^^1 sl--'s P:^!!^- 30^ ^^^ 5?-|§'lgS^ ^s.xl^5 гП^53 ^1 Bffi in ii® Hi ill -ig.SC^gSQ. ss'p'-'s ""^^^^(^''"-вг <o”o" Cni-ueS" "o-s -э-в^йс^За с:- ^"•cS0-0!^"'^^”?' sil^'slis?^'"'^ ^i^lTyss ^> =-:°?|g ^Is^g.gs-lsilj:!^!.^'!5^^ iill.l!13 i!i Ilif i lilllgii'J^ill^Jsling-le^l iIJ^^j^&lis'x^-^ltlll-TlllP^^^^ SsS^S'SraSn'^o.Ocao.-.-ist-catibg.^Seto а” SSfiaeiZoon.'^aSSSSl^SuOO.o'g'iSsgogo.oy И Д -S-S S?a;a£o. ccbxo";* eonfftt.ai'^uoi. 'ic ”2вх>.г;х с<>;сожо?-3и гаоь.Е.жсц £^,”iu0.s3cs6
	—	• ^-' Д 11 „^ j | f>^ 11/Xr^ in^^ OJ 3 t 1 C10^' ^ *^—' &S \J^-—^. “2 B-i2 s

 

•^ <-i 1 ^ £ i-	0	ш • и	^-^sss ^His.s^p:!-^ i^alsj fs. t i^l^ g^siglii^ii l^J 1:= &sj5?sg'3 gl^-^-^agEe-!^61 ££"5"^ Ss iiiltli ч ^i^ss-^^^gsss-^lss.^b^ae-^ ss—egi s? s^lESS-s^sgg.-o.igsg ^ -” sg^g-s1! *.5 g"" ts'OaSta0- "xS^^0"!;3'1-- uo3"5xp 5 Ы 8§|:5 |^5|2J|S|J;| i3||.|5 ISI llllilllt^Ciliillililll^^lii^ii §?^.55£?S.K c=F 5 5 S as =• 8 ik ч S b! ” 2 >,==са:ч— =• о.
		'§.3§- Sx=S.i<2"§?'2.^““ui-^sci. “S ^s^ "s^^s^c s.Ss5°|ss.§. ss |^“ sss^^^l^ "sss^s^e^ s'§ |^5| jS.l^ggeS^ ч”'^^”'^!5 lis.1:^:1^1 iis^§ji:s 1^ PI Si. 11 "•SsS ||^2."sSs-s as^sig.gg31 i| ggo. 5^"g£H^^ SSLgle-^gS S" ge-ts iei^^i^^ x^^sas^s h '^s.^l^s;?! "li^llss.s 1| ir.5|i!ijirJjl ih53^^:-! Ill^^fllii^l ppl;; ills: ^^3 l^lii2? lil:|liliir-dllrllliillil ^!|ltl!|g"|
	сч	PI H|:| 1111 |1 lil.lSIII Ш Й lil!l|lt !l| ^: Щ^ |l^ilslPilli|s|l 1 IBi^-iriiljil^ls'lil §|Ц§!^§1.p 5|. hsls.Psses^^gin^ "З!^"^:^^^^^^^^? it^ttg^li ^Ig-g.s^gjsl^^^l^li^^^g^asl^i'i.a^fe ^^^"^^'^-^“gIg-lsa.y^l^g.aSgitlSaiS-s-
	-	1 "“ / “)>. ^ lilrrr^--I^U---^ 2 о С ь-; с:; 5 5 о. <U 0. О ч 13	^ i! ^J^^T я с J^ £•5 &• u

 

Прикладные классификации МФПС. Для удобства выбора ме­тодов решения реальных практических задач на базе математиче­ских направлений развиваются прикладные и предлагаются их клас­сификации.

Так, существуют различные классификации экономико-матема­тических методов, обобщение которых приведено в табл. 2.2. Эта классификация включает прикладные направления, базирующиеся, в основном, на использовании аналитических и статистических представлений. Однако некоторые из них (модели объемного и ка­лендарного планирования, потоковые модели) используют графи­ческие методы (сетевое моделирование), а иногда для предвари­тельного описания задачи - теоретико-множественные представле­ния.

Когда начали широко развиваться автоматизированные систе­мы сбора, хранения и поиска информации, разного рода, появилась потребность в разработке классификаций методов работы с инфор­мационными массивами. Одна из таких классификаций, предложен­ная в [2.1], приведена в нижней части табл. 2.2. Эти классификации, напротив, базируются на использовании методов дискретной мате­матики, и в основном графических и теоретико-множественных представлений с элементами математической логики.

Классификации, ориентированные на прикладные н