Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2020-10-20 | 187 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Линейная парная регрессионная модель имеет вид: , i=1, 2,…,n. Основные предпосылки регрессионного анализа состоя в следующем:
· зависимая переменная (возмущение ) является случайной величиной, а объясняющая переменная — неслучайной;
· математическое ожидание возмущения равно нулю ;
· дисперсия зависимой переменной (возмущения ) постоянна (для всех i) и равна ;
· переменные и (возмущения и ) не коррелированы ;
· зависимая переменная (возмущение ) является нормально распределенной случайной величиной.
Оценка параметров двумерной регрессионной модели
Предположим, что для оценки неизвестных параметров и , уравнения регрессии из двумерной генеральной совокупности взята выборка объемом n, где () — результат i-го наблюдения .
Согласно методу наименьших квадратов, в качестве оценок неизвестных параметров и , следует брать такие значения выборочных характеристик и , которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной от оцененных значений, т. е. .
Дифференцируя Q по и , и приравнивая производные нулю, и , получаем систему нормальных уравнений, решая которую относительно получаем:
; (2.90)
. (2.91)
Если перейти к центрированным величинам , для которых , то выражения для коэффициентов уравнения регрессии существенно упрощаются:
; . (2.92)
Коэффициент определяет точку пересечения линии регрессии с осью OY и представляет собой среднее значение зависимой переменной в точке х=0. Коэффициент характеризует угол наклона линии регрессии к оси ОХ и показывает среднюю величину изменения зависимой переменной при увеличении объясняющей переменной на единицу своего измерения.
|
Размерность коэффициента совпадает с размерностью объясняемой переменной. Размерность коэффициента равна отношению размерностей зависимой и объясняющей переменных.
На основе оцененного уравнения регрессии можно получить расчетные значения , т. е. значения при заданной величине объясняющей переменной, в предположении, что последняя является единственной причиной изменения зависимой переменной, а ошибка оценки равна нулю. Разброс вокруг обусловлен воздействием случайных факторов. Количественная оценка величины ошибки определяется на основе остатка .
Для полной спецификации линейной парной регрессионной модели необходимо построить оценки не только коэффициентов регрессии, но и дисперсии .
Оценка остаточной дисперсии имеет вид:
, (2.93)
а несмещенная оценка остаточной дисперсии:
. (2.94)
Пример 13.1. Измерение некоторой величины Y зависимости от значения аргумента Х дали результаты, приведенные в таблице:
Считая, что генеральное уравнение регрессии – линейное , требуется определить:
а) точечные оценки и параметров уравнения;
б) оценку остаточной дисперсии ;
в) оценки дисперсий выборочных характеристик и ;
г) точечную оценку при х=6.
Решение.
А. В регрессионном анализе в случае рассмотрения линейного уравнения регрессии оценка параметров уравнения осуществляется по формулам:
, .
Для получения точечных оценок составим вспомогательную таблицу:
На основе данных таблицы:
, .
Б. Оценка остаточной дисперсии относительно линии регрессии имеет вид:
.
Воспользовавшись оценками параметров уравнения, найденных в пункте а), и результатами расчетов, представленных во вспомогательной таблице, получим:
.
В. Оценки дисперсии выборочных характеристик i=0,1 рассчитываются как:
|
; , где .
На основе данных вспомогательной таблицы и результатов остаточной дисперсии , полученной в пункте б) получим:
; .
Г. Воспользовавшись результатами расчетов пункта а) запишем оценку уравнения регрессии: . Тогда оценка условного математического ожидания y при x=6 составит:
.
Пример 13.2. Измерение некоторой величины Y в зависимости от значения аргумента Х дали результаты, приведенные в таблице:
Считая, что генеральное уравнение регрессии имеет вид гиперболической функции требуется определить точечные оценки и параметров уравнения.
Решение.
В случае, когда вид предполагаемого уравнения регрессии отличается от линейного, на первом этапе регрессионного анализа осуществляют преобразование исходного уравнения, сводящее его к линейному. В случае гиперболической зависимости вида преобразование состоит в замене переменных .
Построим вспомогательную таблицу:
На основе данных таблицы параметров уравнения имеет вид:
;
.
В итоге оценка уравнения регрессии: .
Проверка значимости уравнения регрессии
Так как выборочные характеристики являются случайными величинами, то в регрессионном анализе решаются задачи проверки значимости уравнения регрессии и интервального оценивания параметров , , и .
Для проверки значимости уравнения регрессии, т. е. гипотезы : , используют критерий, основанный на статистике
, (2.95)
которая при истинности гипотезы Н0 имеет F-распределение с числом степеней свободы v1=1 — числителя и v2=n-2 — знаменателя, где QR и Qост — суммы квадратов отклонений, обусловленных соответственно регрессией и остаточными, не включенными в модель факторами, — определяются в соответствии с формулами:
; (2.96)
. (2.97)
Гипотеза : отвергается и уравнение регрессии считается значимым, если наблюдаемое значение статистики оказывается больше критического значения Fнабл>Fкр, найденного для уровня значимости и числа степеней свободы v1=1 — числителя и v2=n-2 — знаменателя: Fкр(; v1В противном случае гипотеза не отвергается.
В случае значимого уравнения регрессии необходимо проверить значимость отдельных его коэффициентов.
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии
|
Проверка значимости коэффициента регрессии сводится к проверке гипотезы : . Проверка осуществляется на основе статистики
, (2.98)
которая при истинности гипотезы имеет t-распределение с числом степеней свободы v2=n-2.
Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения равна:
,
где
откуда (2.99)
Гипотеза : отвергается и коэффициент регрессии считается значимым, если наблюдаемое значение статистики по модулю оказывается больше критического значения , найденного для уровня значимости а и числа степеней свободы v2=n-2:tкр=St(;v). В противном случае гипотеза не отвергается.
Проверка значимости коэффициента регрессии сводится к проверке гипотезы : . Проверка осуществляется на основе статистики
, (2.100)
которая при истинности гипотезы имеет t-распределение с числом степеней свободы v=n-2.
Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения равна:
,
откуда (2.101)
Гипотеза : отвергается, если наблюдаемое значение статистики по модулю оказывается больше критического значения , найденного для уровня значимости а и числа степеней свободы v2=n-2:tкр=St(;v). В противном случае гипотеза не отвергается.
Пример 13.3. При анализе зависимости некоторой величины у от значения аргумента х, принимающей значения были получены точечные оценки и S2=0?0476. Требуется:
а) на уровне значимости проверить значимость уравнения регрессии;
б) проверить значимость коэффициента регрессии при ;
в) проверить значимость коэффициента регрессии при .
Решение.
А. Проверка значимости уравнения регрессии сводится к проверке гипотезы : . Проверка осуществляется на основе статистики .
Рассчитываем наблюдаемое значение статистики:
В случае, когда вид уравнения регрессии отличается от линейного, расчеты должны производиться для преобразованной переменной (например, в случае гиперболического уравнения для ).
|
На основании расчетов, представленных в таблице:
;
.
Таким образом,
По таблицам F-распределения найдем критическое значение F-статистики для уровня значимости и числа степеней свободы v1=1 – числителя и v2=5-2=3 –знаменателя: . Так как наблюдаемое значение F-статистики больше критического значения, то гипотеза о незначимости уравнения регрессии отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, уравнение регрессии значимо.
Б. Проверка значимости коэффициента регрессии сводится к проверке гипотезы : . Проверка осуществляется на основе статистики , которая при истинности гипотезы имеет t-распределение с числом степеней свободы v=n-2. Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения равна:
,
откуда .
Для расчета наблюдаемого значения статистики воспользуемся результатами расчетов, представленных в таблице пункта а): .
По таблицам t-распределения найдем критическое значение t-статистики для уровня значимости и числа степеней свободы v=5-2=3: Так как наблюдаемое значение t-статистики больше критического значения, то гипотеза о равенстве коэффициента регрессии нулю отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05.
В. Проверка значимости коэффициента регрессии сводится к проверке гипотезы : . Проверка осуществляется на основе статистики , которая при истинности гипотезы имеет t-распределение с числом степеней свободы v=n-2. Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения равна
, откуда .
Для расчета наблюдаемого значения статистики воспользуемся результатами расчетов, представленных в таблице пункта а): .
По таблицам t-распределения найдем критическое значение t-статистики для уровня значимости и числа степеней свободы v=5-2=3: . Так как наблюдаемое значение t-статистики по модулю больше критического значения, то гипотеза о равенстве коэффициента регрессии нулю отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,01.
Интервальные оценки параметров регрессии
Если гипотеза : отвергается, то представляет интерес определение с надежностью интервальных оценок параметров регрессии. При построении доверительных интервалов исходят из распределения соответствующих статистик. Интервальные оценки имеют вид:
· коэффициента регрессии :
; (2.102)
· свободного члена уравнения регрессии :
; (2.103)
· условного математического ожидания при х=х0:
; (2.104)
· интервала предсказания в точке х=хn+1:
. (2.105)
|
В формулах (2.102-2.105):
– выборочная оценка несмещенного остаточного среднего квадратического отклонения;
определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы v=n-2. При больших объемах выборки (по крайней мере, n>30) можно пользоваться табл. 1 Приложений нормального закона распределения.
Пример 13.4. По данным примера 13.3. требуется:
а) найти длину доверительного интервала генерального коэффициента регрессии с надежностью ;
б) найти нижнюю границу интервальной оценки для генерального коэффициента регрессии с надежностью ;
в) с надежностью построить интервальную оценку условного математического ожидания My|x при х0=6;
г) с надежностью определить верхнюю границу интервала предсказания при х0=10.
Решение.
А. При построении интервальной оценки коэффициента регрессии исходят из того, что статистика имеет t-распределение с числом степеней свободы v=n-2. Из этого следует, что генеральный коэффициент регрессии с надежностью будет находиться внутри интервала, определяемого формулой:
,
где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы v=n-2. Длина доверительного интервала составит:
.
По таблицам распределения Стьюдента Воспользовавшись данными вспомогательной таблицы, получим:
Б. Нижнюю границу интервальной оценки для коэффициента регрессии определим по формуле
,
где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы v=n-2.
По таблицам распределения Стьюдента На основе расчетов, представленных во вспомогательной таблице, получим:
.
В. Интервальная оценкаусловного математического ожидания равна
где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы v=n-2.
По таблицам распределения Стьюдента Воспользовавшись данными вспомогательной таблицы при х0=6, получим:
;
.
Таким образом, с надежностью условное математическое ожидание My|х=6 будет лежать в пределах:
Г. Верхнюю границу интервала предсказания при х0=10 определим по формуле:
,
где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы v=n-2.
По таблицам распределения Стьюдента На основе расчетов, представленных во вспомогательной таблице, при х0=10, получим:
Основные формулы, используемые при проверке значимости в регрессионном анализе
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!