Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2020-10-20 | 112 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии
Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой распределены по нормальному закону с неизвестной дисперсией взята случайная выборка из n независимых наблюдений и пусть S2 — выборочная дисперсия.
Требуется проверить нулевую гипотезу , где — определенное заданное значение дисперсии.
Для проверки нулевой гипотезы используют выборочную характеристику (2.30):
,
которая при выполнении гипотезы имеет распределение с n-1 степенями свободы.
Как и выше, в зависимости от конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критические области. Границы критической области определяют по таблице распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы n-1. Рассмотрим три случая.
1. Если , то выбирают правостороннюю критическую область и находят из условия:
, (2.52)
где – табличное значение , найденное для уровня значимости и числа степеней свободы n-1.
Правило проверки гипотезы следующее: если , то нулевую гипотезу отвергают, если , то нулевая гипотеза не противоречит опытным данным.
Для вычисления мощности критерия можно воспользоваться формулой:
. (2.53)
2. Если конкурирующая гипотеза , то строят двустороннюю критическую область. Левую () и правую () границы критической области находят из условия:
; (2.54)
В этом случае правило проверки гипотезы сводится к следующему: если , то у нас нет основания отвергнуть гипотезу. Если же или , то гипотезу отвергают.
3. При конкурирующей гипотезе строят левостороннюю критическую область. Границу критической области определяют по таблице распределения (таблица 3 Приложения) – из условия:
|
. (2.55)
Если , то гипотеза отвергается, если же , то гипотеза не отвергается.
Для вычисления мощности критерия можно воспользоваться формулой:
. (2.56)
Пример 10.3. По результатам n=18 независимых измерений найдено, что , а S=0,5мм. Допустив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение:
а) проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы и вычислить мощность критерия;
б) проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы и вычислить мощность критерия;
в) проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы .
Решение.
А. В основе проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии лежит статистика , наблюдаемое значение которой равно:
.
Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия (2.55):
.
По таблицам распределения, (таблица 3 Приложения):
.
Вывод. Поскольку наблюдаемое значение статистики критерия не меньше критического значения , то можно сделать вывод, что на уровне значимости гипотеза не противоречит опытным данным.
Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии в случае левосторонней критической области определяется по формуле (2.56):
Б. Наблюдаемое значение статистики:
.
Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия (2.55):
.
По таблицам распределения, :
.
Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия не превосходит критическое значение , то можно сделать вывод, что на уровне значимости гипотеза не противоречит опытным данным.
|
Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии в случае правосторонней критической области определяется по формуле (2.56):
В. Наблюдаемое значение статистики:
.
Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия (2.55):
; .
По таблицам распределения, :
; .
Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия , то можно сделать вывод, что на уровне значимости гипотеза не противоречит опытным данным.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей
Пусть Х и Y— генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями и . Из этих совокупностей взяты независимые случайные выборки объемом и , и пусть и — исправленные выборочные дисперсии, причем
, где , .
Требуется проверить нулевую гипотезу против альтернативной гипотезы . Основу критерия для проверки нулевой гипотезы составляет статистика (2.33):
, (2.57)
которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора (F-распределение) с и степенями свободы.
Для поверки гипотезы выбирают правостороннюю критическую область. Границу критической области определяют по таблице F-распределения при заданном уровне значимости и числе степеней свободы и из условия:
. (2.58)
Критерий проверки гипотезы состоит в том, что при выполнении условия , полагают, что гипотеза не противоречит опытным данным; а если , то гипотезу отвергают.
Пример 10.4. Для исследования состава работников предприятий были сделаны выборки по 10 предприятиям () и определена доля мужчин в общей численности работников в каждой выборке. Для предприятий первой отрасли средняя доля составила со стандартным отклонением , для предприятий второй отрасли средняя доля составила со стандартным отклонением . Имеются ли основания полагать, что состав работников различается в этих двух отраслях?
Решение.
Прежде чем приступить к проверке требуемой гипотезы о равенстве генеральных средних необходимо отметить, что в основе проверки гипотезы о равенстве генеральных средних лежит условие, что истинные значения генеральных дисперсий не известны, но равны: , и проверка гипотезы о равенстве генеральных средних без предварительной проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух совокупностей не корректна.
|
Поэтому сначала проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий двух совокупностей, т. е. проверим на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы . В основе проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии лежит статистика (в предположении, что ), которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора (F-распределение) с и степенями свободы. Рассчитаем:
;
.
Так как , то наблюдаемое значение статистики:
.
Границы критической области определяются по таблицам распределения Фишера-Снедекора (таблица 4 Приложения) из условия , откуда .
Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия меньше критического значения , то можно сделать вывод, что различия между дисперсиями двух совокупностей не существенны на 5%-м уровне значимости. Поэтому можно предположить, что две генеральные дисперсии равны друг другу и перейти к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних, т. е. на уровне значимости гипотезы против конкурирующей гипотезы .
В основе проверки гипотезы о равенстве генеральных средних (в случае когда истинные значения генеральных дисперсий не известны, но ) лежит статистика , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с степенями свободы.
Наблюдаемое значение статистики равно:
Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в двустороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: . По таблицам t-распределения:
Вывод. Поскольку наблюдаемое значение статистики критерия по модулю превосходит критическое , то можно сделать вывод, что наблюдения не согласуются с нулевой гипотезой, т. е. состав работников на предприятиях двух отраслей различен.
|
Проверка гипотез об однородности ряда дисперсий
1. Критерий Бартлетта. Пусть есть l нормальных генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки объемом соответственно, и пусть - исправленные выборочные дисперсии (2.13).
Требуется на уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий l генеральных совокупностей, т. е. .
Введем обозначения:
– число степеней свободы i-й выборки;
для , где – результат j-го наблюдения i-й выборки;
. (2.59)
В качестве выборочной характеристики критерия Бартлетт предложил использовать статистику
, (2.60)
где .
При выполнении нулевой гипотезы и при , приближенно имеет распределение с l-1 степенями свободы.
Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область, границу которой определяют по таблице распределения (таблица 3 Приложения) для уровня значимости и числа степеней свободы l-1 из условия:
. (2.61)
Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если , то гипотезу отвергают, если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.
Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям законов распределения для от нормального закона.
В случае, когда , для проверки нулевой гипотезы используют критерий Кохрана.
2. Критерий Кохрана. Пусть – нормальные генеральные совокупности с неизвестными дисперсиями , из которых извлечены выборки объемом , и пусть - исправленные выборочные дисперсии соответствующих совокупностей.
Требуется проверить нулевую гипотезу . С целью проверки нулевой гипотезы Кохран предложил критерий, основанный на статистике:
, (2.62)
которая при выполнении нулевой гипотезы имеет G-распределение с и степенями свободы, где – наибольшая из исправленных выборочных дисперсий.
Для проверки нулевой гипотезы на уровне значимости строят правостороннюю критическую область.
Границу критической области, находят по таблице G-распределения (таблица 9 Приложения) из условия:
. (2.63)
Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если выполняется условие , то гипотезу отвергают, если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!