Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2020-10-20 | 314 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный распределения с математическим ожиданием и дисперсией случайная выборка объемом n. В качестве основы интервальной дисперсии используется статистика S2. Интервал, в отличие от генеральной средней, для генеральной дисперсии в общем случае строится несимметричный.
При этом правила построения доверительного интервала для дисперсии зависят от объема используемой при оценивании выборки.
1. Доверительные интервалы для и при малых объемах выборки .
Согласно статистике (2.31), имеющей -распределение Пирсона с v=n-1 степенями свободы, для заданной надежности у:
.
Так как таблица -распределения Пирсона (табл. 3 Приложений) содержит вероятности можно записать:
.
Таким образом, .
Учитывая, что
,
получаем искомую формулу для интервальной оценки.
Построение доверительного интервала с заданной надежностью у для генеральной дисперсии при малых объемах выборки осуществляется по формуле:
; (2.38)
. (2.39)
Границы интервала , очевидно, определяются из условия (2.37) неоднозначно. Обычно их выбираю так, чтобы одинаковыми были вероятности (рис. 25):
.
Рис. 25. Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии при малом объеме выборки
Таким образом, нижнюю и верхнюю границы интервала находят по таблицам х2-распределения для условий:
,
(2.40)
.
где х2 — случайная величина, имеющая х2-распределение с v=n-1 степенями свободы.
|
Пример 9.11. Для анализа производительности труда были отобраны 15 работников предприятия. На основании проведенных испытаний была получена оценка S=20 изд./ч. Предполагая, что производительность труда работников подчиняется нормальному закону распределения:
а) определить с надежностью у=0,95 границы доверительного интервала для генеральной дисперсии ;
б) определить доверительную вероятность того, что истинное значение среднего квадратического отклонения заключено в интервале (18 изд./ч; 22 изд./ч).
Решение.
А. Так как объем выборки невелик, при построении доверительного интервала для генеральной дисперсии будем исходить из (2.38):
,
где (2.40)
; .
Для заданной надежности у определим значения по таблице распределения для числа степеней свободы v=n-1=15-1=14 (табл. 3 Приложения):
,
откуда границы доверительного интервала для генеральной дисперсии:
;
.
Итак, построенный с надежностью y=0,95 доверительный интервал для генеральной дисперсии имеет вид:
.
Б. Доверительная вероятность оценки среднего квадратического отклонения определяется из условия (2.38):
.
На основе границ доверительного интервала, данных в условии задачи, определим соответствующие значения :
;
,
откуда по таблицам распределения для числа степеней свободы
v=n-1-15-1=14 (табл. 3 Приложения) берем ближайшие к полученным значениям и получаем приближенное значение надежности:
;
;
.
Чтобы получить более точные значения вероятностей и надежности у, необходимо прибегнуть к методу линейной интерполяции при использовании таблицы 3 или воспользоваться компьютерными программами, например, встроенной статистической функцией ППП Microsoft Excel ХИ2РАСП. Тогда точное значение надежности:
;
;
.
2. Доверительный интервал для и при достаточно большом объеме наблюдений (п>30).
Учитывая, что статистика (2.35) при асимптотически стремится к стандартному нормальному закону N(0;1), свойство стандартной нормальной случайной величины (1.49), после преобразования:
|
;
.
Построение доверительного интервала с заданной надежностью у для генерального среднего квадратического отклонения при достаточно больших объемах выборки (n>30) осуществляется по формуле:
, (2.41)
где — значение нормированной нормальной случайной величины, соответствующее надежности у: .
Если задан доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения при большом объеме выборки, то надежность попадания в заданный интервал определяется из условия:
,
где
,
(2.42)
.
Пример 9.12. Решить пример 9.11. при условии, что случайная выборка строится на основе наблюдения за 200 работниками.
Решение.
А. Так как объем выборки большой (n=200), при построении доверительного интервала для генеральной дисперсии будем исходить из формулы (2.41). Для заданной надежности у определим значение по таблице функции Лапласа (табл. 1 Приложения): , откуда границы доверительного интервала среднего квадратического отклонения производительности труда работников равны
;
.
Итак, построенный с надежностью y=0,95 доверительный интервал для генеральной дисперсии имеет вид:
Как видно из сравнения с примером 9.11, при увеличении объема выборки ширина доверительного интервала значительно уменьшилась.
Б.
На основе значений границ доверительного интервала определим соответствующие значения (2.42):
;
.
Откуда по таблица функции Лапласа:
;
.
В результате доверительная вероятность заданного интервала оценивания среднего квадратического отклонения генеральной совокупности равна:
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!