История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2020-10-20 | 227 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(математического ожидания)
Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией взята случайная выборка объемом n. В качестве основы интервальной оценки математического ожидания используется точечная оценка — среднее арифметическое , относительно которого строится симметричный интервал.
При этом правила построения доверительного интервала для математического ожидания зависят от того, известна или неизвестна дисперсия генеральной совокупности .
1. Доверительный интервал для при известной дисперсии . В соответствии со статистикой (2.27), имеющей стандартный норный закон распределения N(0,1) и используя свойство стандартной нормальной случайной величины (1.49) получим:
,
где Ф(t) – интегральная функция Лапласа (табл. 1 Приложений), подробно рассмотренная в п. 7.3. гл. 7 «Нормальный закон распределения». ( – обратное преобразование).
Построение доверительного интервала с заданной надежностью для генеральной средней при известной генеральной дисперсии осуществляется по формуле:
, (2.36)
где – значение стандартной нормальной величины, соответствующее надежности : ( – интегральная функция Лапласа *табл. 1 Приложений)).
очность оценки генеральной средней равна: .
Пример 9.9. Анализ доходности акций на основе случайной выборки за 16 дней показал, что средняя доходность составляет 10,37%. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения:
а) определить ширину доверительного интервала для средней доходности с надежностью у=0,97, если известно, что =2%;
б) найти доверительную вероятность того, что точность оценивания составит б=0,98%;
|
в) определить минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью у=0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3%.
Решение.
А. Так как дисперсия генеральной совокупности известна, то при построении доверительного интервала для генеральной средней будем исходить из (2.36).
Для заданной надежности у определим значение по таблице функции Лапалса (табл.1 Приложения) , откуда ширина доверительного интервала средней доходности: .
Б. Точность оценивания генеральной средней определяется, как откуда . Следовательно, доверительная вероятность интервального оценивания генеральной средней при известной дисперсии равна:
По таблицам функции Лапласа, у=Ф(1,967)=0,95.
В. Ширина доверительного интервала генеральной средней: , откуда . Для заданной надежности y определим значение , по таблицам функции Лапласа, , откуда минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью у=0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3%, равно:
Округлять нужно в большую сторону, так как необходимо обеспечить заданную надежность, следовательно, необходимо провести как минимум 12 наблюдений.
2. Доверительный интервал для при неизвестной дисперсии . Согласно статистике (2.28), имеющей распределение Стьюдента (t-распределение) с v=n-1 степенями свободы:
.
Построение доверительного интервала с заданной надежностью y для генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии осуществляется по формуле:
, (2.37)
где – значение функции распределения Стьюдента (t-распределения) (табл. 2 Приложений), соответствующее v=n-1 степеням свободы и вероятности ; .
Точность оценки генеральной средней равна: .
Пример 9.10. По данным примера 9.9, при условии, что на основе случайной выборки за 16 дней получена оценка S=2,5%:'
а) определить верхнюю границу доверительного интервала для средней доходности с надежностью у=0,9;
|
б) найти доверительную вероятность того, что средняя доходность заключена в интервале (10,35%; 10,39%).
Решение.
А. Так как точное значение дисперсии генеральной совокупности неизвестно, то при построении доверительного интервала для генеральной средней будем исходить из формулы (2.37).
Для заданной надежности у определим значение по таблице t-распределения Стьюдента (табл. 2 Приложения): , откуда верхняя граница доверительного интервала:
.
Б. Поскольку интервал (10,35%; 10,39%) симметричен относительно точечной оценки математического ожидания ( =10,37%), точность оценивания генеральной средней при неизвестной дисперсии определяется, как , откуда
.
Далее в таблице t-распределения Стьюдента для числа степеней свободы
v=n-1=16-1=15 (табл. 2 Приложения) берем ближайшее к полученному значению t и получаем приближенное значение надежности:
Чтобы получить более точное значение вероятности и надежности y, необходимо прибегнуть к методу линейной интерполяции при использовании таблицы 2 или воспользоваться компьютерными программами, например, встроенной статистической функцией ППП Microsoft Excel СТЬЮДРАСП. Доверительная вероятность интервального оценивания генеральной средней при неизвестной дисперсии равна:
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!