Глава 10. Статистическая проверка гипотез

Основные понятия

Статистической гипотезой называют непротиворечивое множество предположений о виде или параметрах неизвестных законов распределения генеральных или выборочных совокупностей.

Если гипотеза однозначно определяет закон распределения вероятностей : , то она называется простой, в противном случае :  — сложной.

Если гипотеза конкретизирует значения параметров распределения, то она называется параметрической, иначе — непараметрической (например, параметрическая гипотеза о нормальном распределении записывается как : , а непараметрическая — как : ).

Нулевой гипотезой () называют выдвинутую гипотезу, которую нужно проверить.

Конкурирующей (альтернативной) гипотезой () называют гипотезу, противоположную нулевой.

Статистическим критерием называют однозначно определенное правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу () следует либо отвергнуть, либо не отвергнуть.

Основу критерия представляет специально составленная выборочная характеристика (статистика)  точное или приближенное распределение которой известно.

Пусть дана выборка  объемом n. Каждый критерий разбивает все множество возможных значений статистики  на два непересекающихся подмножества (области): критическая область (область отклонения гипотезы) и область принятия гипотезы.

Основной принцип проверки гипотезы: если наблюденные значения статистики критерия попадают в критическую область, то гипотезу отвергают. В противном случае гипотезу не отвергают.

Такой принцип проверки гипотезы не дает логического доказательства или опровержения гипотезы. При использовании этого принципа возможны четыре случая, когда гипотеза :

• верна и ее принимают согласно критерию;

• не верна и ее отвергают согласно критерию;

• верна, но ее отвергают согласно критерию (ошибка первого рода);

• не верна, но ее принимают согласно критерию (ошибка второго рода).

 

Уровнем значимости  называют вероятность совершить ошибку первого рода, т. е. ошибку, заключающуюся в том, что проверяемая статистическая гипотеза  отклоняется в то время, как она верна. Ошибка I рода равна вероятности того, что выборочная характеристика (статистика) критерия попадет в критическую область, когда  верна (рис. 26).

 

Рис. 26. Уровень значимости   и мощность критерия

 

С уменьшением  возрастает вероятность ошибки  второго рода: принять , когда она не верна.

Мощностью критерия называют вероятность правильного отклонения неверной нулевой гипотезы , т. е. вероятность  не совершить ошибку II рода.

Мощность критерия равна вероятности того, что выборочная характеристика (статистика) критерия попадет в критическую область, когда  ложна . Обычно при проверке гипотезы уровень значимости  (вероятность ошибки I рода) выбирают достаточно малым (0,05 или 0,01). Затем для конкретных гипотез: нулевой  и альтернативной  вычисляют мощность критерия , которая очень часто получается значительно меньше желаемого значения. В этом случае осторожно говорят, что  не отвергается, так как, приняв  можно с достаточно большой вероятностью  совершить ошибку II рода.

Обозначим через  — вероятность попадания статистики критерия  в критическую область W, если верна гипотеза H.

Тогда требования к критической области аналитически можно записать так:

,                                               (2.45)

где второе условие выражает требование максимума мощности крите­рия.

Из условий (2.43) следует, что критическая область выбирается так, чтобы вероятность попадания в нее была бы минимальной (равной ), если верна нулевая гипотеза , и максимальной в противоположном случае.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю и двустороннюю критические области. Границы критической области при заданном уровне значимости а находят из соотношений:

· для правосторонней критической области     ;

· для левосторонней критической области       ;

· для двусторонней симметрической области   ;

                                                                                                     ;

                                                                                                     .

Основные формулы проверки гипотез сведены в табл. 2.5.