Вынужденные колебания и резонанс

Колебательная система не всегда бывает предоставлена самой себе, совершая при этом свободные (в общем случае затухающие) колебания. На колебательную систему может действовать внешнее периодическое возмущающее воздействие, под влиянием которого в системе возникают так называемые вынужденные колебания.

Вынужденными колебаниями называют колебания системы, вызванные действием на нее внешней периодической силы (внешнее периодическое воздействие), называемое вынуждающей силой. Если подвешенный на пружине груз двигать рукой вверх-вниз с некоторой частотой, то роль вынуждающей силы выполняет сила, действующая на груз со стороны руки.

Интересно, что при некотором значении (или даже значениях) частоты внешнего воздействия, называемой резонансной частотой, наступает резонанс – резкое возрастание амплитуды установившихся вынужденных колебаний. Резонанс наступает при частоте внешнего воздействия, близкой к собственной.

Если же вынужденные колебания происходят под действием периодической с частотой ν, но не гармонической силы, а собственные колебания системы гармонические, то резонанс наступает тогда, когда какое-либо значение из набора ν, 2ν, 3ν,... совпадает с частотой собственных колебаний (на практике из-за наличия затухания это совпадение только приближенное). Например, математический маятник (или качели) можно сильно раскачивать, если сильно толкать его (действовать с периодической, но не гармонической силой) не только с частотой, равной собственной, но и с частотой в целое число раз меньше собственной, т. е. толкать один раз за период колебаний, один раз за два периода, один раз за три периода и т. д.

В наиболее общем случае вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической, но не гармонической силы частоты νи когда собственные колебания частоты ν _с тоже не гармонические, резонанс наступает, если какое-нибудь число из набора ν, 2ν, 3ν, 4ν,... будет близко к какому-либо числу из набора ν _с, 2ν _с, 3ν _с,... Резонанс при этом может проявляться как сильно, так и слабо. Все зависит от характера собственных колебаний и характера внешнего периодического воздействия.

Динамика колебаний маятника.

Маятниками называются протяженные тела различной формы и размеров, совершающие колебания около точки подвеса или опоры. При отклонении из положения равновесия сила тяжести и упругие силы определяют в каждый момент времени ускорение маятника, т. е. определяют характер его движения (колебания). Рассмотрим динамику колебаний на простейшем примере пружинного маятника.

Пружинный маятник

Пусть на гладком горизонтальном столе груз массой m совершает колебания вдоль оси x на легкой пружине жесткости k (рис. 5), прикрепленной одним концом к грузу, а другим к стене. Покажем, что свободные колебания такого пружинного маятника гармонические и найдем их период.

Начало координат (x = 0) поместим в точку, соответствующую равновесному положению груза. За колеблющуюся физическую величину возьмем координату груза.

1-й способ решения. Используется второй закон Ньютона.

Пусть груз при колебаниях в некоторый момент времени t имеет координату x = x (t). Тогда проекция на ось x силы , действующей на груз со стороны пружины,

                                             (4)

при любом знаке x, что легко проверить. На рис. 5 покачано направление силы   при x > 0. На груз еще действует сила тяжести   и сила нормального давления   со стороны стола. По второму закону Ньютона , где  – ускорение груза.

Это векторное равенство, записанное в проекциях на ось x, имеет вид ma_x = F_x. Здесь а_х = х " – проекция на ось x ускорения. Учитывая (4), имеем т х " = - k х. Отсюда

.

Последнее уравнение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой  и периодом .

2-й способ. Используется закон сохранения энергии.

В момент, когда груз имеет координату x и проекцию на ось x скорости x ', кинетическая энергия груза будет , а потенциальная энергия деформированной пружины . Так как полная энергия системы при колебаниях сохраняется, то . Продифференцируем последнее равенство по времени: . Откуда .

Как и в первом способе решения, но уже другим путем, мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой  и периодом .

Главной особенностью движения рассмотренного маятника является независимость амплитуды колебаний от частоты. Это справедливо при небольшой амплитуде, когда величина деформации пружины пропорциональна силе, действующей на пружину (см.(4)). При большой амплитуде колебаний это условие нарушается, и частота колебаний начинает зависеть от амплитуды.

Уравнение колебаний пружинного маятника:

.                                      (5)

Амплитуду колебаний А и начальную фазу φ₀ можно определить, зная положение груза x ₀ и его скорость v ₀ в некоторый момент времени, например, t = 0.

Продифференцируем уравнение (5) по времени:

.                                      (6)

Подставив в (5) и (6) значения координаты и скорости груза при t =0, получим систему уравнений

,                                      (7)

из которой легко найти А и φ₀:

.

При гармонических колебаниях полная энергия остается постоянной, но кинетическая и потенциальная, каждая в отдельности, совершают колебания во времени. В момент, когда колеблющееся тело достигает крайнего положения и имеет скорость, равную нулю, вся энергия является потенциальной – кинетическая равна нулю. Когда тело проходит через положение равновесия, вся энергия является кинетической – потенциальная равна нулю (если в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю). Поскольку тело за период колебаний два раза проходит через положение равновесия, то частота колебаний кинетической энергии в два раза больше частоты колебаний груза. С таким же периодом колеблется и потенциальная энергия.

На рис.6 показан ход изменения со временем величин, характеризующих движение маятника.

Если в некоторой системе, не обязательно состоящей из груза и пружины, возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, то такая система становится подобной пружинному маятнику, и в ней могут возникнуть гармонические колебания.