Элементы многозначного анализа

Операции над множествами

 

Пусть - - мерное евклидово векторное пространство с элементами  Пространство  является линейным пространством с обычными операциями сложения векторов, умножения вектора на число и скалярным произведением  а также нормированным пространством с нормой .

Рассмотрим пространство , состоящее из всех непустых компактных подмножеств пространства

Определение 1. Алгебраической суммой или просто суммой двух множеств  и  из пространства  называется множество

 

 

Сумма + двух множеств  и  из пространства  является также Элементом пространства  Кроме того, если множества , выпуклы, то их алгебраическая сумма + также будет выпуклым множеством.

Если множество  состоит из единственной точки, то есть , то множество  получается параллельным сдвигом множества  на вектор .

Пусть  шар радиуса  с центром в точке  то есть

 

Тогда

 

 

то есть при сложении двух шаров их радиусы суммируются и векторы, задающее центры шаров, также суммируется.

Из этой формулы при  мы получаем, что

 

  

 

Операция алгебраической суммы для любых множеств  удовлетворяет следующим свойствам:

) коммутативности

) ассоциативности

) существует нулевой элемент :

Следует отметить, что если множество  состоит более чем из одной точки, то у такого множества нет обратного элемента относительно введенной операции суммы множеств, то есть не существует такое множество  что  Если же то

Определение 2. Произведением множества  на число  называется множество

 

 

Произведение  на произвольное число  является элементом пространства  Кроме того, если множество  выпуклое, то и множество  также выпуклое.

При умножении шара радиуса  с центром в a на число  радиус шара умножается на  а центр - на  то есть

 

   

 

Таким образом, учитывая формулу, имеем

 

 

 

Непосредственно проверяется, что для любых чисел  и любых двух множеств  выполняются следующие свойства:

 

)

)  

)

 

Пространство  не является линейным пространством с введенными операциями алгебраической суммы двух множеств и умножения множества не число хотя бы потому, что не у каждого элемента  есть обратный элемент  Кроме того, не всегда выполняется необходимый для линейности закон дистрибутивности, то есть не всегда выполняется равенство:

 

        

 

Вместо равенства в формуле справедливо лишь одностороннее включение

 

Оказывается, что если  и множество  выпукло, то формула в этом случае справедлива.

Пусть  и в пространстве  задано линейное преобразование с помощью матрицы  (с действительными элементами) размером .

Определение 3. Образом множества  при линейном преобразовании, задаваемом матрицей , называется множество

 

 

Легко проверить, что образ множества  при линейном преобразовании также является элементом пространства  Кроме того, если множество  выпуклое, то и множество  также выпукло.