Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2020-08-20 | 260 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение 4. Пусть задано некоторое множество Опорной функцией множества называется скалярная функция векторного аргумента определяемая условием
Множество также считается одним из аргументов функции . Зафиксируем множество . Функция как функция аргумента отображает пространство в числовую ось Максимум в правой части равенства достигается, так как скалярное произведение непрерывно по а множество компактно.
Пусть некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества , на котором достигается максимум в определении опорной функции для вектора , то есть выполняется равенство
В этом случае вектор называется опорным вектором к множеству в точке , а совокупность всех векторов , удовлетворяющих равенству, называется опорным множеством к множеству в направлении вектора . Гиперплоскость в пространстве определяемая соотношением
называется опорной гиперплоскостью к множеству в направлении вектора
Для опорного множества справедливо представление
Гиперплоскость разбивает все пространство на два полупространства и Множество лежит в отрицательном полупространстве относительно вектора , так как для всех точек выполняется неравенство
Свойства опорных функций
1. Опорная функция положительно однородна, то есть
для любого вектора и любого числа . В частности, .
. Для любых двух векторов опорная функция удовлетворяет неравенству
Следствие 1. Опорная функция является выпуклой.
. Пусть Тогда опорная функция суммы равняется сумме двух опорных функций и , то есть
4. Пусть - матрица размером , а Тогда
где матрица, транспонированная к матрице А.
. Пусть a произвольное число. Тогда
Следствие 2. Опорная функция положительно однородна по первому аргументу , то есть для любого числа .
. Пусть Если выполняется включение , то для любого вектора справедливо неравенство
Следствие 3. Пусть Если точка принадлежит множеству , то для любого вектора выполняется неравенство
. Пусть Тогда опорные функции множеств и совпадают, то есть
. Пусть заданы множество и его опорная функция . Тогда выпуклая оболочка множества представляется в виде
Здесь и далее S - единичная сфера с центром в начале координат.
9. Пусть Если для любого вектора выполняется неравенство
то точка принадлежит выпуклой оболочке множества
Следствие 4. Пусть множество В таком случае точка принадлежит множеству тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .
. Пусть Если для любого вектора выполняется неравенство
то справедливо включение GÌ coF.
Следствие 5. Пусть и множество выпукло. Тогда включение справедливо тогда и только тогда, когда для любого вектора выполняется неравенство (8).
. Пусть Если множества и равны, то их опорные функции совпадают. Наоборот, если их опорные функции совпадают, то
Следствие 6. Множества равны тогда и только тогда, когда их опорные функции совпадают. Таким образом, множество можно однозначно восстановить по его опорной функции .
. Пусть . Если множества и пересекаются, то есть , то для любого вектора выполняется неравенство
Наоборот, если выполняется соотношение для любого вектора , то
Следствие 7. Два множества пересекаются тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .
. Опорная функция для любых двух множеств и любых двух векторов удовлетворяет неравенству
Следствие 8. Опорная функция непрерывна по совокупности переменных в любой точке и, следовательно, непрерывна по каждой из переменных в отдельности.
. Пусть Если точка является внутренней точкой множества , то для любого вектора выполняется неравенство
Наоборот, если соотношение выполняется для любого вектора , то
Следствие 9. Точка принадлежит внутренности множества тогда и только тогда, когда неравенство справедливо для любого вектора .
. Пусть заданы два множества Тогда справедливо соотношение
Следствие 10. Для множеств справедливо равенство
Заметим, что если множества не являются выпуклыми, то в формуле может быть строгое неравенство.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!