Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2020-08-20 | 99 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теоремы Примеры.
Определение Непрерывная функция , называется решением дифференциального уравнения в паратингенциях (контингенциях), если включение (3.1.1.) (соответственно (3.1.2.)) справедливо для всех .
Ниже
Определение Абсолютно непрерывная функция называется обычным решением дифференциального включения (3), если
(3.2.1.)
почти всюду на отрезке
Теоремы существования обычных дифференциальных включений
Дифференциальное включение с начальным условием - существует, если выполняется одно из следующих условий:
-непрерывно и -непустое замкнутое подмножество для всех
) - измеримо
Для почти всех t, для каждой точки х, имеет замкнутый график и - выпукло или в некоторой окрестности х полунепрерывно снизу
Функция - локально интегрально ограничена, т.е. для каждого ограниченного подмножества существует функция такая, что для
) - измеримо.
Для каждого t, имееет замкнутый график и в каждой точке х, для которой невыпукло, - полунепрерывно снизу.
- локально слабо интегрально ограничено, т.е. для каждого , - слабо интегрально ограничено для c функцией .
При выполнении одного из данных предположений, будет существовать хотя бы одно обычное решение включения на некотором сегменте .
Если же в 3ем предположении заменить последнее условие на более жесткое:
- слабо интегрально ограничено, т.е. существуют такая, что для почти всех t и x , то обычное решение дифференциального включения (3) будет существовать на всём .
Теорема Пусть полунепрерывно сверху по на Тогда система соотношений
) непрерывна на .
) всюду на .
эквивалентна системе следующих соотношений:
|
3) абсолютно непрерывна на .
) почти всюду на .
Определение Непрерывная функция называется решением уравнения (2), если для почти всех
.
Можно сделать следующее утверждение: Пусть и
)отображение измеримо по x при каждом фиксированном х;
)отображение полунепрерывно по х при каждом фиксированном t.
Тогда множество OB(F) совпадает с множеством решений в смысле последнего определения.
Но данное утверждение неверно, а указанная в нём эквивалентность не может быть получена ни при каких условиях, накладываемых на правые части, если решение уравнения в контингенциях понимается в смысле последнего уравнения. Покажем это на примере:
Пусть Обычным решением включения является единственная функция . В качестве решения уравнения в контингенциях в смысле последнего определения можно взять, например, функцию где - произвольная константа, а - непрерывная монотонно возрастающая функция производная которой почти всюду равна 0 и Построим такую функцию: Выберем , зададим по индукции последовательность функций следующим образом: положим пусть определена, непрерывна и линейна на каждом интервале вида , где ; тогда мы зададим так, чтобы равнялось для ; в средних точках указанных интервалов; т.е. при , положим
а в интервалах будем считать линейной. Определённые таким образом функции , очевидно, возрастают. Далее,
поэтому последовательность сходится к некоторой неубывающей функции . Докажем, что строго возрастает, непрерывна и
почти всюду.
Пусть x - какая-нибудь точка интервала [0,1]. Возьмем последовательность вложенных интервалов вида где
окружающих точку х. Мы имеем, очевидно,
Так как , то
откуда получаем
.
Отсюда следует, что
и
таким образом, - функция непрерывная и строго возрастающая. Далее, производная там, где она существует, равна пределу выражения
|
при ; но такой предел либо не определён, либо бесконечен, либо, наконец, равен 0. Следовательно во всех точках, где существует, т.е. почти всюду.
Тем самым данная функция не является абсолютно непрерывной, а значит не является решением , т.е. эквивалентности решений нет. Очевидно, что данная функция будет решением любого уравнения в контингенциях в смысле последнего определения при любой правой части, которая содержит точку 0 при всех
Так же очевидно, что
Определение Функция называется обобщенным решением включения (3), если и интегральное включение
(6)
справедливо для всех
Обозначим через G(F) множество обобщенных решений включения (3).
Теорема Пусть - удовлетворяет следующим условиям:
) - измеримо для всех ;
) - непрерывно для всех
)
Тогда OB(F) = G(F).
Следствие Пусть - многозначное отображение, удовлетворяющее условиям 1)-3) теоремы.
Тогда OB(conv F) = G(F).
Определение Функция называется квазирасширением дифференциального включения (3), если существует последовательность функций такая, что
1)
)
) = x(t),
)
Множество квазирешений включения (3) обозначим через Q(F).
Теорема Пусть - удовлетворяет следующим условиям:
) - измеримо для всех ;
) - непрерывно для всех
)
Тогда
Следствие При предположениях теоремы имеем:
Определение Функция называется римановым решением дифференциального включения (3), если - интегрируема по Риману и для всех
Обозначим через Ri(F) множество всех римановых решений.
Определение Функция называется классическим решением дифференциального включения (3), если для всех .
Обозначим множество всех классических решений через KL(F).
Непосредственно из определения следует, что .
Теорема Пусть многозначное отображение F(t, x) в каждой точке (t, x) области удовлетворяет следующим условиям: 1)множество F(t, x) - непусто и замкнутое;
) F(∙,x) - измеримо на D;
)множество F(t, x) - выпукло;
) для любого r > 0 при |x - y| r для почти всех t имеем
(7)
где функция измерима по t и непрерывна по х,
.
Пусть при функция абсолютно непрерывна, её график содержится в D, и при почти всех
где
Тогда для найдётся такое решение задачи
, (8)
что
(9)
при почти всех
|
,
- любое такое, что .
Замечание Если в данной теореме вместо условия 5) выполняется условие Липшица, т.е.
то от требования 3) можно отказаться, а в (9)
Функция называется функцией Камке, если она непрерывна по r, измерима по t, для любого c и при единственным решением задачи является функция . Например, если функция суммируема, то k(t)r - функция Камке
Теорема Пусть многозначное отображение удовлетворяет следующим условиям:
) множество непустое и замкнутое;
) функция суммируема;
) функция измерима по t при каждом фиксированном x;
) - функция Камке.
Тогда каждое решение включения
cначальным условием является пределом равномерно сходящейся последовательности решений включения (7).
Теорема Пусть в ограниченной замкнутой области D выполнены следующие условия:
1) множество F(t,x) - невыпуклое и замкнуто
2)
) - полунепрерывна сверху на D;
) измерим на D;
) множество выпукло.
Если все решения (7) на отрезке существуют и содержатся в D, то множество таких решений является компактом в пространстве . То же самое справедливо для множества всех решений со всевозможными начальными условиями - компакт, . Если К-компакт, К D. Если К - связный компакт (в частности, если К - точка), то множество связно.
Определение Многозначная функция называется R-решением, порожденным дифференциальным включением (7), если при каждом t множество R(t) замкнуто, функция R(∙) абсолютно непрерывна и для почти всех t
Теорема Пусть F(x, t) при каждом t, x - выпуклый компакт и как многозначная функция непрерывна по совокупности переменных. Тогда существует такое, что на полуинтервале существует R- решение, попрождённое многозначной функцией F(t,x).
Теорема Пусть F(t,x) удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности Тогда при всех , для которых решение определено и , оно единственно. Более того, имеет место непрерывная зависимость решения от начального множества .
Теорема Пусть при , где множество открыто и ограничено и в функция F(t,x) липшецева. Тогда множество R(t) при является множеством достижимости в момент t из .
|
Теорема Для любого компакта существует R-решение с начальным условием . Интегральная воронка является графиком R-решения R(∙). Если выполнено условие 5) с функцией Камке , то R- решение с начальным условием единственно, непрерывно зависит от К и его график является интегральной воронкой.
Пример
Пусть .
При отображение не удовлетворяет условию Липшица.
Пусть Проверим, что многозначное отображение
является R - решением дифференциального включения
,
т.е. удовлетворяет уравнению
При очевидно, что удовлетворяет (12).
Пусть
Пусть
При совпадает с интегральной воронкой .
Все остальные соответствующие произвольным значениям , таковы, что
Если
единственно и совпадает с интегральной воронкой.
Выводы
Таким образом в курсовой работе изучена теория дифференциальных включений, рассмотрен исторический аспект рассматриваемого объекта, изучены основы многозначного анализа. Для дифференциальных включений рассмотрены различные понятия решения: обычные, обобщенные и R-решения, изучены условия существования и единственности этих решений, рассмотрены примеры.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!