История развития теории дифференциальных включений

Введение

 

Курсовая работа посвящена изучению теории дифференциальных включений. Дифференциальные включения - разновидность дифференциальных уравнений с многозначной правой частью, которые являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные включения моделируют процессы состояний которые в каждый момент времени описываются некоторым множеством в  Совокупность этих множеств образует многозначную траекторию процесса.

Рассмотрим управляемую систему

 

(1)

 

Каждое конкретное управление порождает свою траекторию, тогда совокупность всех траекторий порождаемых всеми допустимыми управлениями можно объединить.

Подставим в (1) вместо u всё множество, тогда получим

 

.

 

Таким образом из (1) получаем включение .

Представленное преобразование уравнения управляемого движения говорит об очевидной актуальности изучения дифференциальных включений для систем управления. Для исследования дифференциальных включений необходимо изучать свойства многозначных отображений.

В курсовой работе рассматриваются вопросы исторического развития теории дифференциальных включений, вопросы существования и единственности решений.

Элементы многозначного анализа

Операции над множествами

 

Пусть - - мерное евклидово векторное пространство с элементами  Пространство  является линейным пространством с обычными операциями сложения векторов, умножения вектора на число и скалярным произведением  а также нормированным пространством с нормой .

Рассмотрим пространство , состоящее из всех непустых компактных подмножеств пространства

Определение 1. Алгебраической суммой или просто суммой двух множеств  и  из пространства  называется множество

 

 

Сумма + двух множеств  и  из пространства  является также Элементом пространства  Кроме того, если множества , выпуклы, то их алгебраическая сумма + также будет выпуклым множеством.

Если множество  состоит из единственной точки, то есть , то множество  получается параллельным сдвигом множества  на вектор .

Пусть  шар радиуса  с центром в точке  то есть

 

Тогда

 

 

то есть при сложении двух шаров их радиусы суммируются и векторы, задающее центры шаров, также суммируется.

Из этой формулы при  мы получаем, что

 

  

 

Операция алгебраической суммы для любых множеств  удовлетворяет следующим свойствам:

) коммутативности

) ассоциативности

) существует нулевой элемент :

Следует отметить, что если множество  состоит более чем из одной точки, то у такого множества нет обратного элемента относительно введенной операции суммы множеств, то есть не существует такое множество  что  Если же то

Определение 2. Произведением множества  на число  называется множество

 

 

Произведение  на произвольное число  является элементом пространства  Кроме того, если множество  выпуклое, то и множество  также выпуклое.

При умножении шара радиуса  с центром в a на число  радиус шара умножается на  а центр - на  то есть

 

   

 

Таким образом, учитывая формулу, имеем

 

 

 

Непосредственно проверяется, что для любых чисел  и любых двух множеств  выполняются следующие свойства:

 

)

)  

)

 

Пространство  не является линейным пространством с введенными операциями алгебраической суммы двух множеств и умножения множества не число хотя бы потому, что не у каждого элемента  есть обратный элемент  Кроме того, не всегда выполняется необходимый для линейности закон дистрибутивности, то есть не всегда выполняется равенство:

 

        

 

Вместо равенства в формуле справедливо лишь одностороннее включение

 

Оказывается, что если  и множество  выпукло, то формула в этом случае справедлива.

Пусть  и в пространстве  задано линейное преобразование с помощью матрицы  (с действительными элементами) размером .

Определение 3. Образом множества  при линейном преобразовании, задаваемом матрицей , называется множество

 

 

Легко проверить, что образ множества  при линейном преобразовании также является элементом пространства  Кроме того, если множество  выпуклое, то и множество  также выпукло.

Дифференциальные включения

Введение

 

Курсовая работа посвящена изучению теории дифференциальных включений. Дифференциальные включения - разновидность дифференциальных уравнений с многозначной правой частью, которые являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные включения моделируют процессы состояний которые в каждый момент времени описываются некоторым множеством в  Совокупность этих множеств образует многозначную траекторию процесса.

Рассмотрим управляемую систему

 

(1)

 

Каждое конкретное управление порождает свою траекторию, тогда совокупность всех траекторий порождаемых всеми допустимыми управлениями можно объединить.

Подставим в (1) вместо u всё множество, тогда получим

 

.

 

Таким образом из (1) получаем включение .

Представленное преобразование уравнения управляемого движения говорит об очевидной актуальности изучения дифференциальных включений для систем управления. Для исследования дифференциальных включений необходимо изучать свойства многозначных отображений.

В курсовой работе рассматриваются вопросы исторического развития теории дифференциальных включений, вопросы существования и единственности решений.

История развития теории дифференциальных включений

дифференциальное включение математика

Первые работы по уравнениям с многозначной правой частью появились в середине 30х годов у А. Маршо (A. Marchaud)[] и С.К. Зарембы (S.K. Zaremba)[] где рассматривались вопросы существования решений и изучались некоторые свойства множества всех решений. Это были уравнения в контингенциях и паратингенциях. Авторы расширили понятия производной - ввели соответственно контингентную и паратингентную производные.

После работ Маршо и Зарембы дифференциальные включения в течении 25 лет не было публикаций по дифференциальным включениям, кроме двух работ А.Д. Мышкиса []. Это объясняется тем, что в то время дифференциальные включения не имели практической реализации в приложениях.

Новые работы по дифференциальным включениям появились в конце 50х, начале 60х годов. В то время активно исследовались задачи теории управления, рассматривались различные математический модели для описания управляемых систем, разрабатывались методы решения задач управления и анализа свойств решений.

Особо следует выделить работы Т. Важевского [] и А.Ф. Филиппова [] в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных включений).

 

 (1)

 

Важным является установление связи между дифференциальными включениями и дифференциальными уравнениями, описывающими поведение управляемых объектов. Эту связь установил А.Ф. Филиппов в лемме о неявных функциях []. Уравнения движения объекта управления обычно записывается в виде дифференциального уравнения

, (2)

 

где  - вектор управления.

 

Очевидно, что уравнение управляемого движения (2) можно интерпретировать как выбор вектора скорости из множества

 

 

т.е. рассматривать дифференциальное включение (3).

 

Наличие установленной связи между управляемыми системами и дифференциальными включениями позволяло сводить задачи отыскания оптимального управления к задачам отыскания оптимального решения соответствующего дифференциального включения.

В работах Т. Важевского (T. Wazevski) и его учеников было проведено фундаментальное исследование решений дифференциальных включений: вопросы взаимосвязи между различными понятиями решений дифференциального включения, существования глобальных решений, компактности и связности сечений интегральной воронки дифференциального включения.

Следует заметить, что все эти свойства были установлены для дифференциального включения с выпуклой правой частью. На первоначальном этапе изучения дифференциальных включений центральным вопросом была взаимосвязь определений решения, дифференциального включения в смысле А. Маршо и С.К. Зарембы с естественным определением решения, а также вопросы существования и свойств всех решений дифференциального включения.

Обобщения полученных результатов на случай выпуклых правых частей являлось проблематичным в силу наличия трудностей принципиального характера, прежде всего связанных с обоснованием существования решения.

Только в конце 70х годов А.Ф. Филиппову удалось доказать теорему существования локальных решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

Затем появились работы Качинского и Олеха (C. Olech), Антосевича и Челлини касающихся так же теорем существования дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.