При которой удельная энергия сечения имеет минимум называется критической.

Все элементы потока при глубине равной критической обозначаются с индексом «к». Таким образом в соответствии с уравнением (2.7):

 

                                
                                                (2.8)

Из рассмотрения рис. 2.8 видно, что второй асимптотой кривой Э₀ =f(h) будет прямая Э₀ = h. Точка кривой, соответствующая ее минимуму, делит кривую на две ветви: нижняя отвечает такому состоянию потока, при котором с увеличением глубины происходит уменьшение удельной энергии сечения; верхняя – соответствует такому состоянию потока, при котором с увеличением глубины происходит увеличение удельной энергии сечения. Очевидно, что одним и тем же запасом энергии поток обладает при двух значениях глубин. График на рис 2.8 позволяет определить величину критической глубины h_k, как глубины, соответствующей минимуму удельной энергии сечения.
Критическую глубину можно определить используя зависимость (2.8). Для этого необходимо задаться рядом значений h и подсчитав w, В и w³/В построим кривую w³/В = f(h), так как при Э_{0 min} отношение ,то отложив по оси абсцисс величину , получаем кривую . Так как при Э_{0 min} отношение
справедливо, то отложив по оси абсцисс величину  , получаем на оси ординат h_k (см. рис 2.9). Уравнение (2.8) не содержит ни уклона русла, ни его шероховатости, Следовательно критическая глубина определяется только расходом русла и его формой. Для определения критической глубины можно пользоваться графиком А.Н.Рахманова.

При определении                        h_k прямоугольных, треугольных, параболических русел                                       графики не нужны, так как аналитическое                                                     определение критической глу                     

бины осуществляется                                          достаточно просто                                                       

 

1. Прямоугльное  русло: вводя в рассмотрение                                                                                                 

удельный расход, преобразуем уравнение (2.8)

следующим образом:             

 

    (2.9)

При a = 1,1 получим: h_k = 0,482 q^2/3;

При a = 1,0 получим h_r = 0,467 q^2/3;

Так как для прямоугольного русла q = V_k h_k, то из формулы (2.9) следует:

а отсюда следует:

                                                                     (2.10)    

Для параболическогорусла         при a = 1,0            (2.11)

 

                                                       при a = 1,1            (2,12)

 Для треугольного русла:       при a=1,1             (2.13)

Для трапецеидальных русел критическую глубину можно определить, используя метод Агроскина: сначала вычисляем критическую глубину для условного прямоугольного русла:

                                              

где Q – расход русла; b – ширина по дну данного русла. Затем находим значение величины                                        (2.14)

где m – коэффициент откоса данного русла.

Далее, пользуясь приближенной формулой (2.16) или таблицей находим особое значение функции f(s_п), после чего вычисляем искомую критическую глубину данного трапецеидального русла:

                                                                                  (2.15)

 где:                                  

                   

            

                                                              (2.16)                                                              

                                                                                                                                                      Критический уклон

Критическим уклоном называется такой уклон призматического русла, при котором для заданного расхода Q и для заданной формы русла нормальная глубина h_о равна критической глубине h_k. Сделовательно, вели­чина критического уклона может быть определена из формулы Шези.

                                                                        (2.17)

где i_k - критический уклон дна русла.

Подставляя (2.17) в уравнение (2.8) и сокращая на w² , получим:

                          откуда

                                 и так как

                                                                             (2.18)

Для широких и мелких каналов можно считать, что c = B_к и тогда:

                                                                                                                                                                                                                                  (2.19)

Введем в рассмотрение критический модуль расхода, то есть модуль расхода при критической глубине, определяемый по формуле:

                                                                              (2.20)

Тогда уравнение (2.16) перепишется следующим образом:

                                   откуда

                                                                                          (2.21)

 

Примечание: положим, что нам заданы расход Q, форма и размеры русла, а также его коэффициент шероховатости n. Определенному уклону заданного русла будет отвечать вполне определенная глубина h_o. На рисунке (2. 10) представлено русло, как бы укрепленное на шарнире О. Тогда, придавая этому руслу различные уклоны, будем получать различные глубины

 

В отличие от нормальной глубины критическая не зависит от уклона дна (для заданного поперечного сечения), а зависит только от расхода. Поэтому на графике h_k =f(Q) изображена прямой, параллельной оси уклонов. Как видно из этого графика, существует такой уклон дна i, при котором имеет место равенство h_o=h_k. Этот уклон называется критическим и обозначается i_k. Очевидно:

                             а) если i_k > i, то h_{k <} h_o

                             б) если i_k < i, то h_{k >} h_o

                   в) если i_k = i, то h_k = h_o                                                                                      2.3 Спокойное, бурное и критическое состояние потока.

Выше было установлено, что удельная энергия сечения Э₀ будучи непрерывной функцией имеет минимум при критической глубине, причем при этой глубине между гидравлическими элементами живого сечения потока существует зависимость:

                                                                                                                                               Минимум функции Э_о =f (h), соответствующий критической глубине и минимуму удельной энергии сечения, разделяет всю кривую на две ветви, из которых нижняя характеризуется уменьшением удельной энергии сечения с увеличением глубины, а другая (верхняя) увеличением удельной энергии сечения с увеличением глубины.

Если при движении потока глубина его остается меньше критической, то удельная энергия сечения будет убывающей функцией глубины, то есть  (нижняя ветвь кривой Э_о = f(h).)

Если же при движении воды глубина потока остается больше критической, то удельная энергия сечения будет возрастающей функцией глубины, то есть (верхняя ветвь кривой Э_о = f(h)).

 

Таким образом, критическая глубина является тем критерием, который разделяет все потоки на две категории: потоки, для которых h < h_k  и, следовательно  и потоки, для которых h > h_k и, соответственно, .

Потоки первой категории характеризуются высокими скоростями и ма­лыми глубинами и называются бурными, а потоки второй категории ххарактеризуются малыми скоростями и большими глубинами и называются спокойными. О бурном и спокойном состоянии потока можно говорить и применительно к равномерному движению воды. В этом случае будем иметь: при бурном состоянии потока h_o < h_k (где h_o – нормальная глубина) и i > i_k. При спокойном состоянии потока h_o < h_k и i < i_k.

Кроме указанных двух состояний потока может иметь место критическое состояние потока, при котором h_o = h_k  и i = i_k. Очевидно, что в последнем случае Э_о = Э_min.

                                      Число Фруда

Введем в рассмотрение безразмерный параметр – число Фруда (Fr). Этот параметр является одной из характеристик безнапорного потока.

                                                                                     (2.22)

Здесь V и h - средняя скорость и глубина потока в данном сечении соответственно. Из рассмотрения формулы (2.22) следует, что число Fr можно рассматривать как удвоенное отношение кинетической энергии к потенциальной энергии потока в том же сечении, то есть это отношение является критерием бурности потока.

Имея в виду уравнение(2.10), формулу (2.22) можно переписать так:

                                                                                  (2.23

В условиях русла с каким угодно профилем под величиной h в формуле (2.22) нужно подразумевать некоторую среднюю величину h_ср в данном сечении, определяемую из соотношения:

                                   h_ср =                                        (2.24)

где w и В – площадь и ширина живого сечения поверху. Тогда формула     (2.22) будет иметь вид:                                            (2.25)

Если ввести в формулу (2.25) расход потока Q, то получим:

                                                                  (2.26)

Отсюда следует, что при критической глубине Fr = 1. Таким образом, критерий, определяющий спокойное и бурное состояние потока можно записать в таком виде:        Fr > 1                                                (2.27)

 

    2.3 Основное дифференциальное уравнение уста­новившегося

 неравномерного плавноизменяющегося движения воды

      Некоторые дополнительные замечания к неравномер­ному движению воды в открытых руслах

В инженерной практике равномерное движение воды встречается чрезвычайно редко. Оно может иметь место лишь в искусственных водотоках с постоянным по форме и размерам профилем поперечного сечения, однообразной шероховатостью и уклоном дна. В естественных руслах и руслах с гидротехническими сооружениями эти условия никогда не выполняются. Любая преграда, выполненная в русле (плотина, мост и т.д.), любые неровности дна, изменение уклона вызывают неравномерное движение воды. Искусственные сооружения, возводимые на каналах всегда сопровождаются такими участками канала (переходами), где равномерное движение воды с физической точки зрения просто невозможно (русло с переменной шириной по дну, с горизонтальным дном, с обратным уклоном дна и т.д.)

Пусть живое сечение потока стеснено устоями моста. Для того, чтобы уменьшенное сечение потока могло пропустить заданный расход, средняя скорость в пределах сооружения должна увеличиваться, что, в свою очередь должно потребовать некоторого повышения свободной поверхности потока и, следовательно, уменьшения скорости течения перед мостом. Таким образом, перед мостом будет наблюдаться замедленное движение потока, которое переходит затем в ускоренное, а после моста снова становится замедленным. Равномерное движение характеризуется неизменностью гидравлических элементов по длине потока и, с позиций механики требует равновесия всех сил, действующих на какой-либо элемент потока, так как при равномерном движении живая сила остается постоянной по длине потока, а работа сил трения на данном перемещении должна быть равна работе остальных действующих сил на соответствующих перемещениях.

При неравномерном движении наблюдается или изменение средней скорости потока или перераспределение скоростей по живому сечению потока, что обуславливает появление сил инерции и нарушает равновесие сил.

 

Стремление многочисленных исследователей описать математически неравномерное движение привело к выводу основного уравнение неравномерного плавноизменяющегося движения воды в открытых руслах, основанному на уравнении Бернулли. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений, расположенных на расстоянии ds друг от друга (рис. 2.12):

                                 (2.28)

Здесь р_о – давление на свободной поверхности потока.

    dh - член, учитывающий потери напора на преодоление гидравлического сопротивления между сечениями, для которых записано уравнение Бернулли. После сокращений уравнение (2.28) примет вид   или, пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка, получим:

                                                                              (2.29)

Обозначим , тогда – dz= dh_v+ dh                                           (2.30)  

Потери напора складываются из потерь напора на трение и потерь напора на преодоление местных сопротивлений: dh = dh_м + dh_тр и уравнение (2.30 может быть представлено в следующем виде:

                                    - dz = dh_v + dh_м + dh_тр                                       (2.31)

Следует заметить: что потери напора на преодоление местных сопротивлений обусловлены изменением живого сечения по длине потока. Но так как изменение живого сечения в искусственных руслах осуществляется весьма медленно, то потери напора на преодоление местных сопротивлений по сравнению с потерями напора на трение весьма малы и ими чаще всего пренебрегают. Полагая в уравнении (2.31) dh_м = 0, получаем более простое уравнение, которое обычно и применяется при рассмотрении неравномерного движения воды в открытых руслах.

                                       - dz = dh_v + dh_тр                                          (2.32)

Приведем это уравнение к виду, удобному для расчетов, для чего разделим обе его части на ds:

                                                                                 (2.33)

где - пьезометрический уклон (уклон свободной поверхности в данном сечении). Знак (-) означает, что понижению свободной поверхности потока, то есть уменьшению координаты z соответствует положительное значение пьезометрического уклона.

      = i_f - гидравлический уклон, то есть потери напора на единицу длины потока:                                                               (2.34)

При этом необходимо заметить, что в отличие от равномерного движения гидравлические элементы потока V, C, R здесь переменные по длине потока. Тогда уравнение (2.33) с учетом (2.29) и (2.34) можно записать в следующем виде:

                                             (2.35)

Заменив скорость V расходом Q, учитывая, что , получим:

                , то

 

                                                                                 (2.36)

где К – модуль расхода.                                                                          

Таким образом основное дифференциальное уравнение неравномерного плавноизменяющегося движение воды в открытых руслах можно записать либо в форме (2.35) либо в форме (2.36). Преобразуем последнее уравнение, введя в него глубину потока h. Пусть расход потока задан. Кроме того, будем считать заданной форму русла, так что все гидравлические элементы потока (w, c, R…) будем рассматривать, как непрерывные функции глубины потока h. Сначала установим связь между пьезометрическим уклоном I, глубиной потока h и уклоном дна русла i в данном сечении. Из рассмотрения рисунка 2.13 видно, что для произвольно выбранного сечения х-х, отстоящего от начального сечения О-О на расстоянии S, можно написать:                                                                 

                                              z = a + h – is                                           (2.37)    

                

Дифференцируя (2.37) по s, получим:                  (2.38) так как , то                      (2.39) Эта зависимость играет важное значение при изучении неравномерного двжения воды в открытых руслах.

1. При равномерном движении глубина вдоль потока остается постоянной, то есть  и I = i – уклон свободной поверхности (пьезометрический уклон) равен уклону дна.

2. При кривой подпора глубина вниз по течению повышается, то есть - величина положительная, в силу чего I < i, то есть уклон свободной поверхности меньше уклона дна.

3. При кривой спада глубина вниз по течению уменьшается  - величина отрицательная, вследствие чего I > i,

  Выполним дифференцирование правой части уравнения (2.36):, предполагая, что русло является непризматическим, то есть w = f (h, s)  

                 Учитывая, что , получим:

                                                             (2.40)

Принимая во внимание уравнение (2.40), уравнение (2.36) запишется так:

                                                          (2.41)

В случае равномерного движения и тогда    то есть уравнение (2.41) обращается в уравнение равномерного движения.

Решим уравнение (2.41) относительно  :

 откуда:                                                                              (2.42)

С учетом того, что K² = w²C ² R, уравнение (2.42) примет вид:

                                                                    (2.43)

Уравнение (2.43) и является уравнением неравномерного плавноизменяющегося движения воды в открытых руслах, определяющее зависимость глубины потока от расстояния от начального сечения.