Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2020-11-03 | 155 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
AX=B; |A|<>0 à A - 1; A - 1 AX=A - 1 B; A - 1 A=E; EX=X; X=A- 1B; Пример: вычисляем главный Δ, находим алгебраические дополнения, делим на главный определитель, транспонируем и получаем A - 1; X=A - 1; Отсюда находим матрицу-столбец X. Привести примеры.
Метод Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью n*m: A(рисуй матрицу).Выделим k строк и k столбцов из элементов, находящихся на пересечении этих k строк и k столбцов. Строим Δли k-го порядка (эти Δли называются минорами матрицы k-го порядка и обозначаются Mк). M1 — сами элементы матрицы. Минором k-го порядка данной матрицы A называется Δ, составленный из элементов матрицы без перестановок после вычеркивания любых k строк и k столбцов.
Минор второго порядка определяется вычеркиванием двух строк и двух столбцов и т.д. 3-го, четвертого и далее (нарисуй!). Рангом данной матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора. Обозначается r (A) = r; Практический способ нахождения ранга матрицы: Практический способ сводится к элементарным преобразованиям матрицы.
1. Перестановка 2х строк. 2. вычеркивание нулевой строки или столбца. 3. прибавление к элементам строки или столбца соответсвующих элементов другой строки или столбца, умножение на число λ.
ТЕОРЕМА: Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях:A(a11…amn);
Выполним преобразования и получим что-то типа: B (b11, b12, b13; 0, b22, b23; 0, 0, b33); Вот как надо преобразовывать число строк матрицы. В дает ранг матрицы А: r (A) = r (B) = число строк В.
Привести пример (надеюсь смогешь сам, товарисчь)
Теорема Кронекера-Копелли. Пусть дана СЛАУ размерностью m*n:
{a11 x1 +…. = b1; … = bm; A(a ij) — i=1до m, j=1до n;
B = (a11 a12 … a1n | b1; a21 a22… a2n | b2; …; am1 am2 … amn | bm)
|
Для того, чтобы СЛАУ была совместной необходимо, чтобы ранг матрицы A равнялся расширенному рангу матрицы В <=> r (A) = r (B);
1) r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных) — единственное решение.
2) r < n — множество решений.
Примеры обязательно!
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).
{a11 x1 +…=b1; …; =bn; С помощью линейных преобразований матрицы А мы приводим ее к треугольному виду и получаем СЛАУ равносильную исходной. Две СЛАУ называются равносильными, если решение второй системы является решением первой системы и наоборот.
(обязательно пример, где СЛАУ и вообщем получаешь лесенку с нулями внизу, потом с помощью этого находишь иксы).
Система линейных однородных уравнений. СЛОУ с нулевыми свободными членами. AX= 0;
Определители
Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число detA, называемое её определителем, следующим образом: Сумма берётся по всем перестановкам s номеров столбцов.
Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Обозначается Aij. Aij=(-1)i+jmij.
Св-ва определителей:
1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
6. «Элементарные преобразования определителя». Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
|
7. «Разложение определителя по элементам некоторого ряда». Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраическое дополнение.
Докажем св-во 7 на примере определителя 3-го порядка.
В самом деле, имеем
8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Правило Саррюса для n=2.
D=a11a22-a12a21
Правило Саррюса для n=3.
D=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a31-a21a12a33-a32a23a11
Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Треугольным называется определитель, в котором выше или ниже главной диагонали все элементы равны нулю. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
Определитель Вандермонда.
Для определителя Вандермонда справедлива формула
Определитель Вандермонда равен нулю, тогда и только тогда, когда среди чисел x1,…,xn есть хотя бы два одинаковых.
Комплексные числа.
Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где x и y – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i2=-1.
Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. RÌC.
Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x=Re z, а y – мнимой частью z, y=Im z.
Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводится.
Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+i0=x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные чмсла z=0+iy. |
Комплексное число z=x+iy можно задавать с помощью радиус-вектора OM=(x;y). Длина вектора OM, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z|. Величина угла между положительным направлением действительной осью и вектором ОМ, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или j.
|
Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z<>0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2pk (k=0,-1,1,-2,2…): Arg z=arg z+2pk, где arg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке (-p;p].
Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.
Модуль OM и аргумент j комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора OM, изображающего комплексное число z=x+iy. Тогда получаем x=rcosj, y=rsinj, где r=OM. Следовательно, комплексное число z=x+iy можно записать в виде z=rcosj+irsinj или z=r(cosj+isinj). Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой. r=|z|=Ö(x2+y2).
Использую формулу Эйлера eij= cosj+isinj, комплексное число z=r(cosj+isinj) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=reij, где r=|z| - модуль комплексного числа, а угол j = Arg z=arg z+2pk.
Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2=iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2)+I(y1+y2).
Сложение двух комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.
Геометрические комплексные числа складываются как векторы.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1.
Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2).
Геометрические комплексные числа вычитаются как векторы.
Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z=z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2).
|
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение i2=-1.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то zn=(r(cosj+isinj))n=rn(cosnj+isinnj). Эта формула называется формулой Муавра.
Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и z2 <>0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженное на z2, даёт число z1, т.е. z1/z2=z, если z2z=z1.
Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид:
При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.
Извлечение корня n-ой степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.
Корнем n-ой степени из комплексного числа zназывается комплексное число w, удовлетворяющее равенству wn=z.
Если положить z=r(cosj+isinj), а w=p(cosq+isinq), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем z=wn=pn(cos(nq)+isin(nq))=r(cosj+isinj). Отсюда имеем pn=r, nq=j+2pk,k=0,-1,1,-2,2,… То есть q=(j+2pk)/n и p=r^(1/n) (арифметический корень). Поэтому равенство z^(1/n)=w принимает вид:
k=0,1,…,n-1
Многочлены.
Комплексное число z0 называется корнем многочлена P(z), если P(z0)=0.
Теорема Безу. Число z0,будет корнем многочлена P(z) степени n>=1, тогда и только тогда, когда P(z) делится на (z-z0) без остатка.
Док-во. P(z)=H(z)(z-z0)+R(z), где H(z) – многочлен степени (n-1), а остаток R(z) – многочлен степени 1, т.е. degR=0, т.е. R(z)=C. Итак, P(z)=(z- z0)H(z)+C;
z= z0, P(z0)=0+C=C; P(z)=(z- z0)H(z)+P(z0)
z0 – корень многочлена óP(z0)=(z- z0)H(z), т.е. P(z) делится на (z- z0) без остатка.
Следствие. Пусть z0 – корень многочлена P(z) степени n>=1, тогда существует натуральное число l, 1<=l<=n, такое что P(z) можно записать в виде P(z)=(z- z0)H(z), где degH=n-l, H(z0)<>0.
Теорема (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен P(z) степени n>=1 имеет хотя бы один корень.
Следствие основной теоремы алгебры. Всякий многочлен P(z) степени n>=1 имеет ровно n корней с учётом их кратности и для него справедливо разложение на линейные множители. P(z)=Pn(z-z1)m1…(z-zs)ms, где z1…zs различные корни многочлена (zk<>zl при k<>l), m1,…,ms кратности этих корней (1<=s<=n) и m1+…+ms=n, Pn – старший коэффициент при Zn.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!