Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Пусть P(z)=P0+P1z+…+PnZⁿ многочлен степени n>1 (т.е. Pn<>0) с вещественными коэффициентами P0, P1,…,Pn. Следовательно есть разложение на линейные множители. P(z)=P_n(z-z₁)^m1…(z-z_s)^ms, m₁+…+m_s=n, zk<>zl при k<>l. Коэффициенты вещественные, но среди корней могут быть комплексные. Отметим, что комплексные корни входят сопряжёнными парами, т.е. если z₀=a+b, b<>0 – корень кратности l, то z₀(сопряж. число)= a-ib тоже корень кратности l.

 

Алгебра матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаково длины (или n столбцов одинаковой длины).

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором.

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей  транспонированной к данной.

Суммой двух матриц A и В называется матрица С такая, что cij=aij+bij.

Разностью двух матриц A и В называется матрица С такая, что cij=aij-bij.

Произведением матрицы А на число k называется матрица В такая, что bij=k*aij.

Матрица –A=(-1)*A называется противоположной матрице А.

Разность матриц можно определить как: А-В=А+(-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

- А+В=В+А;

- A+(B+C)=(A+B)+C;

- A+0=A;

- A-A=0;

- 1*A=A;

- a*(A+B)=a*A+a*B;

- (a+b)*A=a*A+b*B

- a*(bA)=(ab)A.

Элементарные преобразования матриц:

- перестановка метами двух параллельных рядов матрицы;

- умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

- прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одно из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А(m´n) на матрицу В(n´p) называется матрица C(m´p) такая, что cik=ai1*b1k+ai2*b2k+…+ain*bnk, где i=1..m, k=1…p.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.

Св-ва умножения матриц:

- A(BC)=(AB)C;

- A(B+C)=AB+AC;

- (A+B)C=AC+BC;

- a(AB)= (aA)B.

Св-ва транспонирования:

- (A+B)^T=A ^T +B ^T;

- (AB) ^T=B ^T A ^T.

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

При умножении квадратных матриц их определители перемножаются.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю, в противном случае матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А называется матрица

, где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие А*А^-1=А^-1*А=Е.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Св-ва обратных матриц:

- если у матрицы А есть обратная, то определитель А<>0;

- если В= А^-1, то А=В^-1;

- если матрица А имеет обратную, только одну;

- если А и В имеют обратные, то произведения тоже имеют обратные матрицы, причём обратная к произведению есть произведение обратных в обратном порядке (АВ) ^–1=В^-1А^-1.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Крамер. AX+ B.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

X= А^-1B.

Но A11b1+A21b2+…+An1bn есть разложение определителя по элементам первого столбца.

Определитель D1 получается из определителя D путём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных. Итак, xi=Di/D (формула Крамера).

Линейные пространства.

Линейным пространством называется множество элементов «векторов» x,y,z,… для которых определены операции сложения векторов и умножения их на числа: x,yÎL ® z=x+yÎL; xÎL, aÎR®axÎL, причём эти операции удовлетворяют аксиомам:

1) аксиомы сложения:

· x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность);

· x+y=y+x (коммутативность);

· $0ÎL: x+0=0+x=x "xÎL;

· у любого вектора есть противоположный

xÎL=>$(-x)ÎL:x+(-x)=0.

2) аксиомы умножения на число:

· 1*x=x;

· (ab)x=a(bx).

3) аксиомы дистрибутивности:

· (a+b)x=ax+bx;

· a(x+y)=ax+ay.

Примеры линейных пространств.

1. Пространство V³. Пространство геометрических векторов.

2. Пространство Rⁿ. Арифметическое пространство. Роль векторов – упорядоченные наборы из n вещественных чисел. x=(x1,x2,x3,…,xn), y=(y1,y2,y3,…,yn) и т.д.. Операции сложения векторов и умножения на число определяются покомпонентно, т.е. x+y=(x1+y1,…,xn+yn), ax=(ax1,…, axn).

3. Пространство M_mn. Роль векторов – матрицы. Сумма матриц и умножение на число поэлементно.

4. Пространство P_n. Пространство многочленов степени не выше n. Роль векторов – многочлены вида P=P(t)=p₀+p₁t+…+p_ntⁿ. Сложение векторов и умножение на число по правилам действия с многочленами.

5. Пространство функций непрерывных на отрезке С[ a _c, b _c]. Векторы – функции x=x(t), y=y(t) – непрерывные при tÎ[a_c,b_c]. Сумма векторов и умножение на число по правилам действия с функциями. x+y=x(t)+y(t), ax=ax(t).