Св-ва линейной зависимости и независимости.

1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. S={x} лин. зав. óx=0. Если x=0, то 1*x=0 верно, хотя коэффициент a1=1<>0. Если же x<>0 и a<>0, то произведение ax<>0. Т.е. S={x} линейно независима.

2. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы пропорциональны., т.е. S={x,y} лин. зав. ó$aÎR, x=ay||y=ax.

Док-во. Пусть x=ay, тогда 1*x+(-a)y=0, хотя набор коэффициентов (1,-a)<>(0,0), значит система линейно зависима. Пусть система {x,y} линейно зависимая система, тогда $a1,a2ÎR, (a1,a2)<>(0,0), такое что a1x+a2y=0. Пусть например a2<>0, тогда a2y=(-a1)x => y=(-a1/a2)x, т.е. y=ax при a=-a1/a2ÎR.

3. Если некоторая часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Док-во. S={x₁,…,x_k,x_k+1,…,x_n) и S0={x1,…xk} – линейно зависима. Покажем, что S – линейно зависима. Т.к. S0 – линейно зависима, то существует набор (a1,..,ak) не совпадающий с (0,…,0), такой что a1x1+…+akxk=0. Тогда рассмотрим (a1,…,ak,0,…,0}<>{0,…,0}, но a1x1+…+akxk+0x_k+1+…+0xn=0. S – линейно зависима.

Следствие 1. Всякая часть линейно зависимой системы векторов линейно независима.

Следствие 2. Система, содержащая 0 вектор линейно зависима.

Следствие 3. Система, содержащая два одинаковых или два пропорциональных вектора линейно зависима.

4. Критерий линейной зависимости. Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из её векторов был линейной комбинацией других.

Док-во. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие, например xk=a1x1+…+a_k-1x_k-1, тогда a1x1+…+a_k-1x_k-1+(-1)xk=0, хотя набор коэффициентов <> (0,…,0) => S – линейно зависима. Если S линейно зависима, то $(a1,…,a_k-1,ak) не все нули, такие что a1x1+…+a_k-1x_k-1+akxk=0. пусть например ak<>0, тогда получим a1x1+…+a_k-1x_k-1=(-ak)xk => xk= (-a1/ak)*x1+…+(-a_k-1/ak)*x_k-1, т.е. вектор xk линейно выражается через другие.

5. Расширение линейно независимой системы. При добавлении в линейно независимую систему нового вектора она станет линейно зависимой тогда и только тогда, когда новый вектор входит в её линейную оболочку.

S={x1,…,xk} линейно независима.

xÎL, тогда S1={x1,…,xk,x} станет линейно зависимой óxÎL(S).

S={x1,…,xk}, xÎL

S1={x1,…,xk,x}

Док-во. Если xÎL(S), то S1 – линейно зависима. т.к. один из её векторов x линейно выражается через другие. Пусть S1 линейно зависима, покажем, что xÎL(S). По определению линейной зависимости $ набор чисел {a1,…,ak,b} не нулевой, такой что линейная комбинация a1x1+…+akxk=0 => a1=ak=0, т.е. (a1,…,ak,b) – нулевой набор. Вывод: чтобы сохранять линейную независимость надо добавлять векторы, не входящие в линейную оболочку.

Система S называется полной в L, если любой вектор x линейно выражается через вектора системы, т.е. $a1,…,akÎR: x=a1x1+…+akxk.

Линейное пространство L называется конечномерным, если в нём полные системы, состоящие из конечного числа векторов.

Линейно независимая полная система называется базисом.

Теорема. Если S={e1,…,ek} – базис в L, то для любого x из L существует единственное разложение по базису: x=x1e1+…+xkek.

Коэффициенты разложения x=x1e1+…+xkek вектора xÎL по по базису S называется координатами вектора в этом базисе. Из теоремы видим, что каждый вектор однозначно определяется набором координат.

Теорема. Сложение векторов и умножение их на числа производится покоординатно. Т.е. если x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn) – координаты векторов в базисе S, то вектор x+y=(x1+y1,…,xn+yn), а вектор ax=(ax1,…,axn).

Док-во. x=(x1,…,xn) óx=x1e1+…+xnen; y(y1,…,yn) óy=y1e1+…+ynen; x+y=(x1+y1)e1+…+(xn+yn)en óx+y=(x1+y1,…,xn+yn).

Теорема. В конечномерном линейном пространстве число векторов в любой линейно независимой системе не больше числа векторов в любой полной системе.

E={e1,…,ek} линейно независима

F={f1,…,fm} полна в L

то k<=m

Теорема. Все базисы конечно мерного пространства содержат одинаковое число векторов.

Док-во. S={e1,…,en} – базис в L

S`={f1,…,fn} – другой базис в L

Тогда S – линейно независима, а S` - полна => n<=m. С другой стороны S – полна, а S` - линейно независима => m<=n. Следовательно, n=m.

Размерностью конечно мерного пространства называется число векторов в любом базисе этого пространства. обозначение dim L=n.

Утверждение. В n-мерном линейном пространстве L всякая система из m>=n+1 векторов линейно зависима.

Док-во. Пусть S={e1,…,en} – базис в L, S` - любая система {f1,…,fm}, где m>=n+1. Тогда S` - линейно зависима. Если бы S` - была линейно независима, то т.к. базис S – полная система, то имели бы m<=n.

Утверждение. В n-мерном пространстве всякая система из n линейно независимых векторов образует базис.

Док-во. Пусть dimL=n, S={e1,…,en} линейно независима. Докажем её полноту. Действительно "xÎL система S1={e1,…,en,x} линейно зависима "xÎL, т.е. разлогается по системе S. Значит, S по определению полна в L. Итак S – линейно независима и полна.

В n – мерном пространстве всякая полная система из n – векторов – базис.