Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2020-04-01 | 137 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид
(1.1.1.)
Если , то уравнение называется однородным. Как легко видеть, линейное однородное уравнение
(1.1.2.)
приводится к уравнению с разделяющимися переменными
,
общий интеграл которого имеет вид
(1.1.3)
а общее решение -
(1.1.4)
где . Очевидно, что частное решение уравнения (1.1.2), которое мы потеряли, разделив (1.1.1) на , содержится в формуле (1.1.4) при . Поэтому (1.1.4), где - теперь уже любое вещественное число, является общим решением уравнения (1.1.2).
Из (1.1.4), записывая первообразную в виде определенного интеграла , получим частное решение уравнения (1.1.2), удовлетворяющее начальному условию в виде
(1.1.5)
Заметим, что по самому способу построения формула (1.1.5) является доказательством единственности решения начальной задачи для уравнения (1.1.2), в предложении, что это решение существует. Действительно, подставляя любое решение начальной задачи в уравнение (1.1.2) и проводя последовательно преобразования (1.1.3) - (1.1.5), мы всегда придём к одному и тому же результату - формуле (1.1.5). Чтобы доказать существование решения данной задачи, достаточно путём достаточно путём непосредственной проверки убедится, что для непрерывной функции функция , определённая формулой (1.1.5), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для уравнения (1.1.2). Очевидно, подобные рассуждения можно провести и в случае начальной задачи для уравнения с разделяющимися переменными.
Решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) найдём методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы используем специальную замену неизвестной функции
|
, (1.1.6)
где - функция, подлежащая определению. Подставляя такой вид решения в уравнение, получаем
откуда
.
интегрируя это равенство, найдём
и окончательно
. (1.1.7)
Из полученного выражения следует, общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) представляется в виде суммы общего решения (1.1.4) линейного однородного уравнения (1.1.2) и частного решения неоднородного уравнения (1.1.1), в чём легко убедится, подставив второе слагаемое формулы (1.1.7) в неоднородное уравнение (1.1.1).
Решение начальной задачи для уравнения (1.1.1) найдём, определяя из начального условия постоянную С1 в формуле (1.1.7). При этом в качестве первообразных функций, записанных в (1.1.7) в виде неопределённых интегралов, удобно взять определённые интегралы .
Тогда и
т.е.
(1.1.8)
Таким образом, искомое решение определяется как сумма решения однородного уравнения (1.1.2), удовлетворяющего заданному начальному условию , и решения неоднородного уравнения, удовлетворяющего нулевому начальному условию.
Представление (1.1.8) получено в предложении существования решения. Оно доказывает единственность решения начальной задачи для неоднородного уравнения (1.1.1)
Существование решения начальной задачи для уравнения (1.1.1) при непрерывных функциях и устанавливается непосредственно подстановкой формулы (1.1.8) в уравнение и начальное условие.
Замечание. Единственность решения этой задачи можно установить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерными вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два различных решения начальной задачи и Рассмотрим их разность . Очевидно, функция является решением начальной задачи для соответствующего однородного уравнения с нулевым начальным условием
Отсюда, в силу единственности решения начальной задачи для линейного однородного уравнения, следует, что .
|
Получим важную оценку роста решения начальной задачи для линейного уравнения. Пусть в уравнении (1.1.1) функции и на рассматриваемом промежутке изменения независимой переменной удовлетворяют условиям
(1.1.9)
Тогда для решения начальной задачи из представления (1.8) для следует оценка
(1.1.10)
В заключении этого пункта укажем некоторые часто встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.
Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли.
где , иначе уравнение уже линейное. Введём новую неизвестную функцию тогда уравнение перейдёт в линейное уравнение
общее решение которого даётся формулой (1.1.8).
Более сложное уравнение Риккати
в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно обладает следующим важным свойством: если известно какое-либо частное решение уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно, введя новую неизвестную функцию
получим для неё уравнение Бернулли
что доказывает высказанное утверждение.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!